1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (Найфэ - Введение в методы возмущений), страница 6

показать, что решение уравнения э)х/ба=0 имеет вид 1, 14 з =- — ез — — е'-1- О (вэ). 9 5 Найти затем значение к, соответствующее ягой величине. !.9. Пусть у (з)+ауг (з)+езуз(з)+...=А )=з-)-ех, (з)+езхз(з)+.... Показать, что з=! — ех,(Ц вЂ” е'(хз(Ц вЂ” хг(Цх,(Ц)+ .. и найти затем уа(Ц, уг(Ц н р (Ц. 31 Упражнения 1.1О. Рассмотреть уравнение у'+у=еу', у(0)=1. (а) Определить три члена разложения решения для малого е. (б) Показать, что точное решение нмеет внд у =а-х (1+ в (е-х — 1))- з, (в] Разложить зто точное решение для малого в н сравнить с результатом и. (а). (г) Оправедливо ли зто разложение для всех хг 1.11. Лля решения уравнения у — ~ — „,+ — ) у=о определить разложение по коордннате вида у= х,аих-".го =о 1.12.

Определить с точностью до второго порядна (т. е. найти три члена) раачожевня для решений (а) й+и=еиз, в~1, (б) й+и= — ей при условиях и(0)=а, й(0)=0. Являются лн этн разложения равномерно пригодными? 1.13. Найти прн малом е разложение первого порядка (двучленное) для решения системы их з — =а+ау, г(з и — = — (2+х) у.

у(1) =е-т, х(1)=1. ду с/з 1.14. Используя аснмптотнческое разложение (1.5.13), покаэатгь что большее нули й функции .(е(х) являются решениями уравнения 1 1 1 33 с(й ~$ — — и)= — — + +... 4 ) 8ьа 312йз н что еь= — и (4л+3)+ +... прн и целом.

1 1 1.15. Показать, что уравнение ий -(- й -1- (и = ге Ге. 1. Введение удовлетворяетси при 1 со разложениями (Левинсон (!969)) 13 1 )п1~ и= — — +с,!+с,— 91 )п 1+О ~ — 1), 3 и=1+(Ь, з)п1-)-Ь, сов 1)1 ыз+0(1-з), глс с! и Ь; — постоянные. !.!б. Показать, что уравнение Беллмана ! !%5) (й)з = й+и при 1 со удовлетворяется разложениями (Левинсон [)969)) и =ае-' — а е™ +О (е"з'), ! ! и= — 1'+ — Р )п !+с,(з+сз1- +0 (1з )пз 1), где а и с! — постоянные. ГЛАВА 2 Прямые разложения и источники неравномерности В 5 1.6 было указано, что разложения типа Пуанкаре (прямые разложения), такие, как ~(х; е) ~ б„(е)): (х), т 0 где 6 (е) — асимптотическая последовательность по параметру е, являются, как правило, неравномерно пригодными и нарушаются в областях, называемых областями неравномерности.

Некоторыми из источников неравномерностей являются следующие: бесконечная область, малый параметр при старшей производной, изменение типа дифференциального уравнения в частных производных и наличие особенностей. В случае бесконечной области неравномерность заявляет о себе наличием так называемых вековых членов вида х"созх и х" з1пх, из-за которых отношение ~„(хИ„,(х) не ограничено, когда х стремится к бесконечности. В случае малого параметра при старшей производной разложение возмущения не может удовлетворить всем граничным и начальным условиям и, таким образом, является непригодным в пограничных и начальных слоях. Поскольку граничные и начальные условия, необходимые для корректной постановки задачи, зависят от типа рассматриваемого дифференциального уравнения в частных производных, то неравномерности могут возникнуть и в том случае, когда тип возмущенных уравнений отличается от типа исходного уравнения.

В четвертом случае в разложении в некоторой точке могут появиться особенности, которые не имеют места в точном решении и становятся более выраженными в последующих членах. Для каждого из источников неравномерности дается несколько примеров, иллюстрирующих возникновение неравномерных разложений и способы их распознавания. Эти примеры поясняют также технику получения возмущений по параметру. Кроме того, большинство из этих примеров вновь появляется в последующих главах, где они приводятся к равномерно пригодному виду.

В заключение главы обсуждается роль координат (как зависимых, так и независимых) в получении равномерных или 34 Г*. 2. ггрямие роемоеения и источники неравномерности неравномерных разложений, а также роль методов возмущений в выборе координатных систем, в которых разложения стано- вятся равномерно пригодными. 2.1. Бесконечные области 2ЛЛН Уравнение Дюффыыга Рассмотрим колебания массы, соединенной с нелинейной пружиной, которые описываются уравнением Дюффинга и+и+еив О, и(0)=-а, и(0)=О, (2.1.1) где е — малое положительное число. Эта задача допускает интеграл и'+ и'+ е — = ~ 1+ — ~1 а'. 2 ~ 2 (2.1.2) Из у.равнения (2.1.2) следует, что при положительном е значения и ограничены для всех моментов времени. Будем искать приближенное решение в виде асимптотического разложения типа Пуанкаре и= ~я~ ети„(1).

т о Подставив его в (2.1.1), разложив по степеням е и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, получим следующие задачи для определения и и и,: и,+и,=0, и,(0)=а, и,(О)=0, (2.1.4) й, + и, = — и'„и, (0) = О, и, (0) = О. (2.1.5) Подставляя это значение и, в (2.1.5) и используя тригонометрическое тождество сов ЗФ = 4 сове 1 — 3 сов(, получим + сов Зг+ 3 сов Е (2.1.7) Решением уравнения (2,1.7) с начальными условиями (2.1.5) является функция а~а .

ов и = — (ып(+ — (сов31 — сов(). (2.1.8) Решение, удовлетворяющее начальным условиям, имеет для и, следующий вид: и,=асов1. (2.1.6) 2.Д Бесконечные области Таким образом, и =исов1+еа' [ — — !в!п !+ —,(сов31 — сов!)~+0(вв) (2 ! 9) 3 8 32 2Л.2. Модель слабой нелинейной неустойчивости В качестве модели слабой нелинейной неустойчивости стоячей волны рассмотрим следующую задачу: им †„ †и', (2.1.10) и (х, 0) = е сов йх, и, (х, 0) = О. (2.1.11) Начальные условия наводят на мысль о разложении вида и=ни,+в'и,+в'и,+....

(2.1.12) Подставляя это разложение в (2.1.10) и (2.1.11), получим, приравнивая коэффициенты: при в и„,— и,„„— и, =О, (2.1.13) и,(х, 0)=совйх, и,е(х, 0)=0; прн е' и.п — и,„„— и, =О, и,(х, 0)=и„(х, 0) =0; (2.1.14) при ев и,и — и,„„— и,= и„ в ив(х, 0) =им(х, 0) =О. (2.1.15) Нз-за наличия слагаемого !з!п! имеем и,/ив оо при 1 оо, поэтому приведенное выше двучлениое разложение не является приближением к решению при ! оо. Слагаемое !в!п! называется вековым членом; оно стремится к бесконечности при ! — оо, в то время как выше мы выяснили, что и должно быть ограничено для всех 1. Разложение (2.1.9) нарушается не только при бесконечном значении переменной 1; если 1=0(в '), то второй член сравнивается по порядку с первым в противоречие с нашим предположением прн выводе (2.1.9) о том, что еи, является малой поправкой к и,.

Прн дальнейшем вычислении членов ряда будут появляться вековые члены вида !в(сов!, в!пг). Хотя результирующий ряд и является сходящимся, но сходимость эта медленная, и представить решение для всех 1 конечным числом слагаемых не удается. Появление вековых членов характерно для задач о нелинейных колебаниях; следовательно, в этих случаях нельзя ожидать, что прямое разложение окажется равномерно пригодным. 36 Гл. 2.

Прямые разложения и источники нероеномерности Решение задачи (2.1.13) для первого порядка имеет вид и, =сов а,1 сов Ах, а', =Аз — 1. (2.1.16) Таким образом, волна устойчива при й ) 1 и неустойчива при й < 1. Особый случай А = 1 разделяет устойчивые и неусгойчивые волны. Решением задачи (2.1.14) для второго порядка является функция ив=0. Подставляя в (2.1.15) выражение (2.1.16) для и, и решая задачу, получим аз = —,112а,1в1па,1+сова,1 — совЗаЯсовйх+ в 1 -1- —,, 13 (сов а,1 — сов р() + йе (сов За,1 — сов р1)1 сов Зях, (2.1.17) где р'= 9Фе — 1. Следовательно, 9 и = е сов а,1 сов йх+ е' [ —, 1 в( и а,( сов йх+ охо! +члены, ограниченные при 1- со1.

(2,1,18) Здесь вновь прямое разложение нарушается при 1=-0(к-е) или при ббльших значениях 1 вследствие наличия векового члена 1 в)п а,1. 2Л.В. Сверхзвуковое обтекание тонкого крыла В качестве третьею примера, поясняющего ответственность бесконечной области за неравномерность в разложении типа Пуанкаре, рассмотрим равномерное невязкое сверхзвуковое обте- У оилокееяраеиег крыло Рис. 2д. канне тонкого симметричного крыла, изображенного на рис.2.1.

Представим вектор скорости в виде е) =0 угад(х+ ф); потенциал ф для стационарного двумерного безвихревого иззнтропнческого течения удовлетворяет уравнению р„„— В'ф =Л4' ~ ~' (2ф +ф',+ф')(ф +ф„,)+ +(2фл+фк) ф +2(1+ фи) фефл +фвфоо1» (2 112) ».«. Бес»он«нные на»асти где В' =«И* — 1, «)( — число Маха свободного потока'). Нормальная составляющая скорости обращается в нуль на поверхности крыла, т.е. течение на поверхности происходит по касательной. Следовательно, имеем =еТ (х) при у=еТ(х), 0<»<1, (2,1,20) «+ц» где 1 — длина хорды крыла.

Граничные условия на бесконечности вверх по течению имеют вид «р (х, у) = О. (2.1.21) Используя метод последовательных приближений, Ваи Дайк 11952) получил для уравнения (2.1.19) с граничным условием (2.1.21) решение второго порядка при малом, но конечном е.

Будем искать разложение типа Пуанкаре, приняв в качестве параметра возмущения е. Пусть «р= ац«+е'цк,+.... (2.1.22) В силу малости е мы сможем существенно упростить задачу, перенеся граничное условие (2.1.20) с кривой у=-еТ(х) на отрезок у=О с помощью следующего разложения в ряд Тейлора« ц(х, еТ) =ц(х, 0)(-еТц„(х, 0)+ — е*Т'ц„„(х, 0)+.... Перепишем (2.1.20) в виде )+е ц"к~»* )+'" =еТ'(х) 0<х<1. (2.1.23) ,0 Т ,0 Подставляя (2.1.22) в (2.1.!9), (2.1.21) и (2.1.23), разлагая для малого е и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях к„ будем иметь для коэффициентов: при е (2.1.24) «р,„(х, О) = Т' (х), 0 < х < 1, (2.1.25) «р,(х, у) =0 (на бесконечности вверх по течению); (2.1.26) при е" Цене В цен»=««т' 1(7+1) ц«»ц«»»+(7 1) ц«»Ц«де+2Ц«ец«»у1~ (2.1.27) «р,„=ц,„Т' — ц, Т при у=О и 0<х<1, (2.1.28) ц»,Х,, у)=0 (на бесконечности вверх по течению). (2.1.29) '1 у — показатель иээнтрапы.