Mоделирование процессов и систем в Matlab (Моделирование процессов и систем в Matlab), страница 9

2000 -5. 6000 8,4000 1.9000 Опишем еще ряд функций, предоставляемых пользователю системой МАТ(.АВ. Функция сок(А) вычисляет матрицу ковариа7(ий измерений. При этом получают симметричную квадратную матрицу с количеством строк и столбцов, равным количеству измеренных величии, то есть количеству столбцов матрицы измерений. Например, при применении к принятой матрице измерений она дает такой результат.

» сок(А) апз- 1.5830 0.6845 3.6880 О. 6845 3. 6880 0.7630 2.3145 2.3145 16.5280 На диагонали матришя ковариаций размещены значения дисперсий измеренных величин, а вне ее — значения взаимиыг коррвлт(ио)оакхмомвнтов этих величин. Функция соггсоегг(А) вычисляет ма»ври)Е коэффи7(ивнтов корреляции. Элемен- ты матрицы 5-соггсоеГ(А) связаны с элементами матрицы ковариаций С-сок(А) та- ким соотношением: Б(й г С Я(1 ,насда>ско Пример: » соггсоет(А) 1.0000 0.6228 0.6228 1.0000 0.7210 0.6518 0.7210 0.6518 1.0000 Функции линейной алгебры Традиционно к линейной алгебре относят такие задачи, как обращение и псевдо- обращение матрицы, спектральное и сингулярное разложение матриц, вычисление собственных значений и векторов, сингулярных чисел матриц, вычисление функции прикладной численной натенатики функций от матриц.

Рассмотрим некоторые основные функции МАТ).АВ, атносящиеся к этой области. Функция соп(((А) возвращает число обусловленности матрицы относительно операции обращения, которое равняется отношению максимального сингулярного числа матриш,т к минимальному.

Функция поги(т,р) вычисляет р-норму вектора т по формуле зов(аЬз(ч)."р)"(1/р), где р — целое положительное число. Если аргумент р при обращении к функции не указан, вычисляется 2-норма (р - 2). Функция попп(А.р) вычисляет р-норму матрицы, где параметр р может принимать одно из следующих значений: 1. 2, ' тго ' или (пт. Если аргумент р не указан, вычисляется 2-норма. При этом справедливы такие соотношения: поги(А.1) - аах(ып(абз(А) ) ); поги(А.1ПГ) азх(пят(зЬ5(А'))); попт(А,'Гго') - щгг(зни(стао(А'"А))): поги(А) - поги(А.2) - о „(А).

Функция гсап(((А) вычисляет величину, которая обратна значению числа обусловленности матрицы Я относительно 1-нормы. Если матрица А харашо обусловлена, то возвращаемое функцией значение близко к 1. Если же она плохо обусловлена, ано близко к О. Функция гапк(Я) вычисляет ранг матрицы, который определяется как количество сингулярных чисел матрицы, превышающие порог вах(з т хе(Я) )*поги(А)*ерк Приведем примеры применения этих функций по отношению к матрице А: А 1 О 7 Применение указанных функций приведет к таким результатам: » 0150(сонКА)) 13.6032 » акр(поги(Я.1)) 9 » гйзр(поги(А) ) 8. 0950 » 61»р[гсопет'0) О.

0692 » Е[зр(гма(А)) 3 Функция Оег(А) вычисляет определитель ква4нттиой ман(ри((ы на основе треутольного разложения методом исключения Гаусса. Функция ггасе(А) вычисляет след матрицы А, равный сумме ее диагональных элементов. Функция пц)1(Я) вычисляет ортонормированный базис нуль-нросптранслма матрицы А. Функция агсЬ(А) возвращает ортонормированный базис матрицы А.

Функция ггеПА) формирует треугольную матрицу„используя метод исключения Гаусса с частичным выбором ведущего элемента. Приведем примеры: » Откр(оес[АИ 30 Урок 1 ° МАТ(АВ как научный калькулятор » б(зр(тгасз(АИ 3 » 6(зр[ло11(АИ » 6)зр(огтн(АИ 0.3395 0.4082 -0.8474 0.2793 0.8165 О.М53 0.8982 -0.4082 0.1632 » б!зр(ггет(АИ 1 О 0 О 1 0 0 0 1 2 15 8 3 8 400 » 6)зр()о(АИ 3.0000 8.0006 -0.6667 9.6667 -0.3333 0.0690 » (1.О.Р) )о(АИ » 1 1.0000 0.6667 1.0000 0.3333 -0.0690 »О 3.0000 0 0 400.0000 -258.6667 -148.1724 0 0 1.0000 8.0000 9.6667 0 400.0000 -258.6667 -148.1724 »Р Р 0 0 1 Функция В=с)ю) (А) осуществляет разложение Холецкого для симметричных действительных и комплексных эрмитовых матриц.

» А (1 2 3: 2 15 8: 3 8 400) А 1 2 3 2 15 В 3 8 400 » 6)зр(сэо1 (АИ 1.0000 2.0000 3.0000 О 3.3166 0.6030 О 0 19.7645 Функция (ь.О)-)и(А) позволяет получить Ебразлолгеиие матрицы А в виде произведения нижней треугольной матрицы О (возможно, с перестановками) и верхней треугольной матрицы О, так что А=1+О. Если использовать обращение к этой функции вида (ь.О.Р1-1и(А), то она возвращает три составляющие — нижнюю треугольную матрицу 1, верхнюю треугольную матрицу О н матрицу перестановок Р; при этом Р»А=(.»О. Приведем пример: А 53 Функции прикладной численной математики Вы видите, что при использовании первого, упрощенного, варианта вызова функ- ция возвращает комбинацию матриц 1 и О.

Обращение матрицы осуществляется с помощью функции (пв(Я). » г(явр((пв(Я)) 1.3814 -0.1806 -0.0067 -0.1806 0.0910 -0.0005 -0.0067 -0.0005 0.0026 Функция Р=р1пч(Я) находит матрицу, псевдообратную матрице Я, которая имеет размеры матрицы Я' и удовлетворяет условиям Я"Р"'Я=А и Р"Аир-Р. Напримерк Я" 4 5 б О 1 2 3 5 -1 4 » Р р1пв(А) Р -О. 0423 О. 0704 О.

0282 О. 0282 0.1408 » АЯРЯА апв- 1.0000 2.0000 5.0000 -1.0000 » Р+ЯЯР -0.0423 0.0704 0.0282 0.0282 0.1408 $ проверка 1-го условия 3.0000 4.0000 5.0000 4.0000 6.0000 0.0000 $ проверка 2-го условия Для квадратных матриц эта операция равнозначна обычному обращению. Я" 1 2 5 -1 » (О.й.Р) 0" -О. 5547 -0.8321 й" -7.2111 0 Р 0 0 О 0 0 0 3 4 цг(Я) 4 5 б 0 -0.8321 0.5547 -2.7735 -4.1603 -4.9923 -0.2774 -4.7150 -0.2774 1.9415 -2.2188 1 О 0 1 0 0 Функция 10.й.

Р1=ЦГ(Я) осуществляет раэпожЕИиЕ матриЦы Я иа три составляв- шие — унитарную матрицу О, верхиюю треугольиую матрицу й с диагоиальиыми элементами, уменьшающимися по модулю, и матрицу перестановок Р; при этом ЯЯР - 0»й. Например: 54 Урок 1 МАТ(АВ как научный калькулятор 1 Р 0 0 1 О 0 О 0 0 Определение характеристического полинома матрицы А можно осуществить с по- мощью функции 001у(А).

Обращение к ней вида р-ро1у(А) дает возможность най- ти вектор-строку р коэффициентов характеристического полинома р(в) = бес(вŠ— А) = р(в" +...+р„в + р„м, где Š— обозначение единичной матрицы размером и и Например: а А Г1 2 3. "5 6 О: -1 2 3) А 1 2 3 5 6 О -1 2 3 ъ р ро)у(А) Р 1.0000 -10.0000 20.0000 -36.0000 Вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы осуществляет функция е(д(А). Обычное обращение к ней позволяет получить вектор собственных значений матрицы А, то есть корней характеристического полинома матрицы. Обращение к функции может иметь такой вид: (8.0)=е(д(А).

Тогда в результате получают диагональную матрицу 0 собственных значений и матрицу Р правых собственных векторов, которые удовлетворяют условию А'%-йьО. Эти векторы нормированы так, что норма любого из них равна 1. Приведем пример: А" 1 2 3 -1 8 16 -5 100 3 » 4(вр(евд(А)) 1.2234 45.2658 -34.4893 ь (А.О) е(д(А) й" О. 9979 -0.0590 0.0492 -О. 3530 0.0416 0.9338 О 1. 2234 О 0 -0.0798 -0,3915 -0.9167 45.2658 0 О 0 -34.4893 [0.5.9) - виКА) Используя его, можно получить: матрицу О, которая состоит из ортонормированных собственных векторов, отвечающих наибольщим собственным значениям Сингулярное разложение матрицы осуществляет функция вчс(А). Упрощенное обращение к ней позволяет получить сингулярные числа матрицы А Более слож-' ное обращение выглядит таас 55 Функции прикладной численной математики матрицы А+А'; матрицу Ч, состоящую из ортонормированных собственных векторов матрицы АТ+А; матрицу 5, являющуюся диагональной матрицей, которая содержит неотрицательные значения квадратных корней из собственных значений матрицы А'+А (их называют синеулярн ь)ми числами).

Эти матрицы удовлетворяют соотношению А=0"5+Ч' . Рассмотрим пример: » откр(кто(А)) 100.5617 15.9665 1.1896 » (0.5.Ч) кчб(А) 0 -0.0207 -0.0869 -0.9960 5 100. 5617 .0 0 -О. 9833 0,1817 0.0045 О. 1806 0.9795 -0.0892 0 15.9665 0 0 0 1. 1896 Ч О. 0502 -0.9978 -О. 0442 -О. 0221 -О. 0453 0.9987 -О. 9985 -0.0491 -0.0243 Приведение матрицы к форме Хессенберга осуществляется с помощью функции Незз(А). А 1 2 3 -1 8 16 -5 100 3 » Откр(лекк00) 1.0000 -3.3340 -1.3728 5.0990 25.5000 96.5000 О 12.5000 -14.5000 Используя обращение (Р.НД-))езз(А), можно кроме матрицы Н в верхней форме Хессенберга получить унитарную матрицу преобразований Р„которая удовлетворяет таким условиям: А Р+Н+Р и Р '+Р-еуе(з) хе(А) ).

Например: » (Р.н) нелл[А) Р 1.0000 0 0 О -О. 1961 -0.9806 0 0.9806 0.1961 Н 1.ОООО 5.0990 0 -3. 3340 25,5000 12.5000 -1. 3728 96.5000 -14.5000 Функция зс))нс(А) предназначена для в)введения матрицы к форме Шура. При этом используется упрощенная форма обращения к данной процедуре. Комялексная форма Шура представляет собой верхнюю треугольную матрицу с собственными значениями на диагонали. В действительной форме Шура на диагонали сохраняются только действительные собственные значения, а комплексные значения Увек 1 ° МАТ(АВ как научный калькулятор изображаются в виде блоков размером 2к2 частично занимающих нижнюю под- диагональ.

Обращение 1(). т)-зс~вг(А) позволяет, кроме матрицы Шура т, получить уннтарнуто матрицу О, удовлетворяющую следующим условиям: АЧ)"НЯВ' и () 'Я()-еуе(51ге(А) ). Если начальная матрица А является действительной, то результатом будет дейст- вительная форма Шура, если же комплексной — результат выдается в виде ком- плексной формы Шура. Приведем пример: » 61»О(»санг(А)) 1.2234 -6.0905 0 45.2658 0 0.0000 » (О.Т) - лекк(А) 0 1.0000 0 -О. 1961 0 -0.9806 Т 1.0000 -3.3340 5.0990 25.5000 0 12.5000 -4.4758 84.0944 -34.4893 0 -0.9806 0.1961 -1.3728 96.5000 -14.5000 Функция 1().Т)=гз72сзТ(().Т) преобразует действительную квазитреугольную фор- му Шура в комплексную треупшьную.

» (О, Т) Гк(2скт(О.Т) 0 -0.9934 -0.1147 0 -0.0449 0.3892 -0.9201 -0.1055 0.9140 0.3917 Т 1.4091 -8.6427 10.2938 О 45.1689 -83.3695 0 -34.5780 А»Ч»01ад(88) - ВЯЧ»61ад(АА). Необходимость в одновременном приведении пары матриц к форме Шура возни- кает в таких задачах линейной алгебры„как решение матричных уравнений Силь- вестра и Риккати, смешанных систем дифференциальных и линейных алгебраи- ческих уравнений. Рассмотрим в качестве примера систему обычных дифференциальных уравнений в неявной форме Коши с одним входом н и одним выкодом у Ях+Кх=Ьп; у = ох+ Ьн. Функция ьм, ВВ„().2.

ч)=дг(А.В) приводит пару матриц А и В к обобя(енной форме Шура. При этом М и ВВ являются комплексными верхними треугольными матрицами, В, Х вЂ” матрицами приведения, а Ч вЂ” вектором обобщенных собственных векторов. Йля этих матриц соблюдаются такие условия: В"А»Х=М и ()яВ»2-ВВ. Обобщенные собственные значения могут быть найдены исходя из такого условия: 57 Функции прикладной численной натеиатики Пусть матрицы Я, К и векторы Ь, с и й равны соответственно: а- 1.0000 О 0 1920 1.0000 а 1.1190 -1.0000 36.4800 1.5380 Ь 31.0960 0.1284 с- 0 О -0.0723 Необходимо вычислить значения полюсов и нулей соответствующей передаточ- ной функции.