Савельев - Курс общей физики Том 2 - Электричество, страница 60

(105.3) В .частности, циркуляция вектора Н по любому контуру (см. формулу (44.7)~ должна быть равна Н,б1= ) ()„~)„б5= ~ (1,р+ Р)„б8. (105.4) Уравнение (105.4) представляет собой второе основное уравнение теории Максвелла. Согласно формуле (105.2) ток смещения имеется везде, где есть изменяющееся электрическое поле. Следовательно, он существует и внутри проводника, по которому течет переменный электрический ток. Однако внутри проводов 1, обычно бывает пренебрежимо мал по сравнению с (,р. ') Под й в зтом случае следует понимать —, поскольку Р дп ш '.

может зависеть нс только от времени, но и от координвт. В гауссовов системе выражение, определяющее ток смещения, имеет внд 1 = — 6 ! (! 35.5) ф 106. Электромагнитное поле Согласно идеям Максвелла переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, в свою очередь переменное электрическое поле всегда свяаано с порождаемым им магнитным. Таким образом, электрическое и магнитное поля оказываются неразрывно связанными друг с другом †о образуют единое электромагнитное поле. Анализ результатов фундаментального опыта Майкельсона') и других опытных фактов привел Эйнштейна к заключению, что принцип относительности, установленный Галилеем для механических явлений (см.

т. 1, $ !7), должен быть распространен и на все другие физические явления. Согласно прин.ципу относительности, сформулированному Эйнштейном, законы всех физических явлений, в том числе и электромагнитных, имеют одинаковьгй вид (т. е, описываются одинаковыми уравнениями) во всех инерг(паленых системах отсчета. Иэ принципа относительности вытекает, что раздельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет лишь относительный смысл. Действительно, электростатическое поле создается системой неподвижных зарядов. Однако, если заряды неподвижны относительно некоторой инерциальной системы отсчета, то относительно других инерциальных систем эти заряды движутся и, следовательно, будут порождать не только электрическое, но и магнитное поле (движущийся заряд эквивалентен току).

Неподвижный провод с постоянным током создает в каждой точке пространства постоянное магнитное поле. Однако относительно других инерциальиых систем этот провод находится в движении. Поэтому создаваемое им магнитное поле в любой точке с данными координатами х, у, г будет меняться и, следовательно, порождать вихревое электрическое поле. Таким образом, поле, которое относительно некоторой системы ') Втот опыт будет наложен в Оптике. Отсчета оказывается «чисто» электрическим или «чистов магнитным, относительно других систем отсчета будет предстанлять собой совокупность электрического и маг- йитного полей. ф 107. Описание свойств векторных полей Поток вектора через некоторую поверхность и цир(суляция векторй по заданному контуру позволяют судить о характере векторного поля.

Однако эти величины дают среднюю характеристику поля в пределах объема, охватываемого поверхностью, через котору)о определяется поток, или в окрестности контура, по которому берется циркуляция. Уменьшая размерй поверхности нли контура (стягивая их в точку), можно прийти к величинам, которые будут характеризовать векторное поле в данной точке. Для того чтобы вве- а а сти эти величины, нам придется более глубоко вникнуть в смысл понятий потока и циркуляции. Пусть нам дано поле вектора скорости несжимаемой неразрывной жидкости.

Поток вектора скорости через некоторую поверхность дает, как мы знаем, объем жидкости, протекающей через эту поверхность в единицу времени. Возьмем в окрестности точки Р воображаемую замкнутую поверхность Я (рнс; 230). Если в объеме )г, ограниченном поверхностью, жидкость не возникает и не исчезает, то поток, вытекаюший наружу через поверхность, будет, очевидно, равен нулю. Отличие потока от нуля будет указывать на то, что внутри поверхности имеются источники или стоки жидкости, т.

е. точки, в которых жидкость поступает в объем (источники), либо удаляется нз объема (стоки). Величина потока определяет суммарную алгебраическую мощность источников и стоков'). При преобладании источников над стоками величина потока будет положительной, при преобладании стоков в отрицательной. ') Под мощностью источника (стока) понимается объем жидкости. выделяемый (поглощаемый) в единицу времени. Сток можно рассматривать как источник с отрицательной мощностью.

Частное от деления потока Ф „ха на величину объ. ема, из которого поток вытекает, т. е. (107. 1) назовем средней удельной мощностью источников, заключенных в объеме У. Чем меньше объем 1', включающий в себя точку Р, тем ближе это среднее к истинной удельной мощности в этой точке. В пределе при стремлении У к нулю, т. е. при стягивании объема 1' к точке Р, выражение (107.1) даст истинную удельную мощность источников в точке Р, которую называют да вергенцией (или расхождением) вектора ч (обозначается йч ч). Итак, по определению Йчч =!пп — "" .

Аналогично определяется дивергенция любого вектора А: А йчА= 1пп — '" =!нп — ~ А„г(5. (107.2) и-и 1' ~~ Интеграл берется по произвольной замкнутой поверхности Я, ограничивающей объем У. Поскольку совершается переход 1'- Р, при котором 5 стремится к нулю, от формы поверхности выражение (107.2) зависеть не может. Легко сообразить, что дивергенция определяется поведением векторной функции А(Р) в окрестности данной точки, т.

е. тем, каков характер изменения вектора А (нли его компонент А„, А„, А,) при переходе от одной точки пространства к другой. Из определения (107.2) следует, что дивергенция есть скалярная функция координат, определяющих положения точек в пространстве (кратко — функция точки). Определение (107.2) является самым общим, не зависящим от выбора координатной системы. Найдем выражение для дивергенции в декартовой системе координат.

Рассмотрим в окрестности точки Р(х, у,л) малый объем в виде параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям (рис. 231) [напомним, что форма поверхности, по которой берется интеграл в выражении (107.2), может быть произволь- ной). Ввиду малости объема (согласно (107.2) мы будем его стремить к нулю) значения А„, А„, А, в пределах каждой из шести граней параллелепипеда можно считать неизменными. Поток через всю замкнутую поверхность образуется из потоков, текущих через каждую из шести граней в отдельности. Найдем поток через пару граней, перпендикулярных к оси х (на рис.

231 эти грани заштрихованы косой штриховкой и помечены цифрами 1 и 2). Внеш- Лу р няя нормаль пт к гранн2 ис совпадает с направлением оси х. Следовательно, А„т = А„з и поток Лг через грань 2 равен г А тАуАг (индекс 2 ука- лг зывает на то, что значеп г нне А, берется в том ме- Ю сте, где расположена грань 2). Нормаль и, к грани 1 имеет направление, противоположное Рис. 230 оси х.

Поэтому проекции вектора на ось х и на п~ имеют противоположные знаки. Таким образом, А 1 = — Аеь а поток через грань 1 равен — А„|АуАг (индекс 1 указывает на то, что значение А„ берется в том месте, где расположена грань 1). Суммарный поток через грани 1 и 2 определяется выражением (А„— А„,)луА . (107.3) Разность А,з — Аы представляет собой приращение А„при смещении вдоль осн х на Ах.

Ввиду малости Лх дА„ зто приращение можно представить в виде — „" Ах. Тогда (107.3) переходит в — Ах Ау Аг = — ' М'. для дА, дк дк Путем аналогичных рассуждений можно получить для потоков через пары граней, перпендикулярных к осям у и г, выражения дАа дАг ду дг Следовательно, полный поток через всю замкнутую поверхность определяется выражением дА„ дАк дАк ~ дк д дк ) Разделив это выражение на ЛУ, найдем дивергенцию вектора А в точке Р(х, у, г): дА„ дАк дАк б)чА = — "+ — "+ — ' дк ду дк (107.4) поток= б(чАЛУ. Если просуммировать это выражение, по всем объемчикам, справа поРис.

232. лучится ~ 01чАНУ, взятый по всему объему, ограниченному поверхностью 5, а слева, как легко убедиться, получится поток вектора А через поверхность 5. В самом деле, при суммировании каждый из потоков, текущих через грани, разделя|ощие два соседних объемчика, войдет дважды с противоположными знаками (значения А„для соседних объемчиков одинаковы по абсолютной величине, но отличаются знаком). Поэтому потоки' через внутренние перегородки взаимно уничтожаются, некомпенсированными останутся только потоки через внешние грани объемчиков, которые в сумме дадут поток через 5. (предельный переход У вЂ” Р мы предвосхитили, полагая А„, А„и А, в пределах каждой из граней постоянными величинами) . Зная днвергенцию вектора А в каждой точке пространства, можно вычислить поток этого вектора через любую поверхность конечных размеров.

Для этого разобьем объем, ограниченный поверхностью 5, на большое (в пределе бесконечно большое) число малых (в пределе бесконечно малых) объемчиков (рис. 232). Согласно Формуле (107.2) поток вектора А, вытекающий из любого из этих объем- чиков, может быть записан в виде Таким образом, мы пришли к соотношению ~лес(5 ~ бгтАс()г, (Ю7.5) (поскольку канал по предположению имеет постоянное сечение, модуль скорости р = сопзг). В момент затвердевания стенок у каждой из частиц жидкости в канале будет погашена составляющая скорости, перпендикулярная к стенке, и останется лишь составляющая скорости ог, касательная к контуру. Сагой составляющей связан импульс с(рг, модуль которого для частицы жидкости, заключенной в отрезке канала длины с(1', имеет величину роокг( (р — плотность жидкости, о — площадь поперечного сечения канала).