Mоделирование процессов и систем в Matlab (Моделирование процессов и систем в Matlab), страница 6

» го(90(А) апаб 12 18 5 11 17 4 10 16 3 9 15 2 8 14 1 7 13 » ге»Паре(А.2,9) апа- 1 13 8 7 2 14 3 15 10 5 17 12 9 4 16 11 б 18 Функция Ог(1(А) образует нижнюю треугольную матрицуна основе матрицы А пу- тем обнуления ее элементов выше главной диагонали, » тг(1(А) апа- 1 0 0 7 8 О 13 14 15 О О 0 0 0 0 О О 0 Функция гезпаре(А.(а. и) образует матрицу размером гпкп, выбирая из столбцов элементы задатпюй матрицы А и распределяя их по и столбцам, каждый из кото- рых содержит )л элементов. число элементов матрицы А будет поэтому равняться произведению гп на и. Операции с аеатараии и матрицами Функция 1п и(А) образует верхнкло треугольную матрицу на основе матрицы А пу- тем обнуления ее элементов ниже главной диагонали.

2 3 4 5 б 8 9 10 11 12 0 15 16 17 18 Функция Оап1е1(ч) образует квадратную матрицу Ганкеля,первый столбец кото- рой совпадает с заданным вектором ч. 4) 7 4 7 4 4 0 0 0 0 0 Функция Над(х) формирует или извлекает диагональ матрицы. Если х яюиется вектором, то данная функция создает квадратную матрицу, у которой элементы вектора х размещены на главной диагонали. 0 0 О б 0 0 0 7 0 О 0 Чтобы поместить элементы вектора на другую диагональ, при обращении к функ- ции необходимо указать еще один параметр — номер диагонали, выраженный це- лым числом (ири этом диагонали отсчитываются начиная от главной по направ- лению вверх).

1(огда х является матрицей, функция й ад(х) создает вектор-столбец, который со- стоит нз элементов главной диагонали заданной матрицы х, например для матри- цы А, указанной перед примером применения функции 71)р1 г. » тг1и(А) апз- 1 0 0 »ч (567 ч -5 б » Ьапхе1(ч) ап5 -5 6 6 7 4 0 » 0(ад(ч) апз- -5 0 0 0 » 61ад(ч,-1) апз О 0 -5 0 0 б 0 О О 0 » Отар(А) 1 8 15 0 0 О 0 0 0 0 0 О 7 О О О 4 0 32 Урок 1 ° 74АТ(АВ как научный калькулятор Если при этом указать дополнительно номер диагонали, то можно получить вектор-столбец из элементов любой диагонали матрицы к, например: » Шав(А.З) ала- 4 11 18 Функция тегаз(1.

(() формирует (создает) вектор-строку, а функция хегоз((т',1)— вектор-столбец, состоящие из и нулевых элементов. Векторы, значения элементов которых являются случайными равномерно распределенными, формируются таким образом: функция гапб(1, и) создает вектор- строку, а функция гапб(и, 1) — вектор-столбец. Извлечение и вставка частей матриц Прежде всего отметим, что обращение к любому элементу заданной матрицы в МАТ).АВ осуществляется путем указания (в скобках, через запятую) после именя матрицы двух целых положительных чисел, определятоших соответственно номер строки и столбца матрицы, на пересечении которых расположен этот элемент.

Допустим, мы имеем такую матрицу А". » А 11 2 3 4; 5 б 7 8; 9 10 11 121 А- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Н 12 Получить значение элемента втой матрицы, расположенного на пересечении второй строки с третьим столбцом, можно таким образом: » А(2,3) ала - 7 Если же нужно поместить на указанное место некоторое число, например я, выполшпе следующее: » А[2.3) рт; А А 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 3.1416 8.0000 9.0000 10.0000 11.0000 12.0000 Иногда требуется создать меньшую матрицу на основе большей, формируя ее путем извлечения из последней матрицы элементов ее нескольких строк и столбцов. Или, наоборот. вставить меньшую матрицу таким образом, чтобы она стала определенной частью матрицы большего размера Эта операция в МАТЕАВ выполняется с использованием символа двоеточия (: ).

Рассмотрим такие операции на примерах. Допустим, нужно создать вектор ч1, состоящий из элементов третьего столбца последней матрицы А Сделаем следующее: » »1 А(:.3) ч1 = 3. 0000 Операции с векторэии и иэтрицаии 3.1416 м.оооо Чтобы создать вектор н2, состоящий из элементов второй строки матрицы Я, по- ступим таким образом: » н2 А(2,:) н2- 5.0000 6.0000 3.1416 8.0000 Если нужно из матрицы А образовать матрицу В размером 2х2, которая состоит из элементов левого нижнего угла матрицы А, делают так: » В А(2:3.1:2) В" 5 б 9 10 Аналогично можно вставить матрицу В в середину верхней части матрипы А: 5 6 4 9 10 8 10 11 12 Как видно, здесь вместо указания номеров элементов матрицы можно задавать диапазон изменения этих номеров путем определения нижней и верхней границ, разделенных символом е:».

Если верхней границей изменения номеров элементов матрицы является ее раз- мер в этом измерении, вместо него можно использовать служебное слово еп0. На- пример: » А(2:еп0,2:епб) апэ- 9 10 8 10 11 12 Эти операции удобно использовать для формирования матриц, больщннство эле- ментов которых одинаковы, в частности так называемых разреженных матриц, состоящих в основном из нулей.

Для примера рассмотрим формирование разре- женной матрицы размером бх7 с единичными элементами в центре: «Растянуть» матрицу А в единый вектор и можно с помощью обычной записи н=А(: ). При этом создается вектор-столбец с количеством элементов ахи, в котором т 3»кэ57 » А(1:2.2:3) = В А= 1 5 9 » А - тегоэ(5,7); » В = опез(3.3); » А(2:4.3:5) В А 0 0 0 0 0 О О 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 О 1 1 0 0 1 1 О 0 0 О 0 0 34 Урок 1» МАТ[Аз как научный калькулятор столбцы заданной матрицы размещены один под другим- в том же порядке, что и раньше: »А [123: 4561 А= 1 2 3 4 5 б » к - А(:) т- 1 4 2 5 3 б » А1 [1 2 3,"4 5 677 В 91: » А2 [10;11:121: » АЗ [14 15;16 17;18 192; » А [Аг.АЗ.А31 А" 1 4 2 3 10 14 15 5 б 11 16 17 В 9 12 10 19 Пример вертикальной конкатенации: » В1 П 2 3 4 51." » 02 = [б 7 В 9 10."11 12 13 14 151; » ВЗ - [17 1В 19 20 21]: » В [51:02."ВЗ) В- 1 2 3 4 5 б 7 В 9 10 11 12 13 14 15 17 10 19 20 21 Операции с векторами Будем различать две группы действий над векторами: векторные действии — то есть такие, которые предусмотрены векторным исчислением в математике, и дей- ствия по преобразованию элементов — это те, что преобразуют элементы вектора, но не являются операциями, разрешенными в математике.

Наконец, «расширить» матрицу, составив ее из отдельных заданных матриц (яблоков»), тоже довольно просто. Если заданы несколько матриц-блоков с одинаковым количеством строк, например А1, А2, ..., АВ, то из них можно сформировать единую матрицу А, располагая блоки горизонтально в одну линию таким образом: А-[А1.А2.....АМ). Эту операцию называют горизонтальной конкатенацией (сцеплением) матриц.

Вертикальная конкатенация матриц реализуется (при условии, что все составные блоки-матрицы имеют одинаковое количество столбцов) аналогично, путем применения для отделения блоков точки с запятой вместо запятой: А=[А1:А2;...;АМ1. Приведем пример горизонтальной конкатенации: Операции с еехторами и матрицами Действия над векторами Сложение векторов. Как известно, суммироваться могут только векторы одного типа (те, которые являются либо векторами-строками, либо векторами-столбцами), имеющие одинаковую длину (одинаковое количество элементов). Если х и у— именно такие векторы, то их сумму, г, можно получить, введя команду ч=х+Ч, например: »х= Г1231; г= (456В »ч х+т ч 5 У 9 Вычитание векторов.

Это действие осуществляется аналогично, с помощью арифметического знака минус (-). Оно выполняется над векторами, имеющими одинаковую структуру (ч=х-у). »ч х-у ч -3 -3 -3 Транспонироваиие вектора. Осуществляется с применением знака апастрофа ('), который записывается сразу после имени транспонируемого вектора. » х' еп5 1 г 3 Умножение вектора на числа. Осуществляется в МАТЮКАВ с помощью арифметического знака умножения (») таким образом: ч=Х" г или ч-г"Х, где г — некоторое действительное число. »ч 2*х ч 2 4 6 Умножение двух векторов. Определено в математике только для векторов одинакового размера (одинаковой длины) и лишь тогда, когда один из векторов-множителей — строка, а второй — столбец.

Иначе говоря, если векторы х и у являются строками, то математический смысл имеют лишь две формы умножения данных векторов: и=х' "у й ч-х"у'. При этом в первом случае результатом будет квадратная матрица, а во втором — число. В МАТЮКАВ умножение векторов задается посредством символа 4*», который записывается между множителями-векторами: » х - Г1 2 ЗВ у = (4 5 6В » ч х'»у ч- 4 5 6 Н 10 12 12 15 18 » ч х»у' ч 32 Векторное произведение двух векторов (для трехкампоневтных векторов). Для выполнения этой операции в МАТЮКАВ предусмотрена функция сгаэз, которая Зб Урок 1 ° МАТ(ДВ как научный калькуллтор позволяет найти векторное произведение двух векторов. Если заданы два трех- компонентных вектора к1 и 92, достаточно ввести команду сгозз(ч1, 92).

»ч1 (1231; к2 (45бВ » сгокк(»1,ч2) апк - -3 б -3 Поздементное преобразование векторов В языке МАТЮКАВ предусмотрено выполнение ряда операпий, позволяющих преобразовать заданный вектор в другой вектор, имеющий такой же размер и тип. Подобные операции, строго говоря, не является математическими. К таким операциям относятся, в частности, все операции, осуществляемые с помощью элементарных математических функций, имеющих один аргумент (см. табл. 1А). В языке МАТЕАВ запись вида угз(п(х), где х — некоторый известный вектор, приводит к формированию нового вектора у (имеющего тот же тип и размер, что и вектор-аргумент), элементы которого равны синусам соответствующих элементов вектора-аргумента х. Приведем несколько примеров: » х " (-2,-1.0.1.2В » у к)п (х) У -0.9093 -0.8415 » * = сап(х) г - 2.1850 -1.55?4 » к ехр(х) ч - 0.1353 0.3679 0 0.

8415 0. 9093 0 1.5574 -2.1850 1.0000 2.7183 7.389 Кроме описанных операций в МАТЮКАВ предусмотрено несколько операций по- элементного преобразования. Они задаются с помощью обычных знаков арифметических операций и применяются к векторам одинакового типа и размера. Результатом их является вектор аналогичного типа и размера. О Добавление числа к каждому элементу (вычитание числа из каждого элемента) вектора. Осуществляется с помощью символа «+» («-»). О Поэлементное умножение векторов. Производится с помощью комбинации символов «.*», которые записываются между именами перемножаемых векторов. В результате получается вектор, каждый элемент которого является произведением соответствующих элементов векторов-«сомножителей». О Поэлементное деление векторов.

Осуществляется с помощью комбинации символов «./». В результате получается вектор, каждый элемент которого является частным от деления соответствующего элемента первого вектора на соответствующий элемент второго. О Позлементное деление векторов в обратном направлении. Осуществляется с помощью комбинации символов «.1». В результате получают вектор, каждый элемент которого является частным от деления соответствующего элемента второго вектора на соответствующий элемент первого. О Позлементное возведение в степень.