Савельев - Курс общей физики Том 2 - Электричество, страница 61

Поскольку жидкость идеальна, действие стенок может изменить лишь направление дрь но не его величину. Взаимодействие ') Идея такого объяснения смысла циркуляции ваимствована у Фейнмана (см. Фейнмановские лекция по фивнке, вып. 5, стр. 17, сМир», 1966). 25 и. В. Савельев, т, П которое носит название теоремы Остроградского-Гаусса. Обратимся снова к течению идеальной несжимаемой жидкости. Представим себе замкнутую линию — контур Г.

Предположим, что каким-то способом мы заморозим мгновенно жидкость во всем объеме, за исключением очень тонкого замкнутого канала постоянного сечения, включающего в себя контур Г (рис. 233). В зависимости от характера течения (от характера в поля вектора скорости) жидкость в образовавшемся канале— окажется либо неподвижной, ли- 'мь бо будет двигаться вдоль контура (циркулировать) в одном из Рнс. 233.

двух возможных направлений. В качестве меры этого движения возьмем величину, равную произведению скорости жидкости в канале, умноженной на длину контура й Эту величину назвали циркуляцией вектора т по контуру Г '). Итак, циркуляция т по Г эг между частицами жидкости вызовет такое перераспределение импульса между ними, которое выровняет скорости всех частиц. При этом алгебраическая сумма импульсов не может измениться: импульс, приобретае. мый одной из взаимодействующих частиц, равен импульсу, теряемому второй частицей.

Это означает, что рпв1 = ~ рпп, г(1, г где в — скорость циркуляции, о~ — касательная составляющая скорости жидкости в объеме <н(1 в момент времени, предшествовавший затвердеванню стенок канала, Сократив на ро, получим, что циркуляция ч по Г = п1 = ~ о, Ж. г Аналогично определяется циркуляция любого вектора А по произвольному контуру Г: циркуляция А по Г=А,1 ~А,й, (107.6) где А~ в среднее по контуру значение касательной составляющей вектора А.

Можно подумать, что для отличия циркуляции от нуля векторные линии должны быть замкнутыми илн хотя бы как-то изогнутыми в направлении обхода по контуру. Легко убедиться в ошибочности такого предположения. Рассмотрим ламинарное течение жидкости в реке. Скорость жидкости непосредственно у дна равна нулю н возрастает при приближении к поверхности воды (рис. 234). Линии тока (линии вектора ч) прямолинейны. Несмотря на зто, циркуляция вектора ч по изображенному пунктиром контуру, очевидно, отлична от н ля. И иркуляция характеризует свойства поля, усредненные по области с размерами порядка поперечника контура Г. Чтобы получить характеристику свойств поля в точке Р, нужно уменьшать размеры контура Г, стягивая его в точку Р.

Однако сама циркуляция при етом обратится в нуль. Действительно, среднее значение А~- конечная величина, а длина контура 1 в пределе равна нулю. Следовательно, и произведение Аг1 обращается в нуль. Поэтому целесообразно в качестве характеристики поля вектора А в точке Р взять предел отношения циркуляции вектора А по плоскому контуру Г, стягивающемуся к точке Р, к величине площади контура 5 '): циркуляция А по Г (107.7) 3-аР 8 Однако при нахождении предела (107.7) обнаруживается следующее осложнение: величина этого предела рис. 234. зависит не только от свойств поля в точке Р, но также и от ориентации контура в пространстве, которая может быть задана направлением положительной нормали и к плоскости контура (положительной считается нормаль, связанная с направлением обхода контура при интегрировании правилом правого винта).

Определяя предел (107.7) в одной и той же точке Р для разных направлений п, мы будем получать различные значения, причем для противоположных направлений эти значения отличаются только знаном (изменение направления и на противоположное эквивалентно изменению направления обхода по контуру во время интегрирования,что вызовет лишь изменение знака у циркуляции). Для какого-то на. правления нормали величина (107.7) в данной точке окажется максимальной.

') В случае диеергенции берется отношение интеграла по по. верхностн к объему, охватываемому этой поверхностью. В данном случае берется отношение интеграла по контуру к поверхности, охватываемой этим контуром. Таким образом, величина (107.7) ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Максимальное значение величины (107.7) определяет модуль этого вектора, а направление положительной нормали и, при котором достигается максимум, дает направление вектора.

Этот вектор называется ротором (или вихрем) вектора А. Обозначается он символом го(А. Используя это обозначение, можно записать выражение (107.7) в виде циркуляция А по Г э~р Под (го1 А)„ подразумевается проекция вектора го1 А на положительную нормаль к площадке 5, охватываемой контуром Г. Выражение (107.8) может служить определением век. тора го(А. Из него следует, что ротор есть векторная функция точки Р. Определение (107.8) является самым общим, не зависящим от выбора системы координат. Для того чтобы найти выражения для прог екций вектора го1А на оси декартовой системы координат, нужно определить Р(хрг1 значения величины (107.8) для таких ориентаций площадки Я, при которых норЗф маль и к площадке совпадает с одной из осей х, у, г.

Если, например, направить х у и по оси х, то (107.8) пре- вратится в (го1 А)„. Контур Рис. 235. Г расположен в этом слу- чае в плоскости, параллельной координатной плоскости уг. Возьмем этот контур в виде прямоугольника со сторонами Лу и Лг (рис. 235; ось х имеет на этом рисунке направление на нас; указанное на рисунке направление обхода связано с направлением оси х правилом правого винта). Имея в виду предельный переход 8 -я Р, можно считать значения А„ н А, на каждой иэ четырех сторон контура неизменными.

Участок 1 контура противоположен по направле- нию оси а. Поэтому А~ на этом участке совпадает с — Ам (индекс 1 указывает на то, что А, берется в том месте; где расположен участок 7). Рассуждая аналогично, найдем, что А~ на участках'2, 3 и 4 равна соответственно Аэз, А,з и — А„о В итоге получим для циркуляции значение (107.11) (А„, — А„) Аг — (А„, — А~! Ьу. (107.9) Разность А,з — А„представляет собой приращение А, при смещении вдоль оси у на Ьу. Ввиду малости Ьу ал, это приращение можно представить в виде — Лу. Аиаау логично разность А„~ — А,д можно представить в виде Ьа. Подставив эти выражения в (107.9) н вынося об- дЛу дз щий множитель аа скобки, получим ! дЛ» аЛу1 ! дЛ~ дЛу! циркуляция А*=~ — — — "/ЬУАе ~ — — — "/ЬЯ, 1 ау аг / ! ду а / где Ь8 — площадь контура.

Разделив циркуляцию на Ь5, найдем выражение для проекции го1А на ось хс дл, ал„ (го1 А) ду дз (предельный переход  — Р мы предвосхитили, предпо- ложив, что на каждом из участков контура А„и А, не- изменны). Путем аналогичных рассуждений можно най- ти, что (го1 А) дЛк длх дг дх дЛу дЛ. (го1 А), (107.12) Легко убедиться в том, что любое из выражений (107ЛО) †(107Л2) может быть получено из предыду- щего [для (107.10) предыдущим следует считать(107Л2)1 путем так называемой циклической перестановки коор- динат, т. е. замены координат, осуществляемой по схеме: Итак, ротор вектора А определяется в декартовой системе координат следующим выражением: (107.13) Ниже мы укажем более изяшный способ записи этого выражения.

Зная ротор вектора А в каждой точке некоторой поверхности 5, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру, ограничивающему 5. Для этого разобьем поверхность на очень малые элементы Л5. Согласно (1О?.8) циркуляция вектора А по контуру, ограничи- вающему Ь5, может быть представал лена в виде циркуляция А=(го1А)„Л5, где и — положительная нормаль к элементу поверхности 65. Просуммировав эти выражения по всей поверхности 5, справа получим Ряс.

вза. ~ (го1А)„г(5, слева — циркуляцию А по контуру Г. Действительно, при суммировании слагаемые А~А(, отвечающие отрезкам, разделяющим смежные элементы поверхности, взаимно уничтожатся. Например, для Ь5, лежащей слева от М1т' (рис. 236), этот участок при определении циркуляции проходится в направлении )У-~М, а для 65, лежащей справа от МФ, тот же участок проходится в направлении М - 1т'. Следовательно, отвечающие М)У слагаемые А~Ы отличаются для смежных площадок лишь знаком и при сложении дают нуль. Некомпенсированными останутся только слагаемые Ак11 для внешних (по отношению ко всей поверхности 5) участков отдельных контуров, которые в сумме дадут ~ А~В. г Таким образом, мы пришли к соотношению ~ Аьд1 = ~ (го1 А]„Ю, г 3 которое носит название теоремы Стокса.

Сам по себе этот вектор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую он символически умножается. Так, если умножить вектор 7 на скаляр ф, то получится вектор который, как мы знаем (см.$11),называется градиентом функции цх Если вектор Ч умножить скалярно иа вектор А, получится скаляр дл для для ЧА=Ч„Ак+7иА„+Ч,А, д + д + да ' (107.17) который есть не что нное, как дивергенция вектора А [см.

(!07А)). Наконец, если умножить 7 на А векторно, получится вектор с составляющими: (ЧА)„Ч„А, — Ч,А„ дА~ дла — — и т. д., которые совпадают с составляюду да шими го(А [см. (107.10) — (107Л2)). Следовательно, воспользовавшись записью векторного произведения с помощью определителя, можно написать: ! ) й д д д да дд д* А„Аа А„ (107.18) го! А-['Щ = Пользуясь вектором 7, нужно помнить, что он яв- ляется дифференциальным оператором, действующим на ЗН Написание формул векторного анализа значительно упрощается и облегчается, если ввести в рассмотрение векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом р (чабла) и носящий название оператора набла.

или оператора Гамильтона. Под этим оператором подразумевается вектор с составляющими д д д дх ' да н да . Слелоаательно, д» ) д да' (107.15) все функции, стоящие справа от него. Поэтому при преобразовании выражений, в которые входит Ч, нужно учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференциального исчисления. Так, например, производная произведения функций ф и ф равна (рфУ - ч'ф+ М'.

В соответствии с этим ига д йрф) = Ч (фф) = фЧЧ + «рЧф = ф ига б ~р+ Ч Втаб ф. Градиент некоторой функции ~ представляет собой векторную функцию. Поэтому к нему могут быть применены операции и дивергеиции, и ротора: 61ч агаб ф = Ч (Ч р) (ЧЧ) ~р = (Ч + Чэ+ Ч ) ~р = —, + —, + —, й р (107.19) (Ь вЂ” оператор Лапласа), гогдгай гр =[Ч, ЧсД = [ЧЧ[<р = О, (107.20) так как векторное произведение вектора на самого себя равно нулю. Электростатическое поле Е может быть представлено как градиент потенциала Ч [см. формулу (11,3)[. Согласно (9,2) циркуляция этого поля для любого контура равна нулю, что согласуется с (107.20).

Ротор вектора А является векторной функцией точки. Следовательно, к нему могут быть применены операции дивергенция 'и ротора: б(т го1 А Ч [ЧА[ = 0 (107.21) (из векторной алгебры известно, что смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах; если два из этих векторов совпадают, то объем параллелепипеда равен нулю), го1го1 А =[Ч, [ЧА[3= Ч(ЧА) — (ЧЧ) А игаб б(ч А — ЛА (107.22) формулой [А„[ВСЯ В(АС)— [мы воспользовались — С(АВ)3 Из формулы (107.2!) вытекает, что поле ротора не имеет источников, линии такого поля замкнуты, либо уходят в бесконечность.