Минаев Е.И. - Основы радиоэлектронники, страница 8

(2.9! ) Полоса пропускания двух слабо связанных контуров уже полосы одиночного контура в 1,56 раза. Критическая связь (т1= !). При критической связи два связанных контура имеют следующую обобщенную резонансную кривую: ) у ) = 1/ "у'1+ х'/4, (2.92) При !у~ = 1/у2 получим х= 12. Следовательно, б/О 7 ) 2 (/О/ 'е) ' (2.93) Таким образом, полоса пропускания двух связанных контуров при критической связи шире полосы одиночного контура в 'г'2 раза.

Сильная связь. Увеличив связь, получим двугорбую кривую с максимумами, в 12 раз большими, чем провал. В этом случае по- Рис. 2.34. Обобшенная резонансная, кривая с максимальной шириной полосы при неравномерности усиления в полосе пропускания не более чем в 72 раз лоса на уровне 0,7 от максимумов в 3,1 раза шире полосы одиночного контура (рис. 2.34).

Следовательно, два связанных контура дают возможность получить более узкую (или более широкую) полосу пропускання по сравнению с одиночным колебательным контуром. При этом избирательность 0=Цу), характеризуемая ослаблением за пределами полосы, выше у двух связанных контуров. 2.9. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Во многих случаях исследование радиотехнических цепей упрощается и становится более наглядным, если при этом применяется преобразование Лапласа. Преобразованной по Лапласу функцией 1(1) вещественной переменной времени 1 называют новую функцию )о(з) от комплексной переменной я, причем Р(з) =)7(1) е-"сУ. (2.94) о Это выражение называют интегралом Лапласа.

Комплексную переменную к=о+)ш (2.95) называют комплексной частотой, или для краткости просто частотой. Часто вместо з применяют букву р. Аргументацию в пользу применения з вместо р см. в (3). Чтобы интеграл (2,94) сходился, нужно, чтобы 1(1) возрастала при а(з не быстрее, чем ((1) =ева (2.96) Экспоненциальная функция времени — достаточно общая функции, с помощью которой можно представить напряжение, воздействующее на электрическую цепь, например постоянное или синусоидальное. Применим преобразование Лапласа к экспоненциальной функции (2.96). Подставляя в интеграл Лапласа (2.94) экспоненциальную функцию (2.96), находим 1,- 1 т"'(З) =)Е1о 'Ы1= — Е< 'П1= —. (297) о а — з о а — а Б частном случае а=О, что соответствует включению в момент /=О единичного скачка напряжения.

Единичный скачок напряжения можно обозначить 1 при /)О; и;а(!) = 0,8 при /=О; 0 при г<О. (2.98) Для единичного скачка Е(з) =1/з. (2.99) Исходная (преобразуемая) функция 1(() называется оригиналом, а преобразованная функция г" (з) — изображением. Оригиналы функций и их изображения приведены в табл.

2.1, называемой таблицей соответствий оригиналов и изображений. Более подробные таблицы соответствий приведены в 18, 41. Таблица 2.1 Р [е т го 1/(х — а) (х — Ь) (л — с) (1/а)с"(х/а) ехр ( — ах) И(с) с (с~а) хР(х) — /(+ 0) (1/х) Р(х) Можно убедиться в правильности и других соотношений, приведенных в табл, 2.1.

Например, если некоторая функция у(/) =/(а/), (2.1001' то ее изображение у(з) = — Г(з/а), (2. 1011 а 1. 6«) 2. ам«) 3. ! 4. ехр (~а!) 5. 1 — ехр (-!/а) 6. Мц а! 7. Сое а! 8. еь «! 9. сь а! !О. (е ' — ем)/(а-Ь) ! !. (а е ' — Ь е")/(а-Ь) 12. (ехр (а!) 13. (с — Ь)е '+(а — с)ем<в(Ь вЂ” а)е" (а — Ь) (а-с) (с — Ь) 14. /(«0 !5 /« — «)и,е«-а) 16. ехр ( ~ «О/ «) 17. а/«)/с(! !8. Р(Ои о 1 1/л 1/М !/(с «) 1/х (1+ ас) а/(се+ ах) с/(с~+а') а/(с' — ах) с/(х' — а') 1/(х — а) (х — Ь) 5/(я — а))я Ь) 1/(х-«) Соответствие оригиналов и изображений можно записать с помощью знака соответствия: ) (1) ~ — +.Р(з); (2.102) )(а1) (1/а)Г(з/а), (2, 103) Убедиться в справедливости соотношения '(2.103) можно, подставив (2.100) в интеграл Лапласа.

Если некоторая функция времени начинается не в момент 1=0, а запаздывает и начинается в момент 1=а, а до этого равна нулю, то такую функцию можно обозначить у(() =1(Г-а) и,а((-а). (2. 104) Подставляя ее в интеграл Лапласа, имеем ОО У(з) =Я(1-а) е-мЖ. и Вводя новую переменную интегрирования т=г — а, получаем 1' (3) — е-а8 ) 1 (т) е-вант — е-авр (з) (2.105) о Следовательно, запаздывание функции времени на время 1=а соответствует умножению изображения на величину е ". Часто бывает необходимо преобразовать по Лапласу производные и интегралы от функции времени.

Если у(1) =4(()/гй, (2.! 06) то, подставляя производную в интеграл Лапласа, получаем У(з) =) — е "Ж. о дг Интегрируя по частям, имеем У(з) =)(1)ег и)+з)Д(1)е мН=зр(з) — ((О) (2. 107) Во многих случаях начальное значение функции 1(0) равно нулю. Тогда дифференцированию оригинала соответствует умно>кение на з изображения. Если функция времени равна интегралу от другой функции времени И1) =/7(О '~, (2,108) то, дифференцируя это равенство, получаем ду (1) /п( = 1 (1) Подставляя это в интеграл Лапласа, имеем зу(з) -у(0) =Р(з), В соответствии с (2.108) у(0) =О, поэтому яу (я) =г (я), откуда У( ) = (1й)г(я).

(2.109) Следовательно, интегрированию оригинала всегда соответствует деление на я изображения, что и отражено в строке !8 таблицы соответствий. Таблица соответствий позволяет, не прибегая к интегралу Лапласа, находить изображение по оригиналу или по изображению восстанавливать оригинал. Конечно, нет особого смысла в том, чтобы сначала находить изображение по оригиналу, а затем по изображению восстанавливать известный нам оригинал. Смысл появляется, когда изображение является результатом выполнения некоторых алгебраических операций над несколькими изображениями, и проявляется в том, что эти алгебраические операции проще, чем операции с оригиналами, например такими, как решение дифференциальных уравнений. Покажем это для колебательного контура, в который включена некоторая ЭДС е(1) произвольной формы (см.

рис. 2.14). В соответствии с законом Кирхгофа получим следующее уравнение: е(1) =В ! 1 + — ~с(!)пг+гс(г), (2.1!О) с (2.112) Считая начальные токи и заряды равными нулю, применяем преобразование Лапласа к обеим частям уравнения. В результате получим Е(я) =Та((я) + — ' Т(я) +г! (я). яС Отсюда У(я) = Е (я)~Е(я), (2.1 1 ! ) где 7(я) =яЕ+ ! +г. яС Известно, что 1(!. ) =В(!.,) 13(1,,), (2.1! 3) где 2()ы) =!ыЬ+ ЦыС+г. (2.114) Сравнивая (2.111) и (2.113), видим, что для определения У(я) можно не составлять дифференциальное уравнение, а воспользоваться хорошо известным выражением (2113)„заменив в нем 1ы на я. Выражение (2.111) еще не дает тока, а дает лишь его изображение, но, 'пользуясь таблицей соответствий, по нему легко опре- делить амплитуду и форму тока дли любой формы ЭДС, включенной н момент /=О. Покажем это на примерах.

Согласно строке 5 таблицы соответствий находим и. (/) =й, (1) =1 — ехр( — 1/Т), что совпадает с выражением (2.25) и доказывает его справедливость. Пример, Найдем переходную характеристику для ССг-цепи, показанной на рис. 2.35. Коэффициент передачи цепи 0,м,()В) К(1в) = У,„()в) ) в! + 1/)вС+и Заменяя /в на з, получаем г 3 3 К(5) = =2а (2.!!5) С г 1 зз+2аз+вз' зз+ з+ с (.

СС где а=г/21., вс — — 1/У/.С (2.116) (2.117) †коэффицие затухания и резонансная частота соответственно, Разлагая знаменатель на множители, получаем 3 К(з) =2а (3 †!т1)(5 — рз) (2.118) Рис. 2.35. 1.Сг-цепь Пример, Для интегрирующей )(С-цепи (см, рис 2.6) была дана без дока- зательства переходная характеристика. Теперь докажем справедливость приве- денного ранее выражения (2.25). Согласно (2.18) коэффициент передачи (7...()в) К()в) = и,„(/в) 1+1вт ' Отсюда следует, что (7...()в) =К(1»и..()в). Заменяя /в на а, получаем (гььь(з) =К(з)(7 х(з), Согласно (2.99) или строке 2 таблицы соответствий ()в*(з) =.1/3 Следовательно, 1 1 (7„„(з) = з 1+зТ где корни знаменателя Роз=-ащ т а — ве.

1/ з 2 (2,119) При а>вэ корни являются неранными, веществевпымн, отрипательнымн числами, Как и ранее, изображение входного единичного скачка напряжения (1,„(з) = 1/з, откуда изображение выходного напряжения 2а Уввх (3) = ()вч (З) /( (З) =. зз+2аз+в, Для данного изображения из строки 10 таблицы соответствий находим а и „(1) — й, (1) — (егп егм) 7 где у=(1/2)(р,— р,) =)г а' — ве. Вынося общий зкспоненциальиый множитель за скобки, получаем П,(()= — е "г(егг — е тг)= — е "~зйуд 7 У (2.! 20) На рис, 2.36 показана переходная характеристика для ()=0,39, что соот. зетствует затуханию больше критического.

Критическое затухание определяется равенством (2.121) а =вм что дает критическую добротность контура Я=0,5. При критичесном затухании корни р, и рх равны вия а, взятому с обратным знаком: (2.122) коэффициенту затуха. р,=р,=-а. Из строки 12 таблицы соответствий находим, что прн критическом ватуха. вин переходная характеристика Ь!(1) =2ате (2.123) л,гзг бз зх "о= г ех — аг г е— (22 24) получим Рщ= — аж)во (2.125) Переходная характеристика при критическом затухании для С)=0,5 показана также па рис. 2,36. Наконец, если затухание в колебательном контуре еще умень. шится при а( вм что соответствует г))0,5, то корни Р, и рз будут снова неравными, но уже не вещественными, а комплексно-сопряженными числами. Введя для данного случая обозначение Рис.

2.36. Переходные характеристики для схемы иа рис. 2.35 при различных добротностях колебательного контура Снова зоспользоаазшись строкой !О таблиды соответствий или заменик и (2.120) т на )юо, получим а,(Г) = —. е " Мпю С 2о гы "а (2 126). Частоту юз называют частотой собстаенных (затухающих) колебаний В контурах с аысоиой добротностью, применяемых и радиотехнике, она мало от. лнчается от резонансной частоты юм Переходная характеристика при затухании, меньшем критического, для Я=0,62 показана на рнс.