Mоделирование процессов и систем в Matlab (Моделирование процессов и систем в Matlab), страница 11

» з 1(ГС(у): р)ое(С. з); » Ог)О, зе((оса,'Еот(низе'.'Агеа1 Суг'.'Еопсзвзе'.)б) » СЗЫе('Обратное Фурье-преобразование '); » х)аЬе)('Вренв (с)'): у1аье)('2(С)') На рис. 1.21 изображен результат. Нетрудно убедиться, что воспроизведенный процесс совпадает с исходным. Рис. 1.20. Модуль Фурье-изображения Рис.

1.21. Результат обратного преобразования Фурье Изучая формулу дискретного преобразования Фурье, можно замеппь следующее. 1. Номер т отвечает моменту времени г в который измерен входной сигнал х(лз), при этом Сз = О. 2. Номер и — это индекс значения частоты Еь которому отвечает найденный эле- мент у(я) дискретного преобразования Фурье. 3.

Чтобы перейти от индексов к временной или частотной области, необходимо знать значение л дискрета (шага) времени, через который измерен входной сигнал х(Е) и промежуток времени Т, на протяжении которого он измеряется; тогда шаг по частоте в Фурье-изображении определится соотношением Щ' = —, 1 Т' а диапазон изменения частоты — формулой (1.5) Так, в анализируемом примере (л - 0.001, Т - 2, п - 21) 1)) = 0.5; г 1000.

Урок 1 ° МАТ(АВ как научный калькулятор 4. Из пункта 2 следует, что индексу л = 1 отвечает нулевое значение частоты Ц> - О) Иначе говоря, первый элемент вектора у(1) является значением Фурье-изображеиия при нулевой частоте, то есть просто суммой всех заданных значений вектора х, значит, вектор у(Е) содержит значение Фурье-изображения от частоты /о - О (которой отвечает Й - 1) до максимальной частоты = г (которой отвечает Е - и). Таким образом, Фурье-изображение определяется функцией <ТХ только для положительных частот в диапазоне от О до г; это неудобно для построения графиков зависимости Фурье-изображения от частоты; более удобным и привычным представляется переход к вектору Фурье-изображеиия, определенному в диапазоне частот от -г/2 до г/2; частота г)т = г/2 получила название часлтолпи Нат)квиспю.

5. Как известно, функция е" является периодической по г с периодом 2к; поэтому информация о Фурье-изображении при отрицательных частотах расположена во второй половине вектора у(А). Сформируем для анализируемого примера массив частот, исходя из вышесказанного: » Г О : 0.5 : 1000 Выведем график с аргументом-частотой (рис. 1.22). » р!ох(г.а): Ог(О. зех(йса. Гоп(илие'.'Агта1 суг'.'Гопгзтге'.16) » С(т01е('Модуль Фурье-изобравения '); » к1аье1('Частота (Гц)'): у)аье1('аьз(Е<Х(Х))') На этом графике иепросто распознать те частоты (5 и 12 Гц), с которыми изменяется входной сигиал.

Чтобы определить частотный спектр входного сигнала, нужно сначала преобразовать полученный вектор у Фурье-изображения с помощью функции 7715Ь(ГХ. Функция ЛГЫп Гг (обращеиие к ией осуществляется таким образом: г-ФТ25Ь) Гь(у)) предназначена для формирования нового вектора г из заданного вектора у путем перестановки второй половины вектора у в первую полонину вектора г . При этом вторая половина вектора г состоит из элементов первой половины вектора у. Более точно эту операцию можно задать с помощью приведенных ниже соотношений.

г(1) - у(п/2 + 1); ... г(Е) - у(я/2 + Е); ... г(л/2) - у(п); г(п/2 + 1) - у(1); ... г(м/2 + й) = у(Е); ... г(п) - у(и/2). ~> ПРИМЕЧАНИЕ Функцию Гт(зЬН( удобно использовать для преобразованию массива Фурье-изобра)кения с целью построения его графика в частотной области. 1ем не менее этот массив не может быть использован для обратного преобразования Фурье. Применим данную функцию к предыдущему примеру (рис. 1.23). » () -500: 0.5: 500; Х Перестройка аентора частот » т Гтгзп(ГС(у); Х Перестройка вектора аурье-изобракенил » а аЬз(ч): Х Намовленке нодуля » р1ос(<Х(970 : )ОЗО).а(970 : 1030)); Огтб, Х ВиаоД гда(ика Функции прикладной численной математики » эее(йса. 'Гоп<илие'.

'Агта1 Суг'. 'Гопс51ае'. 1б) » 11$1е('йодуль Фурье.иэобракения'); » х1аЬе1('Частота <Гц)'); у1аье1('аьэ(Г(Х(С))') 1 т П Рис. 1.23. Преобраэоеание Фурье-иэображения функцией <<<тЬ<<< Рис. 1.22. Модуль Фурье-иэобрмкения е частотной области Из графика, представленного на рис. 1.23, уже становится очевидным, по в спектре входного сигнала есть две гармоники — с частотами 5 и 12 Гц.

Однако по такому графику невозможно установить амплитуды этих гармоник. Для того чтобы исправить указанный недостаток, нужно вектор у Фурье-изображения разделить на число его элементов <и); в результате получим вектор комплексного спектра сигнала <рис. 1.24): ' » й 1епй<Ь(у); а аьэ(т)/й: » р1от(П(970: 1030) . а(970: 1030) ): йгео » кое(вса. 'Гоп<ките', 'Агта1 Суг', 'Гоп<51 хе', )а. 'Со1 от'. 'ил)те']. » С<11е<'Модуль кокплексного спектра'); » х1аЬе1<'Частота (Гц)'): у1аЬе)('аьэ(Г(Х(С))/й') Рис. 1.24. Комплексный амплитудный спектр сигнала .

При рассмотрении графика видно, что еамплитуды» всех составляющих гармоник равны 0,5. При этом нужно принять во внимание, что еамплитуды» распреде-,.' лены между положительными и отрицательными частотами поровну, значит, они :,:, вдвое меньше действительной амплитуды соответствующей гармоники. бб Урок ! ° МАТСЛВ как научный калькулятор Построение простейших графиков Вывод результатов вычислений в наглядной графической форме является одной из важнейших процедур в инженерной и научной практике.

МАТЕАВ предоставляет для этого широкие возможности. Ознакомимся с некоторыми из средств построения графиков, предусмотренными системой. Процедура р1оС Вывод графиков в системе МАТ(.А — настолько простая и удобная операция, что ее можно использовать даже в режиме калькулятора Основной функцией, обеспечивающей построение графиков на экране дисплея, является функция р) оС. Общая форма обращения к ней такова: р)ОС(х1.у1. $1,х2.у2. 52.... ) Здесь х1, у1 — заданные векторы, элементами которых являются массивы значений аргумента (х1) и функции (у1), отвечающие первой кривой графика; х2, у2— массивы значений аргумента и функции второй кривой и т. д.

При этом предполагается, что значения аргумента откладываются вдоль горизонтальной оси графика, а значения функции — вдоль вертикальной оси. Переменные 31, з2, ... являются символьными (их указание не является обязательным). Любая из них может содержать до трех специальных символов, определяющих соответственно: а) тип линии, которая соединяет отдельные точки графика; б) тип точки графика; в) цвет линии.

Если переменные 3 не указаны, то типом линии по умолчанию является отрезок прямой, типом точки — пиксел, а цвет устанавливается в такой очередности: синий, зеленый, гуасный, голубой, фиолелюеый, желтый, черный, белый — в зависимости от того, какая по очереди линия выводится на график. Например, обращение вида р)оС(х1.у1,х2,у2,...) приведет к построению графика, в котором первая кривая будет линией, состоящей из отрезков прямых синего цвета, вторая кривая такого же типа — зеленой линией и т. д. Графики в МАТЮКАВ всегда выводятся в отдельное графическое окно, которое называют фигурой. Допустим, нужно вывести график функции у - Ззш(х + я/3) для значений аргумента от -Зя до +Зп с шагом я/! 00.

Сначала сформируем массив значений аргумента ж » х - -з~р(: р()1ЭО: з~р(: Потом вычислим массив соответствующих значений функции: » у 3"к(о[к ь р(/3); После этого построим график зависимости у(х). » р) оС(х.у) В результате на экране появится окно с графиком (рис. 1.25). Если вектор аргумента при обращении к функции р) оС не указан явно, то система по умолчанию принимает в качестве аргументов, номера элементов вектора функции. Например, после ввода команды р) оС(у) появится график, имеющий такой вид, как показано на рис.

1.26. Построение простейших графиков Графики, приведенные на рис. 1.25, 1.26, имеют следующие недостатки: О на них не нанесена сетка из координатных линий, что затрудняет ч.гение графиков; О нет об)цей информации о кривой графика (заголовка); О неизвестно, какие величины отложены по осям графика. Рмс. 1.20. График функции с указанием аргумента Рис. 1.26. График функции без указания аргуиента первый недОстатОк устраняется с пОмОщью функции дг)г).

Обратимся к этОЙ функ- ции сразу после обращения к функции р)ос. » х -З»01: 01/100: З»р1: » у - Зьз1п(х + р1г'3): » р)от[к,у), дг1г) В этом случае график будет снабжен координатной сеткой (рис. 1.27). Рмс. 1.27. Результат применения функции дпд Ценной особенностью графиков, построенных в системе МАТ1.АВ, является то, чтп сетка координат всегда соответствует кислым» шагам изменения, поэтому )рафики являются вчитабельными», то есть по графику можно отсчитывать зна',.

чение функции при любом заданном значении аргумента и наоборот. 68 Урок 1 ° МАТ(АВ как научный калькулятор Заголовок графика выводится с помощью процедуры 11 11 е. Вызовем после обра- щени к роцедуре р)ог процедуру 11110. » ттт1е('<текст>' ) Над графиком появится текст, записанный между апострофами в скобках. При этом следует помнить, что текст всегда должен помещаться между апострофами. Аналогично можно вывести объяснения к графику, которые размещаются вдоль горизонтальной оси (функция х1 аЬе1) и вдоль вертикальной оси (функция у1аЬе1 ).

Наберем следующую совокупность операторов: » х -3»рт: РН100: 3"рт; » у 3»з!п(х + рт/3): » р1от(х.у). Опте: » 1111е (' Функция у 3*зтп(х + рттЗ)'): » х)аЬе)('х'): у1аЬе1('У'): х - 4 е ем' зш Г, у - 0,2 е кт т зш 22 Выберем диапазон изменения параметра г от 0 до 50 с шагом 0,1 и наберем сово- купность операторов: »т 0:0.1; 00; » х 4"ехр(-0.00»т)."з1п(Г): » у 0.2»ехр(-0.1»$).*зтп(2хт): » Р)от(х.у). 9гш, зет(йсГ,'со1ог .'и$пте') » т(11е ('Паранетрическая функция х 4"ехр(-0.051)"зтп(1): у - 0.2"Ехр(-О. 11)»ятп(2Ь)') В результате получим график, показанный на рис. 1.29. Рис. 1.28.

Результат прниенения функций В йе, х(аЬе( и майе( Рис. 1.29. График параиетрически заданной функции Поле фигуры будет выглядеть так, как показано на рис. 1.28. Очевидно, что эта форма уже целиком удовлетворяет требованиям, предъявляемым к инженерным графикам. В среде МАТЮКАВ несложно выводить и графики функций, заданные параметри- чески.