Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы (1987), страница 8

Фуякция аз!(1) !газ!!взсзся эирианией фун ции й(1). Поле!звяк. и(г) в (! 1) и рас~чотрим функционал 1 как фуиьцпо иа! зчстрз а; г 1(а) ~6(1 л(1! Рал,;1), ой! ат(1)!й' Разде,!х!гх! эту ф>шсцшо в ряд )баклореиа по степе ням а: ш!о! !,егг;о> ! ! г!о! Произнодныс в этом рсз.

ол.еиии вы шсля!отея в то !ке а-- — -О. Второе и треткг слагаемые называются нарвой и второй лирк!лцилл!и функционала соответствеп!о Пикал ем, что необходимым условием экстремума функционала является равенство й>(0)/г)а=-.О (!.3) Прнря!ценив функционала л', обусловленное переходом от функции и(1) к функции и(1), бу.!ет И 1(а) — 1(п (1)) - — — '-- а-ф-- — — а'-. — д!',о> ! Р~(В> д«з д-* Здесь учтено, по в соотвгтствин с определением функции и(1) выполняется равенство 1(0)=-У(й(1) ,'. Предполозгвм, 38 г г "')яах!: >словце (1,3) не выполняется; но если нл функции ,гу!1):'функционал достигает изимеиьиюго значения, то 'долксцо выиолняться неравенство Л)--.0 При малых и это ! Вквввалснтио у зоною ггг(1(О) Угйл' .

О, (! 4) . нагому ч!о слзгаеки е ря !а й!. ! лорена, содср.кашне ах, ал, . и !, д,, ири г6(0)1г(ачюО бу.ут меш,ше лш!ейного г.!она. Пер, вещтвс (! 4) должно зыио !няться гри л!обых 'цо знаку а, Отиак„этк вовк!о.кно тишь ири выра!клеили 'неравенства в раз!яство нй1(0)/~)н=О Так как омыв, то из восле!и его ссотищиеяия следует условие (!.3), известное иод н!гзва! неч л ранк яство иуло первой вариация функцгш!калач н яв !якшсггя зеобхг;димым услош!ем экстремума фуикцкояалл, Разверне з выраюсипе (1.3).

В соответствии с определением функции 1(а) инеем Ь! дг дб - «, Н) ( —..г (г)~ !й г, Проинтегрируем второе с: а!зеки е го частям Для этого обозначит! д6!ди .-а; н(1) й)=йь, тыла да д гш г! до — — — йл — — йц Ь;(1!. И Ю м * ги дз с учетам свойств функция т>(1) иахо>гим т г г $ ~ -'-'ф .т,(1>г(1..

оЬ ! ( Ь йл ~ х(1'.— — ';.й(, Л да к что позволяет заиисат! г >гсловзе [1.3) ириобрстает анд г (! 5> д,! да,! Теиерь воспользуемся лемлол Лоарпнзког если для наны 89 г дой непрерывной функц ш п(1) имеем ) 1!П т,',1)гй == О, где функция )(1) непрерывна нрн Гсв(1-, Т], го Г(1)..:О при всех ы- (гь Т) Применив эту земцу к (! 5), прпхолнч к уравнени!о до д до Г! 5) дл Ш пи Получилп рравнсниг Зи, гри, птеюцгсс первостепенное значение в варпацпонн,ь. исчислении н «рсдставлшощсе соб.й искомое пеобхолптшс ус.швпе ь!шши)ма функшю нала У Ест и учесть, что прон *водная 60/ол явчяегся функцией трех переменных — .

и(1), и(Г), 1 п, слсдоватсльиш д до д !6 д д т6 Зи ! д дп ти дс д Ч ', . Ш дс,, ди дн дл то )рав !с и!с Эйлера мо.кно переписагь в развернутой форме д сб д-'65, д'ь н О (! 7) д дг д, д дй ди' Отсюда видно, мо уравнение Эйлсоа яв .*яется нелннсн ным дифференциалы!ып уравненном второго п.рядка Е о решенас занпснт от двух: остоянных пяте, рпровапия. т е и(1):=-и(Г, с,„с,), ь,торыс находятся пз условия прохаж.

денна функции и(1) через зада нные граничные то шк и(г,), и(Т). Если среди допустимых ф) ькцнй сущее!вуст функция, доставляющая зппп!муь1 ф)чи цноналу У, то ьна бу .ст ре и!еншем уравнения Эклера, т е,.лотре.иалшо. 11о иа любых зкстремалях фуп:циояал не обязан достигать экстремальных зна ~спгш, так как (1 О) шяшезсн необхо;шмыц, но нс достаточным )словнем. Эта ситуация подобна тгп, которая возникает прп пссгсдгвапин на ькстрсц)м псьс тороп функцпп: т.чкн, в ко!орик прогзводпая ф)икции абрацгается в нуль, могут не соответствовать экстремуму фувкинк, а являт,ся, на..ример, т:~вамп перегиба.

Если уравнение Эилсра пе удовлетворяется нн при какой фтиьции и(1) ея(л (и), то в ь..ассе гладких днфференцнрустгых функций экстремум функционала .1 нс существует. с~ з. тслоаия кпкхнпгк Прн решении вариацнонных задач нсобхгшимо ответить на вопрос, максимум нли минимум дости ается на некото- 40 ()с(рртеэкстрсмалгт. Для ответа на этот вопрос использугот ьрпловия Лежандра. 'Рассмотрим снова приращение функционала Ы. Так 1т. е ...;)шк первая вариация функционала на экстремалн абра.

,удается в нуль, знак прнрапгенпя функционала при малых о .будет определяться его второй вариациеп. Следовательно, ' -'Р , шт(с) фувкппя л(Г) обеспечивает ми шчум, если -'- --.— а" ==О 2 д,-' .. Рассмотрнм детальнее функцию дм(о) г и- в д....ы(Е и(!) Ь ах 6), и(1)-, 'ат(1))с(1 Нспользуя правила дпфференш.рс ванна функцш. сложного аргумента, находим дцд6~2д61дг6 что позволяет записать и'-т(О) Р Г д'6,, дгб, д'-'6 д;ь,3 1, д«-' д дг ' ' диь д'6 0бозиа-нгв — -:-;.- а; 2втдт "с(д т.

е. и сложив да=- вид., д д'6 — — — — —;Ж: д-= ч', проинтегрируем суедцсе стагагмос по сп дяди частям: г г ~ 2 — — - и к(1 —.. " ...., ..:, чй(1 дго . г д дс6 дида Ш дгюи Следовательно, с учетом свойгтв функгши и в точках г ' 1а„7' получим д-'Г(О) ~~ г д.6 д д'6 ~ .,+ д-*6 Из (1,5) следуетт лгя ньшолнення )словия Оса/да')О необходимо, чтобы дзбус)итра О 1!оканьем это. !1усгь сзгб/гыа<О„тогда, пользуясь произвольностью функции з)(1), ее можно подобрать так, что Па~1!'. Для э~ого достаточно выбрать мал)то по абсолютному значению, но .быстро и резко пзменяющуюси функцию П. В результате второе слагасяое в (18) будет !Пег:л р вали ов;!ть надпсрвым, ! одыпгсгра. ьная фун! иня о!.ажетси ж т аг тина;ел!пои' и итон варнання тагжс на!с,'си огрни' ВО1СЧит НСХО;НОМУ УтВСРИ.ДЕНггЮ О ю) ющ»е неабхадп иые условия Л, р, ', ' ° ".* оторои экстремалы мш!ниума фупгшк на а необ !димо, жабы во все; тогках это:1:и стрема;н ы д'6/ди'.

О, (1.гй) для постюг,еш!я ма .самума пеобж;днх!о д'6рду'== О. (1 10) '.', гд д»6,»д!л ..О, во можны издал!ы эг стрсмали. Дш!сгвптслгн ь разрешим уравнение ', ) но и: ,аб аа П опт С Во всех то !ках, где дг6)диг4-.0, по этой форму. с мож- В, д'6гд '". О, вт. р;я произно.г! ая обра- 1, следова; е пыю, сама э! гг рсхггг тг дг6ул г - ге, если пгтоизводпан '' ди о НУЛЮ, Чга ВахМС,ЬИО В СЛУЧааь„!сага сит от и плн завис "» в!кпт линейно, т с имеет струн!уру г У ..

~ (6,: г, ! '; . и г 6. ( г, !1) ду, ! о ная для ш стрсмали нс сушестоует. тг» в~орая прои ~водник для ш ню иоыалы в подобных сигуаш!иь назь'в б 1 т особыми свонствами. достигни~и. Пггслсдиис от 'ада!от ют ынннмуиа, есин (23) ди 1, д» дг / н н гтпнопсложном знаке нера достигают максимумл прн прг1 с! 11 вснства. Пр ыер 11. Пс ..ет озт нз,кгтре. » 2»1).1, г,(1): О; „(2) - —. !. ьве б(1, л, и)..и--п н ьве, 2 1 урзоненне Вйлерв имеет оо определяеи й(!) — 21 — 2 г О Дзвиды ггптегрнруя оо вял 42 ° — (113)пчл,!+и.

псмтоянтгьгв' ийтегрвров уаюнпв — !ув-ьсг).с =-о. — '3!Б-! 2с; —,'сг йоввтелыго. эксгрсиуы постигнет-я пв крт фтылвоввг л: г изет;швн гюгыгго жя и Пример 12 !1 пе~ вюь пг»ге рг о г в Х вЂ”.) 13! — и ии1, о(1) Инеем ГП и а! (31- и)п, т е в. Эйяера 31 .2п О: сыеве. я яы бгв~ е мыимтг нП) т 2 В з экстремв.ж ле г; тжяные тг п.н, и. гле..

г з юьг.о, пыряв,*г ибгесг. Полн бы тзпы.л. уг, гна бь»пг и(зг:-912 то эк Пг»вгь г! .хо»иле бы й(1)-.-31»2 гылз бы реюсня м эя1ы* н Пример 13 1!»епов. ж не эзс~рееуэ и г !гп )*и п(1) Уровгпч не Вн», - (1 , '2ии] О Е21П вЂ” г,е - гоне юв Пэ -(о-!) (21) с гс после вн*егрн:взвив твав с грег,н»яыин ус:гния н с.,:=2, сг=-з, в гкончвгелыю и(0.:3-21 =.2П! О. п гм эк.;Генвлс !и гнгвегся ннп Уравнение Эклера и условия Лежандра являются пеобж днмымн для экстремума. В матсмап!чсских курсах по внриаш!овв. му исчислению устанавливаются и достаточ ныс условия Приведем одно из ннх Для того юобы фуи,г ции и!!) доставляла слабый мгию!ум илв ыаьсимум функ.

ш!она::у (1.1), дог!ага гно соблютсг ие гледугошсго; а) фуньния и(!) удовлетворяет ураинегппа Эклера (! 6), ,т. е. являешься экстрсмалью; б1 на экстрсмали и(!) выпаляястся уси. синае условие Лежандра аг6!(дида)»0 для мгшимумв нли д'6/(диди) 20 д!и максимума; в) уравнение ; й'-*б и д б '1 с! у д'-а ', ди ш дидггу ш (дпз) . называемое уран !сш!ем Якоби вмсет решен !с П(!), удов- летворяю!нес услштию П(!.) .0 н нс обращаюшсеся в нуль ...

ни в одной точке при !е ыйу~ Т. В абщел» случае урависппс Якоби явлвстся липсвным однаралпым с перс ясииымн парамс. рами В вырак.ения производных испо подставя ь зкстрема,п и(1), т. с. козффициснгы уравнения являются извес»ными фупкцнямп !. Пвпрямер, в случае задачи, расс»»атрснн~ и в примере !.1, имеем О»0/О»»»==-О, д»67(диг)и) ==О, О»07ди» =-2, тот,.а уравнение Якоби выгля»,пт так: у-=О.

Гго ре»пенис у(1).-- =-й,1 Г йм где й„)»» неко»армс гюстоттыс. Из условия у(! ) =-у(1) =О следует 1! -- й» и у(!) — мц(1 !). Легко видеть, что в случае )г> . О реи!апис у(!)~0 при всех 1< <1= 2 Слсзовательно, выполняю ся пп»а»»в» д» ст, т.чнага уел»»зия и н. нлнл,нгшн в примере 1 ! арквой Л» йстви ~ сл»:иа дости астся л»нипмум, »» 3 о»нкцкон»вм в оо»м» а»ояного ннт»г»»я» В задачах оптимизации систсч управления к обрабою и данных критерии оптимальности час»о заластся фуикцио налом в форме лвойного инте»ра.,*а ! ..

~ [О»!!», » (1! и(»), с;!), и( ))»1!аг . (1.!!) '' ' . Щ(т),, т с последующей пере»»евон мсстямп аргументов 1 т ! !",ь ',!:-'':'»':г В задачак синтеза оп ' альп: х спс ', раба ающ х в ",', уелавиях случаипык всзденствин, критерии о!ггнь»а!»ьностп »ямагат структуру 7 1 ~ [ О»[1, -.. а(1), и(-,.[г!1»!» (! 13) !, в огсутств)»от граничные условия В згих случаях нсобхо дкмас условие оптимальности прпгбрс»аст форму уравневкн т ~ [дб,аи (!)-; г)0 д»(»![д' О, 1„-1=:=7'. (1,14) » Если функция 6 симметрична и удовлетворяет уел»г»н»а 6[1, т, и(1), и(г)[==6 [т, 1, и(т), и(!)[, »о интегральное уравнение (1.!4) упрощается ~ [д0 дп(»З[»1» О, 1, -'==1.-';-Т. (! 1 Ь) Функция 6 предполагается олнозна !ной, двах»ды лиффсрснцврусмои, и(1) ев!1, [и), заданы и(1»), и(Т).

В классе гй »пебуется нанти функцию и(1) [или, »то то жс самос, и(т) [, на которои функционал (2 11) достигает минимума, а функцив и(1) прохолнт через заданпыс тра~!ичг»ь»е тачки Логическая схема решения залачн и характер основных преобразовании саответству!от случаю прастеишсго функционала. Порву»о вариашио ф»нкппанала прирав»и!кают ну ца и после ряла преобразовании, подобны» уже применявшимся, получают необходимое уставив минимума функционала в форме следующего ие.*.нненн»ч.а кптсгролпффсрепцнальпо»о уравнения: г '1, ".. 1[У, -.