Mоделирование процессов и систем в Matlab (966709), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Осуществляется с помощью комбинации символов «."». В результате получается вектор, каждый элемент которого является соответствующим элементом первого вектора, возведенным в сте- Операции с аехторани и матрицами пень, величина которой равна значению соответствующего элемента второго вектора. Ниже приведены примеры выполнения зтнх операций.
» х С1.2.3.4,5В у Е-2.1.4.0.5В » 015р(х + 2) 3 4 5 6 7 в Ф5иу - 3) -5 -2 1 -3 2 в 015ИХ .* У) -2 2 12 О 25 в 615р(х .I у) Иагп1по: 015105 Ьу хего -0.5000 2.0000 0.7500 в 415р(х Л У) -2.0000 0.5000 1.3333 » 415их. У) 2 81 1пт 1.0000 О 1.0000 1 3125 Вышеуказанные операции позволяют очень просто вычислять сложные математические функции (а затем строить их графики) без использования операторов цикла, то есть осуществлять построение графиков в режиме калькулятора.
Для этого достаточно задать значение аргумента как арифметическую прогрессию, а потом записать нужную функцию, используя знаки позлементного преобразования векторов. Предположим, что нужно рассчитать значения функции у = ае ' Ипх при значениях аргумента х от О до 10 с шагом 1. Вычисление массива значений этой функции при указанных условиях можно осуществить с помощью всего лишь двух простых операторов. ва-3: Ь 05: х 0: 10: в у а * ехр(-Ь * х) .* 51п(х) у Со!опав 1 Фпгоодп 7 0 1.5311 1.0035 0.0945 -0.3073 -0.2361 -0.0417 Со1овп5 О Спгоооа 11 0.0595 0.0544 0.0137 -0.0110 1озлементное преобразование матриц Для позлементного преобразования матрицы пригодны все алгебраические функции, приведенные в табл.
1.4. Они формируют матрицу того же размера, что н исходная, у которой каждый элемент вычисляется как значение указанной функции от соответствующего элемента заданной матрицы. Кроме этого, в МАТЮКАВ определены следующие операции. О Поэлемеитное умножение матриц одинакового размера. Задается комбинацией символов «.'», записываемой между именами перемножаемых матриц. О Поэлементное деление. Осуществляется с помощью комбинации символов «./ и и «.~в. О Поэлементное ноэведенне в степень. Осуществляется с помощью комбинации символов «."в.
При выполнении этой операции каждый элемент первой Урок 1 МАТЕАВ как научный какькупптор матрицы возводится в степень, значение которой равно значению соответствующего элемента второй матрицы. Приведем несколько примеров. » А 11.2.3.4.5: -2, 3, 1. 4, 03 А 1 2 3 4 5 -2 3 1 4 О » В " Е1.3.5.-2.1: 1.8.-3.-1.21 В -1 3 5 -2 1 1 8 -3 -1 2 » »4п(А) апк- 0,8415 0.9093 0.1411 -0.7568 -0.9093 0.1411 0.8415 -0.7568 »А .*В апк- -1 б 15 -8 5 -2 24 -3 -4 О » А ./ В апк " -1.
0000 -2.0000 »ААВ йагп!п9: 01чтйе Ьу гого дпз -1.0000 1.5000 1.6667 -0.5000 -0.5060 2.6667 -3.0000 -0.2500 »А." В апз 1.0е + 003 * 0.0010 0.0080 0.2430 0.0001 -0.0020 6.5610 0.0010 0.0002 -0.9589 0 О. 6667 О. 6000 -2. ОООО 0.3750 -0.3333 -4.0000 5.0000 0 0.2000 1пт 0.0050 0 »А- 61 2 345; 6789111 А 1 2 3 4 5 б 7 8 9 11 »А+2 апк- 3 4 5 8 9 10 »2+А апз " 3. 4 5 б 7 8 9 10 11 13 б 7 11 13 О Прибавление к матрице числа. Является операцией, специфичной лля языка МАТЕ.АВ. Она записывается следующим образом: А+х, или х+А, где А — матрипа, а х — числ4 Такой операции нет в математике.
В МАТ).АВ она эквивалентна совокупности операций А х"Е, где Š— обозначение матрицы (все элементы которой равны единице), имеющей такие же размеры, как и матрица А, Например: Операции с ветерана э матрицами Действия иад матрицами О при сложении или вычитании матрицы должны иметь одинаковые размерьг, О при умножении матриц количество столбцов первой матрицы должно совпадать с количеством строк второй матрицы. Невыполнение данных условий вызовет появление в командном окне сообщения об ошибке.
Приведем примеры сложения и вычитания: »А ~1234 А 1 2 б 7 »В 10-1-2 В 0 -1 5 б »А+В зп5 1 1 1 13 »А-В ин- 1 3 1 1 5: 6789111 3 4 5 8 9 11 -3-4: 567891 -2 -3 -4 7 8 9 1 1 1 15 17 20 5 7 9 1 1 2 Примеры умножения на число: » 5»А ьпз- 5 10 15 20 25 ЗО 35 40 45 55 » А"5 апз- 5 10 15 20 25 ЗО 35 40 45 55 Примеры транспонирования матрицы: » А' 1 б 2 7 3 В 4 9 5 11 Базовые действия над матрицами — сложение, вычитание, транснонирование, умножение матрицы на число, умножение лизврицы на матрицу, возведение матрицы в целую стелень — осуществляются в языке МАТ1.АВ с применением обычных знаков арифметических операций.
Задавая эти операции, важно помнить, при каких условиях их выполнение возможно: Урок 1 ° )«АТ(АВ кэк научный кэлькуллтор Пример умножения матрицы на матрицу: » А'«8 апк- 30 35 40 45 50 35 40 45 50 55 40 45 50 55 60 45 50 55 60 65 55 61 67 73 79 » С А«8' С -40 115 -94 299 Обращение матрицы. Эта операция осуществляется с помощью функции )ПК(А). Исходная матрица А должна быть квадратной, а ее определитель не должен рав- няться нулю.
» )пк(С) аы- -2.6000е-001 1.0000е-001 -8.1739е-002 3.4783е-002 Проверим правильность выполнения операции обращения, применив ее еще раз к полученному результату. » йв(апк) эпэ = -4.0000е+001 1.1500е+002 -9.4000е+001 2.9900е+002 » А"2 дп5 8 -3 -5 10 -2 4 » А"(-2) апэ- 1.5385е-001 7 6923е-002 2.1328е-018 -10 16 9 -7.6923е-002 3.0769е-001 -1.5385е-001 3.0769е-001 -4.6154е-001 3.8462е-001 Деление матриц. В языке МАТЮКАВ имеются дэе новые оригинальные функции деления матриц, которые не определены в математике. При этом вводятся понятия деление матриц слева направо и деление матриц справа налево. Первая операция записывается с помощью символа «/», а вторая — с помощью символа «~».
Как видите, мы получили исходную матрицу С, следовательно, обращение матри- цы выполнено правильно. Возведение матрицы в целую степень. Осуществляется в МАТЮКАВ с использо- ванием символа «"», например: А"и. При этом матрица должна быть квадратной, а и — целым (положительным или отрицательным) числом. Данное матричное действие эквивалентно умножению матрицы А на себя и раз (если и — положи- тельное число) или умножению обратной матрицы на себя (если п — отрицатель- ное число).
41 Операции с векторами и матрицами Операция В/А эквивалентна операции В" ни(М, где функция )пв осуществляет обрап(ение матрицы. Ее удобно использовать для решения матричного уравне- ния Х.А - В. Аналогично, операция А1 В равносильна операции 1пв(А)*В, которая представляет собой решение матричного уравнения А-Х - В Рассмотрилг задачу нахождения корней системы линейных алгебраических урав- нений х1 + 2хг + Зхз = 14; 2х, -хз — 5хз =-15 х, -хг-хз =-4. В среде МАТ(.ЛВ это можно сделать таким образом »А (123: 2-1-5: 1-1-1) А 1 2 3 2 -1 -5 1 -1 -1 » В (14:-15:-41 В= 14 -15 -4 »х А1В х 1 2 3 ВО.ббВ5 59.9309 75.4773 Иатричные функции Вычисление матричггой экспоненты (ел) осуществляется с помощью функций ехрв5 ехрп1, ехра2 и ехр(53.
Эти функции следует отличать от прежде рассмотренной функции ехр(Я), формирующей матрицу, значение каждого элемента которой равняется е в степени, равной соответствующему элементу матрицы А. Функция охра является встроенной функцией МАТ1.АВ. Функция ехрн1(Р) реализована как М-файл, который вычисляет матричную экспоненту путем использования разложения Паде матрицы А. Функция ехри2(А) вычисляет матричную экспоненту посредством разложения Тейлора матрицы А, а функция ехра3(Р)— с помощью спектрального разложения матрицы А. Приведем примеры применения этих функций: ' » А = (1,2.3. -О.
-1,5;7, -4.13 'А " 1 2 3 0 -1 5 7 -4 1 » ехрв(А) вп5 1Э1.364В -9.5601 "97. 0030 -7. 176В 123. 0245 -В. В236 Урок 1 ° МАТ(А8 как научный калькулятор х ееая(А) дП5 )31.3648 97.8030 123.0245 » ехр52(А) ала- 131.3648 97.8030 123.0245 » ахрвЗ[А) ап5- 1.0е+002 » 1.3136 + 0,00001 0.9760 + 0.00001 1.2302 + 0.00001 80. 6685 59.9309 У5.4УУЗ -9.5601 -7.1768 -8.8236 -9.5601 -7.1768 -8.8236 80.6685 59.9309 75.4773 -0.0956 + 0.00001 0.8067 — 0.00001 -0.0718 - 0.00001 0.5993 - 0.00001 -О.0882 — О 00001 0.7548 — О.ОООО1 Функция 1ооа(А) осуществляет обратную операцию — логарифмирование матри- цы по натуральному основанию.
А 1 0 7 2 3 1 5 4 1 » 8 ехраЗ(А) 8- 1.0е+003 * 0.9378 0.7987 1.0643 0.9074 1.5182 1.2932 » 1оов(8) ап5 1.0000 2.0000 О.ОООО 1.ОООО У.ОООО 4:0000 Функция ЗЧг(и(А) О. 9547 1 0844 1. 5459 3.0000 5. 0000 1.0000 вычисляет такую матрицу у, что гят' - А » т аог)в(А) г 0.7884 + 0.88061 0.8953 + 0.65081 1. 2765 — 1. 40921 » т"т ап5- 1.0000 + О.ОООЙ 0.0000 - 0.00001 7.0000 + 0.00001 0.6ПУ - 0.17951 0.7628 + 0.86201 1.0875 - 0.54491 0.8029 — 0.41801 0.9118 — 1.00661 1.3000 + 1.25251 3.0000 + 0.00001 5.0000 - 0.00001 1.0000 + 0.00001 2.0000 - 0.00001 1.0000 - 0.00001 4.0000 + 0.00001 Функции прикладной численной математики К преимуществам системы МАТ4.АВ относится то, что она содержит в своем составе большое число функций и процедур, реализующих стандартные математические операции, используемые в прикладной (инженерной) математике. Сюда Функции прикладной численной иатеиатики можно отнести операции с полиномами, обработку данных измерений, функции линейной алгебры, аппроксимацию и интерполяцию ланных, векторную фильтрацию и спектральный анализ сигналов.
Далее ознакомимся с важнейшими из них. Операции с полииомами В системе МАТ1.АВ предусмотрены некоторые дополнительные возможности оперирования с полиномами. Полипом (многочлен) как функция определяется выражением Р(х) = а„х" +... + акх + а,х+ ао. В среде МАТЮКАВ полипом задается и сохраняется в виде вектора, элементами которого являются коэффициенты полинома от а„до ао в указанном порядке: Р = (а„... ат а( ао).
Ввод полинома в МАТЮКАВ осуществляется так же, как и ввод вектора длиной в+ 1, где н — порядок полинома. Умножение и деление полииомов. Произведением двух полиномов степеней я и вь как известно, называют полипом степени и+ и( коэффициенты которого гшределяют посредством простого перемножения этих двух полиномов. Фактически операция умножения двух полиномов сводится к построению расширенного вектора коэффициентов по заданным векторам коэффициентов полиномов-сомножителей. Эту операцию в математике называют сввртяой векторов (а сам вектор, получаемый в результате такой процедуры — вектором-свврпжой двух вектоРов). В МАТ1.АВ ее осуществляет функция сопч(р1, р2).
Аналогично, функция бесопч(р1, р2) выполняет деление полинома р1 на полипом р2. то есть обратную свврюлку векторов р1 и р2. Она определяет коэффициенты полинома, который является частным от деления р1 на р2. » р1 (1.2.31: р2 (1.2.3.4.5.61: » р сопч(р1,р2) Р 1 4 10 16 22 26 21 16 » Оесопч(р.р1] апк - 1 2 3 4 5 6 В общем случае деление двух полиномов приводит к получению двух полиномов — полинома-результата (частного) и полинома-остатка. Чтобы получить оба полинома„следует задать команду (0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
