1626435917-d26f9677b92985e7688f24b5e74711ce (Мак-Даниель 1967 - Процессы столкновений в ионизованных газах), страница 9

Интегрирование по всем углам дает ов ок.и., гки.к. е 2„йу.)-г (щ, )' (4п)~ у ~.~' ~ ~') 1г ~ — '), (2.2.24) М ! г ген+иге) г ! (гкг+~г) кк.11 г р. г ,—2дт 1= 1 а о Выражение (2.2.24) сводится к простой формуле (2.2.!5) которая и является желаемым результатом. в. г"аз в силовом поле. Функция распределения по энергиям, определяемая выражением (2.2.1!), неприменима в том случае, когда газ находится во внешнем силовом поле. Если сила описывается скалярным потенциалом, то соответствующая функция распределения получается путем введения в выражение (2.2.11) гроктора Болвг(мана е-к~"-и. Здесь (г — потенциальная энергия в расчете па одну молекулу, зависящая от положения в пространстве. Таким образом, число молекул в 1 слйс кинетической энергией. лежащей в интервале от Е до Е+дЕ, определяется выра- жением Дг(Е)ДЕ=Лг - -~ве"иег~ГЕа(Е, (2.2.25) (к) Ь (кТ) *' 'де г"а — полное число частиц в 1 см' в точке, в которой 1'=О.

В этом случае молекулы в конфигурационном пространстве распределены неоднородно. Изменение числа частиц в 1 слй при изменении положения в пространстве характеризуется уравне- нием '1 Отпоеитеаьио сакки 0 и В е другими интегралами, е игикодигси иметь дело а кииетической теории, ем. [31 етр. 2акч. Температура Газа всюду одинакова, и В каждой точке имеет место соответствующее этой температуре распределение энергий Максвелла — Больцмана [выражение (2.2.25)!. й 3.

Молекулярный диаметр, средняя длина свободного пробега и частота столкновений в. Уравнения, выведенные иа основе модели упругих шаров, Рассмотрим газ, плотность которого равна И малек!!!л/сл!г. Если рассматривать молекулы как упругие шары диаметром Р, ско. рости которых распределены согласно закону Максвелла, то,~. можно показать ([2), гл. 5)„что число столкновений в 1 см' за:,-.".' 1 сек равно [л!!$/2)ЖгРгю. Свободный пробег обычно опреде.:~' ляется как расстояние, которое проходит молекула между двумя ф последовательными столкновениями. Каждым столкновением за- ф канчиваются два свободных пробега (обеих сталкивающихся .'~: частиц), н полное число свободных пробегов на 1 слд в 1 сгк:р".: '~4. равно 1/2л№О'з.

Общая длина всех этих свободных пробегов:у.' равна 1т8, а средняя длина свободного пробега Л вЂ”. — —.= — —; (2.3.1) 'ч~- г 2лк!1Э' ь.:: ее называют максвелловским средним свободным г!робсгом..й! Этот средннк свободный пробег равен среднему из всех пробе- ~:,'. гов за единицу времени. Пользуются также понятием среднего,:~,'.

свободного пробега Тейта, который равен среднему нз всех про- 'в„'. бегов, пройденных в данный момент времени, плн среднему нз:й',:, всех расстояний, пройденных от данного момента до следующего "зь[ столкновения. Результат усреднения Тейта отличается от (2.3.1) только тем, что коэффициент 1/$~2 заменяется коэффпциен том 0,677, что дает разницу примерно в 4гм. Заметим, что выражение (1.4.14) дает значение средней длп- ':,!: ны свободного пробега одной молекулы, основшшое на допу шенин, что все другие молекулы газа находятся в покое: 1 1 1 !7~ д'4.

(2.3.2) -; С точки зрения эффективных сечений движущаяся молекула очи-;:~. тается точкой, а каждая нз неподвижных молекул рассматри-,',",: вается как шар, радиус которого равен истинному диаметру ",: молекулы Р. В смеси двух газов средняя длина свободного пробега для :!- молекул типа ! равна у — ! :х Л! = — ~лдг!й!!(2)ь-+лЮ~Р!э[1 + — '-) ~, (233) осиовиьв' г сввдгиня нз кингтичгской теогми глзов , -- расстоя с ояпие между цснтрамн молекул типа !' и !Л когда 'прикасаются, т.

е. Р„== Р,. Р!г — -,— (Р, + Р,). !а!тицы тица 1 легки и мазь! по сравнеишо с частицами то няражепне (2.3.3) сводятся к выражению 4 визг!г (2.3.4) б. йзменеиие средней длины свободного пробега и частоты столкновений в зависимости от плотности и температуры. Из сказанного в п. «а» данного параграфа видно, что средняя частота столкновений для отдельных молекул газа с максвелловскпм распределением равна ч =.— ~/2лЖРгть (2.3.5! а средняя клипа свободного пробега дается формулой (2.3.1) Л= Уй д!Р! Такпм образом, согласно модели упругих шаров, частота столкновенн!! изменяется прямо пропорционально плотности газа и корню квадратному из абсолютной температуры; зависимость температуры обусловлна тем, что ч пропорционально а. Сред!!яя же длина свободного пробега изменяется лишь с измененим нтютностн н обратно пропорциональна ей.

Согласно модели, более близкой к действительности, чем угругих шаров, средняя длина свободного пробега Эта фоРмУла мула соответствует предсказанному моделью упругих з, среднему свободному пробегу электронов, движущихся шаров сгед ны в рашювес и овесии с газом.

По причинам, которые будут объясне и гл 3, модель упругих шаров непригодна в случае электронов и '!ге! очень плохое согласие с эксперпментом — здесь требуется кваптовомеханическнй подход. Но этой моделью можно с успехом пользоваться для атомов н молекул; согласие с экспериментом по порядку величины получается н для ионов в газах с невысокой степенью ионизацин. В случае таких газов учет поляриззционного притяжения молекул иенами (см. гл. , $ ) приводит к умепыпению значения 1., полученного на основе модели упругих шаров, примерно в 5 раз и дает результаты, согласующиеся с экспериментом. ГЛА ВА 2 должна изменяться с температурой. Л4одель Сазерлеида (см гл. 1, 3 7) дает следующее выражение ((!), стр.

154): Здесь й — средняя длина свободиого пробега, соответствующая модели упругих шаров (2.3.!), а С вЂ” положительная констапта,"., ил|еющая свое значение для каждого газа. Уменьшение длины ' ' свободного пробега, соответствующее выражепию (2.3.6), об.

условлеио действием поля притяжения, которое учитывается в', . модели Сазерлеида. Если обоэиач1пь через Х(о) средиее расстояние, которое: проходит отдельная молекула со скоростью и между последо- Ф:: вательпыми столкновениями с молекулами, имеющими максвел- ~ левское распределение скоростей, то мы увидим, что Х(о) — 'у функция и, моиотопио возрастающая от значения 0 при О=Оде '~'. значения'у~2 5 при о=па.

Действительно, если молекула покоит-:,", :ь': ся, то можно считать, что оиа пройдет нулевое расстояние, пре-;,'=, жде чем испытает столкновение с другой молекулой. Если скорость отдельной молекулзя приближается к сс, то можно счи-:,:.'- тать, что другие молекулы паходятся в покое, и тогда примени- е:: мо выражение (2.3,2). В этом случае средняя длина свободного '-'~~: пробега отдельной молекулы в 1 2 раз больше, чем значение, '$: даваемое выражением (2.3.1).

Вычисление А(п) как функции и .'!кг очень сложно, Оно подробно выполнено Джинсом ((21, стр. 138). в. Численные результаты для молекул в чистых газах. Опубликованные значения молекулярных диаметров передних длии:,:" свободного пробега были получены главным образом иа основании исследований вязкости, теплопроводпости, скоростей диффузии и уравнений состояния. Леб ((4), приложение !) очень тщательно рассмотрел все методы определения этих величии. Ни одна из применяемых в кинетической теории моделей ие дает 'ч: точного описания физического явления, и зпачепия, полученные для молекулярных диаметров и средиих длин свободного пробега, зависят в какой-то степени от метода определения. Молекулярные диаметры, средние длины свободного пробега и ча- -й': стоты столкновений для некоторых газов прп 15'С приведены,;:(~'' в табл.

2.2.1. Значения г. были вычислены Кеннардом ((!) 4 стр. !49) из данных о вязкости, а для получения лл применялось ''~' выражение (2.2.!). Частота столкновений г вычислялась из соотношения (2.3.7) ч ОсиовиыГ сведгпия из кинетичГской теОРии ГлзОЕ бз казанного в гл. 1, з 4, следует, что вероятпость того, скула пройдет в газе между двумя столкповешшми по мепьше" , шей мере расстояние х, равпа е-ж". Таким образом, длины сво юд" годного пробега, зиачптельпо большие )ч чрезвычанно редки — т -только одна молекула нз !48 может пройти между столкповеи ешшми расстояьие, равное 57„и только 1 из 22027-- расстояки, ояиие, равное 105.

Следует заметить, Гго распределение длин сво од ободипого пробега не имеет максимума вблизи некоторого среди едиего значения подобно распределению молекул по скоро. ст„м, Число свободных пробегов, длипа которых больше некоторого ого зпачепия, -- уменьшающаяся экспоиенцпальная фупкция расстояния. . Средняя длииа свободного пробега заряженной частицы в сильно иоиизованиом газе. Понятие среднего свободного пробега, введенное выше, пепримепнмо к заряженной частице, дви. жущейся через газ с высокой копцептрацией ионов и электронов. Дело в толц что в этом случае па движение частицы больше влияет сугимариый эффект большого числа актов кулоиовского рассеяния под малыми углами, чем близкие столкновения рассмотренного типа ').

й 4. Среднее расстояние между молекулами в газе Среднее расстояние Ы между молекулами в газе равно — ! =же ' где И вЂ” число частиц в единице объема. Относительные зиачепия длины среднего свободпого пробега, среднего расстояния между молекулами и молекулярный диаметр для газа при раз. личных давлениях представляют известный интерес, и ниже приведепы некоторые типичные примеры. Молекулярный диаметр принимается равным 3 !О-' см. Принимается, что средняя дли«и свободного пробега равна !О-з см при давлении, равном 760 глл~ рг. сг,, и изменяется обратно пропорционально давлению при постояшюй температуре.

Температура всюду предполагается равной 15'С а) При р=760 лчм рт. сг, Н=З,З ° 1О-г см и Х= !О з см Х з г( з ь) = 300: 1О: 1; ') В действительности мы можем гсаоркзь и некптпрой средней длине сзсбпдзпгп пробега заряженной частицы а сильно аокизпаакном газе, ио рсчь вЛет и этом случае о средией глубине прпникиапеиии, которая должна быль пройдена прежде, чем произойдет мнпгпкраткос рассеккнЕ па некОтоРый б"лыипй угол. обычно принимаемый раиным 90' !см.

приложение !1, ГЛЛВЛ 2 б) Прн р=1 мм рг. ст,, И=30 !О-в си и 5==-6 ° 10-2 слс Х: с/: О = 2 102 2 100: 1; в) Прн р=-10-" мл2 рг. сг., д=6,6 ° !О в гм и Х-.м80 сн Х:с/: ВжЗ 102:2000:1. Следует отметить, что прн давлении !О ' 2клс рг. ст. средняя длина свободного пробега сравнима с размерами обычного лзбора. торно~о прибора. й 5. Время релаксации газа ') Рассмотрим газ, в котором распределение по скоросчям первоначально не максвелловское.Максвелл !10! вычислил скорость, с которой газ должен приближаться к устойчивому состоянию, и получил результат, согласно которому отклонения от максвелловского распределения затухают экспоненцнально с постоянной времени, равной 1/(ГЮ), где /ч' — плотность числа частиц в газе, а à — постоянная, зависящая только от структуры молекул.

Постоянную времени !/(Гй/) называют временем релаксации; оно характеризует также скорость, с которой должны выравниваться неоднородности давления и напряжения сдвига. Величина Г связана с коэффициентом вязкости т! и гидро- статическим давлением р формулой Г = —. ° р ч!ч ' Подстановка численных значений в (2.5.! ) показывает, что время релаксации сравнимо по величине со средним временем свободного пробега для столкновений в газе, которое равно примерно 1О в сек при нормальных условиях. С физической точки зрения причиной быстрого приближения к равновесию является эффективная передача кинетической энергии от одной молекулы к другой при столкновении.