Mоделирование процессов и систем в Matlab (Моделирование процессов и систем в Matlab), страница 10

Эта задача сводится к нахождению собственных значений Х, которые удовлепю- ряют матричным уравнениям: Кг=-ХЯг; — К Ь Я О Расчет нулей осуществляется таким образом: »А Ра Ь $ Еорннрованне с О) 3 первой натрицы А= -1.11900 1.0000 0.1284 -36.4800 -1.5380 31.0960 0.6299 0 -0.0723 »В (-0 догов(в1ге(Ы) кетов(в)ге(с)) О Э В -1.0000 0 -0.1920 -1.0000 0 0 » (ДА.ВВ) цт(А.В) АА- 31.0963 -О.У169 -36.5109 0.0000 1.0647 0.9229 т аорннрование $ второй иатрнцы 0 0 0 т приведение матриц к Форне Вура Решение первого уравнения позволяет вычислить полюсы передаточной функции, а решение второго — нули.

Ниже приведена последовательность операций, позволяющая произвести расчет полюсов: » (АА.ВВ) цг(8,-0) т Приведение натрнц к Форне Оура АА 5.5039» 2.79751 24.8121 - 25364бт 0.0000 - 0.00001 5.5158 - 2803бт ВВ -0.6457 » 0.76221 -0.133У » 0.13781 0 -0.6471 — 0.76381 » Отав(АА) ./ Отвд(88) т Расчет полюсов апв -1.4245 - 6.01437 -1.4245 » 6.0143т Урок 1 МДТСДВ как научный калькулятор О 0.0000 0.5119 ВВ 0 0.9860 -0.2574 0 0.0657 0.9964 0 0 -0.0354 ь О(ад(М) ./ 0(ад(ВВ) Х Вычисление нулей апз1пт 16.2009 -14.4706 Вычисление собственных значений матричного полинома осуществляет функция ро1уе)9. Обращение (й,б)-ро1уе19(АО.А1 ..ДР) позволяет решить полную проблему(собственных значений для матричного полинома степени Р такого вида: (Ао + )ьА( + ... + )(лАр )К = О. Входными аргументами этой функции являются р+ 1 квадратные матрицы Ае, Ан ..., А порядка и, а выходными — матрица собственных векторов К размером пи(пир) и вектор о собственных значений размером яиР Функция ро1уча1ю предназначена для вычисления матричного полинома вида 1(Х)=Р Х +Р гХ +" +РХХ +Р(Х+Ре ' по заданному значению матрицы Х и вектора р - 1Р р„„..., Ре] коэффициентов полинома Для этого достаточно использовать обращение вида г'-ро1уча1ю(р.

Х). Например: 80 94 20 2880 Шб 1746 ~ ПРИМЕЧАНИЕ Функция зцЬзрасе(Д.В) вычисляет угол между двумя подпространствами, кото- рые енатянуты на столбцыь матриц д и В. Если аргументами являются не матри- цы, а векторы, то вычисляется угол между этими векторами. Аппроксимация и интерполяция данных Нолиномиальная аппроксимация данных измерений, которые сформированы в виде некоторого вектора г', при определенных значениях аргумента, образующих р- 1 8 31 ъХ Х 1 2 3 0 -1 3 2 2 -1 ъ 61зр(ро1ута1и(р,Х)) 2196 2214 882 864 1332 1332 Следует различать процедуры ро(уча( и ро(уча(ю.

Первая вычисляет значе- ние полиноиа для каждого из злеиентав иатрицы аргумента, а вторая при вычислении полиноиа возводитвсоответствующую степеньвсю иатрицуар- гуиента. Функции прикладной численной иатеиатики вектор Х такой же длины, как и вектор Ч, осуществляется процедурой ро1убтт0(Х.'т'. и), где и — порядок аппроксимирующего полинома. Результатом действия этой процедуры является вектор длиной (и + 1) из коэффициентов аппроксимирующего полинома. Пусть массив значений аргумента имеет такой вид: х - [-0.45 -0.35 -0.25 -0.15 -0.05 0.05 0.15 0.25 0.35 0.45], а массив соответствующих значений измеренной величины: у-[-1.10.20.10.80.50.20.40.10.1-6].

Тогда, применяя указанную функцию при разных значениях порядка аппроксимирующего полинома„получим: » х -0.45 : 0.1 : 0.45: » у " [-1.1 0.2 0.1 0.6 0.5 0.2 0.4 0.1 0.1 -0.6]: » ро)у(тт(х,у.1) апз - О. 1393 О. 07 » ро1у(те(х.у.2) апз - -6.1364 0.13939 0.57625 » ро)у()т(х,у.з) апз - 7.4592 -6.1364 -0.95338 0.57625 » ро)у((С(х.у.Я) апз - -35.548 7.4592 1.1509 -0.95338 0.40469 Это означает, что заданную зависимость можно аппроксимировать: О прямой у(х) - 0,13939х + 0,07; О параболой у(х) - -6,1364хт + 0,13939х + 0,57625 О кубической параболой у(х) = 7,4592хз — 6,1364х + 0,95338х+ 0,57625 О параболой четвертой степени у(х) - -35,548ха + 7,459ЬР— 1,1509хз — 0,95338х+ + 0,40469 Построим в одной области графики заданной дискретной функции и полученных прн аппроксимации полиномов (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Результаты применения функции ро(уИ » х -0.45 : 0.1: 0.45: » у [-1.1 0.2 0.1 0.8 0.5 0.2 О.Я 0.1 0.1 -0.6]) ба Урок 1 ° МАТьдй как научный калькулятор » зтеи(х.у); Ьо]0 ап » Р1 - ро1утчс(х.у.1): Р2 ро]угзт(х,у.2)ч Рз - ро]у(]с(х,у,з]; Р4 ро]угас(х.у.4]; » х1 = -0.5: 0.01: 0.5: у1 ро]уча](Р1.х1); у2 ро1уча](Р2,х1): » уэ ро1 ута) (Рз.х1); » у4 ро1уча1(Р4.х1): » р]ае(х],у1. ' — '.х].у2, ': '.х1.]0. '. '.хт.уа)." » йг]О, зет(йса. 'Рога5)зе'. 12): » тчт!е('Полинониальная алпроксинация'); » х1аЬе1('Дргуиент'): у1аЬе]('Еуниция'): » ]ейепп('исходные', 'данные', 'Длпроксинация'. 'линейная', 'квадратичная'.

'кубическая', 'четвертой степени',О) Результаты приведены на рис. 1.17. Одномерную табличную интерполяцию осуществляет процедура ]пгегр1. В об- щем случае обращение к ней имеет такой вид: т] =] пгегрнх.т. х] . '<негой> ' ). В чет- вертом входном аргументе задается метод интерполяции (табл. 1.7). Таблица 1.2. Допустимые значения четвертого аргумента функции ]птегр1 Значение Метод интерполяции 'пеа газ(' 'элеат' 'сцЫс' '-р(]пе' Ступенчатая Линейная Кубическая Сплайноиая Если метод не указан, по умолчанию осуществляется линейная интерполяция. Например (для того же вектора): »у [-1.10.20.10.80.50.20.40.10.1-0.61; » х1 -0.46 : 0.01: 0.46; » у1 тптегр1(х,у.х1): » у4 1птегрих.у,х], 'пеагезс'); » у2 тптегр1(х.у.х1, 'сцэтс'): » уЗ тптегр1(х.у.х1.'зр1 Зле'): Функция зр1 ] пе(х,у.

хт ) осуществляет интерполяцщо кубическими сплайнами. При использовании обращения у]=зр1 тле(х.у. х1 ) она интерполирует значение векто- ра у, заданного при значениях аргумента, представленных в векторе х, и выдает значение интерполирующей функции в виде вектора у] при значениях аргумента, заданных вбктором х]. В случае если вектор х не указан, по умолчанию принима- ется, что он имеет такую же длину, как вектор у, и любой его элемент равен номеру этого элемента. В качестве примера рассмотрим интерполяцию вектора: » х -0.45: 0.1: 0.45: «у 1-1.10.20.10.80.50.20.40.10.1-0.61: » х1 -0.46:0.01:0.46: » у2 - зр1)пе(х,у.х1]: » зтеи(х.у): Ьо)П оп » р]от (хт,у2.'.']. 0 «0 » зев(йса.

'Реп(эйке'.12], » Стт]е('Йнтерполяция процедурой 5РЩНЕ '): » х]аЬе1('Аргуиент'): у1аЬе]('Еукнция') 61 Функции прикладной численной математики » Р)ое (х1.У1,' — ',х1,У2.'.',х1,УЗ,х1.У4,':'). Ог(6 » яеС(вса. 'Реп(5(яе',)2). » )крепе('линейная'.'кубическая'.'сплайноаая','ступенчатая'.О): » С(С)е('Интерполяция процедурой 1ИТЕЯР1'): » х)аье)('Аргумент'); у)аЬе)('пункция') Результаты приведены на рис.

1.18. Рис. 1.17. Интерполяция функцией ярйпе Рис. 1.18. Интерполяция функцией1п(егр1 Векторная фильтрация и спектральный анализ В системе МАТЮКАВ есть несколько функций, предназначенных для проведения цифрового анализа данных наблюдений (измерений). так, функция у-п)тег(ь.а. х) обеспечивает формирование вектора у по заданным векторам Ь, а, х в соответствии с соотношением у® - б(1) ® + Ь(2) ~й - 1) + ... + б(я, + 1) (й - ,)- -а(2) у(й — 1) — а(3) у(й — 3) — ... — а(я, +1) у(л — я,) (1.1) Здесь вектор Ь имеет следующий состав: Ь = (о(1), Ь(2), ..., Ь(п, + 1)1.

Вектор а имеет такой состав: а - [1, а(2), а(3), ..., а(я, + 1)). Соотношение (1.1) можно рассматривать как конечно-разностное уравнение фильтра с дискретной передаточной функцией в виде рациональной дроби, коэффициенты числителя которой образуют вектор Ь, а коэффициенты знаменателя — вектор а, на вход которого подается сигнал х(г), а на выходе формируется сигнал у(1). Тогда вектор у будет представлять собой значение исходного сигнала этого фильтра в дискретные моменты времени, соответствующие заданным значениям входного сигнала х(Г) (вектор х). Ниже приведен пример применения функции 1Н Ьег.

» х О : 0.1: 1; »Ь П2В Урок 1 ° МАТьАВ как научный калькулятор »а (10.141: У Г()тег(Ь.а.х) У" 0 0.1000 0.2503 -13.4768 0.3900 0.7610 -0.5861 0.3146 3.9129 2.8466 56.4225 Функции ТТС (Рззт Роипег Тгавз(опва()оп) и тртт ()пчегзе Еазг Роппег Тгапзгогщаг(оп) осуществляют преобразования заданного вектора, соответствующие дискретному прямому и обратному преобразованиям Фурье.

Используя обращения к этим функциям вида у-ТТС(х.п) и х-1 ТТС(у, и), можно получить вектор у (в первом случае) и вектор х (во втором случае) по формулам: (т-9 (1-1) у(к) = ~~~ х(т)е (1.2) »~1 (и-()(й — 1) х(т) = — ~,у(к)е аи (1.3) » С 0 : 0.001 : 2: » х я(п(2 рт»5»С) + соя(2*91»)2»т): » г1(хке. р)ос(т. х): Ог18. » ает(9ст,'со)ог','нЫСе'). »ег(9са,'Еопййаае'.'Аг(а) С)л" .'уопгбът'. 16) » С(С)еГВхоаной процесс '): х)аЬе)('Вреня (с)'): У)або) ГХ(С)') Рис. 1.19. Бигарионический процесс Найдем Фурье-изображение этого сигнала и выведем графическое представление модуля его Фурье-изображения. Результат отображен на рис.

1.20. » У ГГС(х): а - аЬа(У): » Р)ог(а): Ог)0, ает(Осад Воптйаве'„'Агаа) Суг' Убоп(51т'. 16) Здесьу — обозначение мнимой единицы, и — число элементов заданного вектора х (оно представляет также размер выходного вектора у). Сформируем входной сигнал в виде вектора, элементы которого равняются зна- чениям функции, являющейся суммой двух синусоид с частотами 5 и 12 Гц (рис. 1.19). 63 Функции прикладной численной математики » С!С1е('Модуль Фурье-изобраиеник '): » х1аЬе1('Манер зленента вентора'): у1аЬе1('аьз(Е(Х(С))') Теперь осуществим обратное преобразование с помощью функции )гтс н результат также выведем в форме графика.