Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы (1987), страница 12

Пример 1.1О Са< оя.ве абь<кгв упрзвлм<и< алис ээ«г«а !р виенвячв д —.да дг —.2( — дг-д,, ч) паи и<ахи<них у завнхх д,(0) -=1; д (0) — 0 д (Т) дНТ<'.0 На !прав»«юе задаю а-рви»челне <и!вр) бо г Неабхалима мн<пшв врезать кр<огр<ю ьвче.твз Т -.. ] д,'Ш н пере. веюн ОУ нз начальнага в кавеч,юс са<:авиве Ввелеч аав ю переменную И, связанную с а сват«ам«наем а-.: мв а, П.даче лаз И м.жег принимать любые зиаче ив, н прв эт. и в<в<хе буаег визаав«на и«х лнае агрвннчевне ,ч . 1 Слелавательн<.

гв и ,»азии е<юя не ивхзг<ют,я Огнагигелыю леречевнав р теперь и ж« рс, а « з»ваху нэ у«лаю ьи, эк:д< *.ум, ис»ахьзтх метал мнаж«ю«в Лзг! а«ка Са. авзж < фт<жю<ю 6 -д< -(! (д,— д) ' 2«г(д '2-.д д япдб к,<ю вегече«< м а, д, д,. Н, Х, <апн ивзе < у азию<ля Эйлера. , г< — О, "д,-<- *1,--1, .0; 4,;.*' — л... г; „д, —.О; дг У д ; д — а =- 0 П аше у!аз<«<не <юлю<«яег в, е*.лн !г 0 нзв а. я — 0 Н е,зн а в<катарач арез<е [1, 1) кз [О, Т] ямгсч 1<"-О, та нз третмта уев.: и <я зешет !.< .и в в. аг<ахьвмх удаххеш<й получаем д,(1) дгы) О, эшп. 0(«[1«гй), < е аппшвлы,<е управлмше аказмь,:ег * вузов«ч < з агд««е [гь 1,] так как птв этом ви<юлнвются !<«азия дг(1,' д (1 ).

' д (Т) г<<Т), <а управление еле»уст паза х,«<, саввы < ву.ча в ка апг<"хе [1,. Т] в<в»с величина ф<хканакале ь вазда: ю< Нх иа, <ив<«а-з е (О. /,) имеем Хгта. саэ И О На <»вап, чта П Шх;2 в й 1 г с ш«хма.ыге у<д:вление вв х: - ' 'г'ьвв< облачи в<ч ':""" улдэхлею'й " маме лепеха.

лпа; алнан гпзна<ь ка другую Е..*а упрзвл зве а«.зть та:<ьха в :,у х. ж<е не< дернеш« фзю ". й, <а л<л<е< ад <вя<ь. <,а в. < 1 взе Олва . <«т<< а«бе<етых, «»я ам<а и. этех увдавз<ю<й не в<, ва. и< у.юв.к- в< р «ь кл,е< ьс сэ <веа з,(1,) =.дз(1,) =0 пдн нвыз вах д,(о! — 1, <„(я О <и;чачу аптв <вл в е у: давлехнг мохмт ш,<«вх „,«< *.: О„ш а ча,"ю шаг«аз<в в момента перетока уста. Таким абра <оч, м<»кем сгшлать ряд пь волов о пр<<ч<- ипно<'тн ш т< дав классическо о вариапи< нного и««.<енин к ршпш:и<о зала < оптимального )прав«<ения Залечи о<Олми. ш «о упрлвлсьпя обладают рядом шобгн шстга <о »Э',";.!, Спаииеии<а С ЗЛ ШЧаМЛ ВаРИа ШОН<«та нег<не.<ЕИИЯ. ! Искомь< упрпвлелпя <рина!!лс кат заа< н) ым оо. петям допус<их<ых )правлений, поэш< у могу сояиалвп, с гракицаци этих об!пегги Однако <,агь хо.и .шгтвсину<о 01 |.3.

МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 5 | 5 пеннинп оптим«яьностн й! *т д Линам|«еского пр«л раммиро| ан! я при; оп и д |я решения зада«| опткыальн! го ]| равнина с учеточ вг«т осгб«с|!нос!с.'! Рассмотрим его римснеиис к следующему нспрсрыви„му варианту за||а;и оити«знл! Ного «прав.|сипя Пусть и«юстся ОУ, о| исываемьп.

в тср«пишх прост раис. ва Состоянш| векторныи диффсрсндиа ьныи уравпсиисм ЛТУ| Л! — «у (У (Г), и (!), Г], (! 44) |де У(!) — -л-мерный вгьгор состояния: (](1) - и исрп,п| вектор управления. Задано начальное сос ояипе об|скта ]правлении У(Г,], область допустимых управлшшй 0((]) и крит р,|й оии|- малын сти ~ 6 (()(!), У (!), Г) ЛГ, (!.45) оце|п,у повеления у |равлешш иа гранвцс лопус|и«н.й области вариациоииыми сре|стозмк очень тру|но Это ше Отзо.ится и к и(рсч ин|1И состоянн51. 2 Критерий,гтпмязшкос|п ие завис:и от и,: зтоиу урани зь!я Эй |сра о уирав;ш;ию не яв,|яклся шффсрсн впалы|мин 3 Б,.

а |с о! ти«альп«го у'|р.в.| иия о т |«в ьные ) прав,|«;и|я и|путся в к |асс! Ау«о пю ие5:рсрывп|я; функ цпй, ']а, то крп. р *и оятимальпост;,т,с|нгают 1|и !пчуыа на !.|пав:сипят, п.н.|шиит разрыв; п«рв! о ро и. Ипс.и н, о |...Н«|:ис |очек р, рывя ш рвпсс 1 ы|з: «с. |и Бс!' 3\и Особенности зада'1 О: типазы|о;О 1 раас|си!'51 прав, |ят к ои], что прин псин«ко «:но|пи и. ш«мшо лов к,шсс|шеск,го вариашюп|ю:.о ис итоги||я, ор,и|,зьр вапьых иа гоп|и,п« . Иффсргп|иирусмь:с функ.,и |, я«|.е ,.|с.,е;1.!.«Ошьаи г ! Чо:,ср|нза| пп ос|аггея проб|вы,|ячиыч.

П, атому лля рсшсиия задач:пт;|малюю|о ш|рав, сни51 ]«а «р' бо аиь: с' сьи т. н'!«!Исто«: |, иа!бОлсс 1 Олн. рапионал,но у ш. и в |юш|и с, |шфнку зпг,ызз !. Еы и шс зз .. "„. Оп|и«|а,п,ного управления сформу пропана так, что функ. Ия 6 в со,т||вс кр||тсрпя качества шляе' «я дваш !ы 51 |ффср«иипрус«|ой, а управ:и п|ш п псрсыс и|Не состоя|и|я ие ло:|п ьют огрснп и инн, з; дачу ио!,но рсва ь варпа|шош ым ! 555 «от«ами г' Рт у которого верхний предел интегрирования считается фкксировзниым ((а вектор у(!) и сто койсчио! О«си| иис У(1) ограничений не налагаем.

г. с рзссматрнв, см .шдачу со своболньм| правым концом траектории п ф, к,|роваины«! временем у рава«иня. Лргуме|и Г в составе функ | нй Чг, 6 мо,ьст указывать на их нсстацш парный харак гер, и год«:биме обьсь;ы при||я:о назывг:ь Нсавтоиоми|!мк Урсб]с:ся в |,лвссс ло ]стимыт управлений пяи и ]; рьв.,с|пи (](!), на ко!орои фуньциоиа5 «' |ости ает ми|нимальиого:начсния, 5 е :-':.( ш|п (](1]С(!.()ч у(.=(й у]„!.]б] а объск у" рав'«иия за время «У п! реш «и"гя и- за , ь г,:ш|о.о шла зьн по сыт| яш|я в гр и|волшюс ш печное, принадлсшагцсс прост разогну состояния Дап:|ая за чача рзспростраияется на случаи у |рзвлсиия лисьрстиыи объскюм. й(атс««ат«! Иск ! такой |«бъск о,ись паст|.я не гшфф«рсш1иальпыи, а разиостиыи ] рави! |,и.ч вида (Б25) Это уравнение записываю| ввиде У«.! . У.

45(г(У«, (]„(!), !1-- О, ], 2 Критерии опткмалыюс-и имеет структуру ~ 6,(]„У, ч где У вЂ . фиьснровпннзя ве .ични.| Относительно век:оров сос*'Ояиня п управления ИВОдятся тс ж!. !топ'|ши|ия, что н н непрерывно«! Иарвангс. За.ы |а заключается в поиске т||ьой пос едоватсльпости всктоРМ| Ом (]5,..., Бю на которой з' достигает мини«|аш,ао;о виши иия с учетои задаи- иого состояпия Уь объекта З Б основе метода динамического ьрограммирьваиия, е «кнт весьма простой, на первьп! ВЗГЛЯД, ПРИН .Ии тии ЯПЛ1 НОС«и, утвсрл.закииип, что,о бо | остааии«л|.

к|,п«:и*ыи участок оити у|Б малыша тряс|.т|рш | ам по себе зш!.е является ои!имам,ньи у|т) гртеьт||р| й Расом|юрии биль 1 дсиис Пусть ш ставленная .|а,|а- ш У(т, ча рог|сна и найдены оптимальное упрзвлеиис (3(!) и со- Рч! 1г вз азтетстггук пгая ему опт»мал»как траект ~рпя У(!) По. гграгм зту траекторию в прострзнс-ве состояния (ркс. ! 2) Выделим на пеп очку У(! ), соответс~ь1юп! ю »скстарому»юмснту !» ..! (Т Эта г ч,а слнг о»гни»,п »!ю траскг,!пно»п лва 1:истка ! и 2 Г!а„.'кем, что 1часг» 2 оп:пма. ьноп траск: р ш сзм»о сгб, язлягтся г»,тпм, л~ »ым в слета~ма»» м смысле. Пус~ь в, мент ! об ьскт аказатся в состоянии У(: ) н »собт; з»~ пз»гп и об,»:гз» лс: ущпмы, у, равлшп и за|ос ! "рав,еч с и со: встгзгбюшшо ему ~раск» рвгк прп к: гари» ( бб .— У(! ) У(! ). Пр ~нцнп ':т»м,: »наст» швср.

л, ет ~ о та~он тр,ск.ар..сп буле; участок 2» !папа 'з,ъ юп опгниальной расктар~ п До»з ательгтво рнпцнп» о епг, п1о: с Пусть, рп ~ и нсспрвве.щнв и можно указки зчасзак 2, на ко: .»: м гпт,:рял )64! мслыпм ю~ на участке 2 Пгг то~ а с с»мо,а начала, т с с момшпа !»»жнг бы а оы ~изб,- ратьь та;о: 1прзвлспне, . рп к.тором траск ~ар»я .'вг,кш»я объект, со»~ ача бы с крпвоч ! 2. На зюп зр, с, ор»п в спл! г:сзаппаго ло ущ ння п о спн.ш го факга г ~ 6 ! ~ 6,7 - ( 6 ! знзченпе йщзпкцпоннла ! оказ,.

тось бы меньше, чем на трав»тор»к ! .2. Оливка по псла ллзм проз»ос ~ кам фу»кинг»~ал .! Лосгшает пзпменшпщо . ~ агапия ъа трзскт' рпп ! 2. О~гкъ.а следует, что участок 2 с у1га анны:. н сп,исгвзм» существовать нс ткпкет н, слсдовз с.ъно, учаг: к 2 явлются о~ тпмагп,ным в об!с:п;влгп и ~м смь» зс Тамг ~ абра ам, каковы бы пп были порвана ~а.

ыюс гсс.оя»пе объс' а и управ'сппс в»ача:ьны~ шрпол вр~ «еп», послслукпцес упранлсп»е ..о .':кно бы'ь оптима' ъным откос» с;ьпо состг1г»~ия, которое при» ст объект в реву. » тате порвана ~аз»ного упрзвюппк Опз»мал»нос управ и нпс в 1кзбоч мамою врсмснп не зависят ог прсдысзор и сисис»414 ~1 о»рсдс» ясгся то: »ко сосчояннем с»аз сны в з,от момен. врсмспп и цс »ю у»равленпя. Принцип оп:пмаю,»ости нс следует с»гешнвзть с некоторымк каягушн" пся с о впала амп о»тималы1ым явля ется г пшь коне гнь й у ~астап оп; п»ш;зноя 1раекторгш, а 64 .пе какой.либо промежуточный. В качестве 'прнмора, наглядно иллюстрирующего снтуацню, Беллман в одной нз своих работ нзлагает стратегкю понедения бегуна на дазгыгюю дкстзнпню На старте бегун ставнт перед собой цель, пылонощ все сван возможное,н, пройти дистанцию за мин»ма: ьное время.

Пахолясь на дигтанцпк, он в каждый момент распределяет сван снлы так, жабы с учетом своего состояняя в данный момент остизигггпся участок пути пройти за мннимальпое время. Гслн же ан будег ставить перед собой цель пройтн за минимальное время каждый блнжайшнй участок, то не ясключено, что финишировать е ау не прш ется.

ш» адномтжнж диск»ич»я з»д»ча н »ычкс»нгек»нмз »сяенты метов» Изучение метода наЧнем с простой задачи управления одяомерным дискретным ОУ. Одномерность зада*ш позвоягт более четко уяснить прнпцнпы метода, а дискретность залачн является, как правило, обязательным спутником » стола, который реализуется обычно с помощью ЦВМ. Опнсывается уравнением первого порядка у»44= — ук+ф(угп и»), й б, 1, 2, „, (147) глс у,=у(!»); и»=:и(!»). Заданы начальное састоянпе ум крптернй оптимальности Х вЂ” --~ 6(изп у,) (1.4б) з--я и область допуствмйх управлений 0(и).

Задача соответ. с. вуст сптуацнн''(1.4б), т. е. требуется найти такую последовательность управлений из, иь „'ик, на которой функционал Х .достигает минимального значения с учетом заданного няяалънаго состояния. расс»газу!!пня»Х' как функцию (йг+1) переменных иг, и»,. „из!па (1,47) как уравненнс связи, данную задачу можно пытаться 'решить .как задачу нонска условного зкстремума функцни многих перемепных с нспользованвем известного в математнке метода неопределенных множнтслей Лагранжа, Однако наличие большого числа переменных н ограничений в области о(и) не позволяет воспощзоваться класспческими средствами н требуе~ применения иных подходов. В соотве степи с ьгетолаьг дннамического программироаання решение обычно осушествлягот начнная с правого конца задачи. Предположим, что все управления иг, и, б- 5264 65 нь:е условия Р(0) нужно изменить тзк, чтобы после повторения всех вычислений траектория У(1) прошла через званную граннчпуЮ точку Неавтономный объект с закрепленными концами траектории и нефнкснрованным временем управления г(:обы управление ь(1) было оптнчал,ным ллл ге=[ге, Т], пеобхоггимо су1цесчвование так,й нсцулевои непрерыв нои вектор-функции Р11), соочвстствуюшей функцивм и(1), У(1) и сопряженной систсх е (! 89), чтобы прн любом ев[1с, Т].