Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы (1987), страница 11

лови гг! нксг реыум формулируется с,.сдуюгдим обратом. Рассь атргпзастся фуикциоиал 1 ~ О(1, и,(1) г з(У), ..., зз.т(1)! а 11), и,(1)... иь,(1))г(1, (! 32) завггкп!ии от выбора т функция и,(1)сы(уг(и). Заданы граничные условия и. (Ы), и,(Т) и уравпеппя сиязс:! мсукду переменными. Пос,!едино могут быз! заданы ~рема фор. мами: а ысбрагясскими и днффереициалыгы»!и уравнениями и интегральными соотиогпеииями соответственно; ср,(1, из, из,, и„,) ==0; (1.33) (1.34) у,(У, с г, ..., Ыы, цо и„, ггз)г)1 ..1, с пгб (1 3») г* Во всех случаях 1-- — 1,з, прячем в (1.33) н (! 34) число ограньгюнш' в уравнениях связи меньше !псла неизвссных, з.т т, Э!о ну!«но для того, чт!.бы часть обшего потеч!гнала. юпорым обладает система функций и,(!), =-.-. 1, т, можно было использовать для уловлетвореиня «ргв!.ьн!ш связей, а оставшуюся часть направи гь ца миппиизас! !о функционала (1.32).

Варнаци! н !ая задача сводится к п! иску в классе 4]!(и) и! таких прохоляшпх '!ерез заданные граничные точки фунлцпй и,,(!), ! ==1, ш, при которых функционал досжггает наименьшего значения п улов,!с!воряются уравнения связей, т. е среди всевозмоэь! ых решс ш уравнений связен н«»,но отыскать то, на ьо! ром ф«п!.шюнал !' достигает минам«ма ! рапнчные уел.!вня прн этом не должны про!иваре шть уравнеш!ям связей. Задачу при странны нияз в форме алгебраических уравнешш (1.33) называют егодези веской. Если уравнения связей являются дифференнпальнымн ]случай (1.34]], то имеем оби!ую задачу Лагринжа. Залачу при ограничениях в форме игг!авральных соотношении (138) на!ывают пзопгривгетрической, Из всех трех иаигч,лес обиюи валяется залача Лагран ка, а осьальныс могут бып, получень! как частныи случаи зада ш Лагранжа.

Реи ение задач на усэювпый экстремум проводят с иг по:шзованисм метода неопределенно!х множителей Ла»ран»та, которьш мы изложим без показа !е. «ства. Составляет ся вспомогательный функционал результате 'образуется. звыкнуэтвая'с(всбтеыд 'ьш, ггг-)л' урий. ненни, содержашаи такое лсе количество неизвестных и,(!), !.=-1,гп; х (Г]! 1=1, Эггй системы совместно с име !фвггфг! '.ю н!! шя тра!.ичнъмп ус.швиями дос аточпо лля пахьь!.хе!ь«.,-, ния '!сох нсьшвестпых Заметим, что а сл«ч,!е изопсри меьрнчес!«;и задачи .'ожпте !п Ла; ран.!.а являю!ся ве фу!и пинии ар «м!нгз 1, а ис!.

шш ишми величинами Для э!ьй задачи св внствси г]'::„,"., прина!.л эзаитво!ги: если функпия и(Г, Х) достав !яет экстр: мум фуньииоп;лу Л при за з шон шиш !и!и ф«и ! по- нала ) . то та,ке фьььция Л<с!зз..я!т в! с!рем«м ф«пкц!шва!у !, п >п ф!!ксированиом знз сини фуяъш!о.!зла ! м о ввшвннн вьаьч опгнмввьнот впвввынив в*виьционнмми ммодьии Сформ«лпр и »иная во введении задача оп!анального узрев синя суиюствснно напоминает сбшую зада!у Ла гран».а кла«ичсского нарианиоиного исчисления. Депствитслы!о, прп опгималынзм управлении мы имеем объект управ !. ш!я, описывасмы ! системой диф,! ерс.!ииа.!ын„х ! узанс! пй у. -4ъ(уь уь .,у, и):=об, 1== Сг! (1 38) Загшны начальное п «сне шое состояния об! скта у,(О); а (Т), ! -1,и, п рить рпй гптнпалшцс!п (1 30) где !., (г] .

неопределенные мно>ките.!п,Лагранжа. Этот ф«нкционал, аависяшии от и фуп! иии и (Г) и з функций Х,(!), исследуется на безус,,сань!й экстремум !1оследнес возможно пото.му, что функции и (!) благодаря введению неизвесзных функции г, (!) и!иут варьироваться независимо Дс!я решения задачи относителыю переменных и.,(!) составляешься система урапиенпй Эйлера .-О !. 1,гп, (1.37) д! ш юч которая решается совместно с уравнениями связей (1,33) в случае геодезнчсскои задачи, (1 34) а случае обшен задачи Лагра!о!.а, (1.38) в изопсриметрическои ситуацш! В эб Б области лоиусм;мых управлений исьс](и) необходимо найти такое управление и(!), на котором крите]!пй опги. налью стп достигнет накмсиьшсго значения, а объект переводится пз заданного начального сост!я!и!я в залаш!ое коне*!пос по траектории, г!ринадль.каьцен об,!асти,ьопустимых значении.

Уранясния объекта можно рассматривать ка!«апа;ипн шьффсрсициал!.ных уравнений связей в нарпационп! м исчислении. Критернт! оптимальности ! рслста .,яст ио сушсстну мпнимизнрусмыи функционал. Ссво упность 4!«! ': гшй у,(г), у (!),, ув((1, и(!) раси! ннп,ются ьак система пш заветных и подле»гад!их опрсдс !сппю ф«нчций. .: Если преднолож!шь, что на управления и сос!оя!и!я никаких ограничении ие иапо.!.ено и они могут быть глалк!вми функш:ямп, то решение задачи можно искать в соотвештвии с ис,олъз«емои в вариационном исчислении схемон зт С этой цгмьььо составл>!ется вгпоиогатсльиыи фувкцполал ?.

~'~6>- ~з Х.(1)(сгь? СУ фь,))|У ~6«7. (!.40) Здесь, и(!), Х (1), у,(1), !'- ),|| . нс ьвнсимыс „.р и. иш с. Огносн1| тьпо ф)н|л ц|Й и, у сос!аа,'я|О7 )р, янси!я Зп.|сра, к ним добгиляют ур:.впсиия объев|а у|,равлсппя и полу|ею> систем) нз (2п-)- !) ура: пеппи ь > Касеюво си|темы м;и|:вве|.я фуиюжанзз,и 1 ! л-'Гг>ги. Цеоохо ооьл — и |.;лз;,и* |с . '.|Ся а, з |сне | ос и| ы., 3 |зтз о ы ...

я пз,гния зедвы гз|жт,|:,и >гает |«ОУ в ф-;ю К|ми, положен д=.у|, тогда у, -ун уз=и и у (1,) у(1) у,!', а|1 |, д (7)=- ||), |7) ..л!7,' Ох«иы всеом.. жепиы, ф '- >ь(1).«ь — О| О >а|1 (.е .!) с| Ю 1?о ~з 7. П)дз до 0 (! 4!) 4)';:. Оз жо ю д|| и У',.(7?с Ул, У„! О, 1 ), л, с ж|ким жс "нс. ом неп;всст||ых и(7), у (!), Х,(') ! - )«|. Заметим, |то замыкз|оцюс систему уравнения ооъю и можно тран|ова|ь как уравнения Эызлрз о||«||«| |,ьо к| опрсде.|сп|ыл ыножитс,|еп Лагранжа д6 ' О.. 0 ))ослслиюю с| с|ему можно переписать и внлс д6 г? зтз' Х(1)д', дт? Х 71) 0 ! ), и, (),4' у,(1) ф(и, у„,.у,,и)-.0,7--:1,и (!43) Уравнсьюс (!.41) явля|тся алгебраическим Остав|нисся 2л уравнении прс. сгавлиот систему лиффсрснцилльных урево.ппп;юрвюо поря |ия При ил рг шепю| пес О>хоть!>ьг> онр|лс.

«т 2л постоянны; интегркроваиия, ко|орые вы чис«яю|ся пл основании тв|.ого >ке |юличсства яданных гранп||ых ус овий Этот процесс выч|юлсния, снях ииыл с рс|оенисм лиух;о счпой краев |и зада и (|раек|ария должна пр Н|н чгрсз з|даипыс на:плы|)ю и |онсчнукь точки), во |ст ока|аз|.ся весьма тру?|осилим. О,|нако ььрььныьь«ьа тьььо система ( !.4 1) ( !.43), сос гоя.иая пз (2н-- !) ур ю снпп и солсржа|цая такое н.с ы пи ство пснж ссгньц | о|во |яет отыс| ать вес нс|юв|стнь с, вас| °- чая оитималыюс управление и(1) Пример 1.9. Пуст. и| ее-ся о.июмейиый ОУ, описываемый уравнением ру(1| ау), н звдваы гг южные условия у(|.), д(т), д(гс). д(7). 28 |мссм "мы | иЯ, д;Я,: Я Х Я, 7 Я тзюжем ги с|у уозв-плл з 2а |с О .

|, О, — ->.,— 4|:О, у- — -О, ||с и::О. и ° з лог|о угзенепв| следует 7„(1) -с, еоом, из третьего хз(1) . |з,и| ього иЯ . —.ссу2| сл "7. нз пя го и Я -. со?4+ |,12, с, Я, пзконеи, вз |етвертого У,Я вЂ” — с|О12-!тсср/44с«, с, „зв е»е,|.|кви» пас|ляг |ых иетегсьь!ьоььз ни састзвии |а тему урзиис,ен в: *.встствыы с граничными условиями (врв 1л=-с), с, - У |О), с. = 7 (О|...,., ТХ 2 ! С 7 | 4 - г 7 |. , .д(7); — с 7>14 -с.г;2+се 117). О||,да зе" о:*зхоьы| по|тон|и |е с, и |з и еим злите„зем поиск Зел-зу можжи рема:ь н Оез всрстодз к удавяепвям в ф рме Кл ..и г гмине в;ол|о|е|еаьиый фуьлныопз>ь с учетом и л даого 1* -.

~ ! зЯ з. Ц|)ьу(1) . л(|))! г и. а| м»ею|в осужествлвется па трем пе| емеввым .| (|„дЯ, Х(1). Однако ю перемели и д(1) нужна поль:,оваться ье утзвнением Эйзера, в у! ззььеьььмль Эй:еоа —. Пуз|стев (1,!7). Ооответствумжае си лема угж:| с ьнгь пьвьал|з|т вил |И-,>«):.—.О, 1, О. О; у — а=| »з вто; ° |о уров:м|юм |левую х(1) - с| ° сь из первого а(1):= —:с||2)с|2, из т *с|ьмо у(1) =.сгз|!24 си?4чс|1)с|, Постоипиые инте:пирования а -прежиел1у находил| из граниных условий, н Оеше. иис то.зд|г всю|о |овпвпаст с предыдужим. 59 Поиск оптимального управлснил средствами вгрявипаиного исчисления значительно усложпягтгя, сс;и у по 1- вать о'рапп <сипя па области дочустимь<х у< ра< г«чй и состои<и<, ичс10!цихся л любой тсхнп«ской зздл <г Иа<н чнс о<рвннчснш : риводнт к тому, что в ирьстр,<летне )пр:я.<сипи оп<нмальные у< рввлении пс могут выхошпш за гргдсггы неко<олой допус пм< й об,<асти, но мш)т ока:<ат ся на сс граннис, п тот.,а управление нельзя на!Ои и.

обышо<о уравнения Энлера Э«об)славчево тем, что при выло;е < равнения Зй <сра мы гр<Шавали функпии й(1) варнац<*,ю ай(1), где а мал: я л. ичшш, рои вольная по знаку. Пьшому вариацию <о!(1) навьи<вял. г)<гд<гороннеб. Ес.,<и <нрав««нп, нала штгя на гранила ло<)стимой области, то двустороппкгю в! риа< и о ирптсня:ь нг <ьзя, тзк ш.к при опрслс,снп»ч зи; не а <Р1<по.ля и(1) вь,ндст из догуст нчоб об«ге.

и. Варн, *о<я Лол < иа бь т< односторонней, ното«.ш 1»ы не п! и .«<1 ) рпв<«<п<ю Эйлера Возникшую <рули< сть в вгригционшм ис и«ленин «рго.юлевают псрсходои к навои г< рамы<и< й, ! острье«най .' < ич обрязом, что ограни <ения нз и(1) нс, р< водят к о< рь глчениям н: зту новтю гсрсчгн<1<ю 0«<оси е«ьпо ноэьн персмсннон можно,од< з< па< ься обь «иым ур»ва *ллем Зилсрз, нанти зкс. рсчали и то<кн, в к. -«ры, э«тр мадн сочлсняются с грзлицгй дг «сти»оп обшстп В р<зт.<, а тс ф)нкция и(1) будет состоят„пз эьст! гх атей !.«»<*, ш <х н допустимои об»вен< р шепли тр: в<<еч,й Зи,<:,: в) п отлсльнь<х учвстков грз<<шзы топуст< 1<оп об..зстн Из»ож<ш<ый и<»ход парня<,панна о шчпстш<ня ь рс шеи<по задач с шря1л««'иячи ричспястся ц гчг, ьо л ми<шип <ирусмнй функци«а завл<ш ог прои и«1<ьх фу<о<пни и(1) л не яв,о<ется вырожкс<п<<зм В алачзх ОлтниаЛЬНОГО ):Ралд< Лп, КР<ПСР<:И О, тана.ьи<гети, КаК правило, этих пр<зп,во; <*,ых ис со гор» ат, л не<<с <ьзова< ле уравнения Эйлера мои,сг прив<стн к утвсрж11снню, зто экстремален нет лообшс После!лге может означать, что опншалш<ая фуш.ция п(1) находится только па границах допустимой об,<вотч Ота аьо панеле <ис этой функции на граю<па (напри«<ар, то п.н перс« лв с огпюй границы ка другую, число этих < срсхол в н т и ) установить иаривционными мстодамп в пракпшсскп пряемлемой форме пс ул ястся.