1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (Найфэ - Введение в методы возмущений), страница 9

Итак, положим в предыдущих уравнениях Ф=трь+азрв+. ° ' Р = а 'Р— + Рз+ о'Р + ° ° (2.3.22) н приравняем коэффициенты при одинаковых степенях а. Полу"Р"Р ') Волны в тонком слое вязкой несжимаемой жидкости, стекающей по вертикальной стенке, были впервые исследованы П.

Л. Капицей в !946 — 1949 1т. нсимптотивеский анализ волн в слое вязкой жидкости на наилонной плоскости был проведен Ю. П. Иваниловым !!9611. См. обзорную статью Н. Н. Моисеева !19671.— Прим. рвд. Кроме того, условие отсутствия касательного напряжения на свободной поверхности дает ((I'+фяу — азф» )(! — а'Ь'„) — 4авт)„аЬ =О при у= — Ь. (2.3.19) 62 Гл. 2. Прямом разложения и истаонихи неравномерности порядка соо р,„=О, фо=о)»ор=О при У=О, о)ори = 2 (у — 1) при у = Ь, при у=й; (2.3.23) (2.3.24) (2.3.26) (2.3.26) порядка со Ф,рррр = й Иорро+ ((~ + о)ор) о)охре — ((~" +оРоррр) оулу (2 3.27) о)»» =ор»р=О, при У=О, (2.3.28) ор»р„=О при у =Й, (2.3.29) р, = (Ь вЂ” 1) сто 0 — Т созес Ой„„при у = й, (2.3.30) причем Рох = 2 оо»ррр 2 вт 1о»евро+((» +»х»»ор) о»»»охо ((' + фоор) оеиох) (2 3 31) Решение задачи (2.3.23) — (2.3.26) имеет вид оро =(»» 1)у .

(2.3.32) Поскольку — [ор( У.()(„~)=И„Ь + р )1„= ° то (2.3.18) можно переписать в виде 0,+(20 — Й')Ях+ — Ц(х, У, 1)1р и]=О. (2.3.35) Подставив о(» о)»о+0(со) в зто уравнение, будем иметь йо-1- 2йойх = О. (2.3.36) Тогда уравнение (2.3.27) примет вид Ф,рр„„— — 2)~ (0о+ айву) и при условии (2.3.28) будет иметь своим решением функцию о)»=А(х»1)у'+В(х, 1)у"+ — 2 ~йоуо+ в Рйху'). (2.3,33) Подставив ор, в (2.3.29) — (2.3.31) и решив полученные уравнения относительно А и В, будем иметь В = — (Й„с(8 0 — Т созес ОЬ„„„), (2.3.34) А = — 0Ях с188 — Тсозсс00х„„) — Яй' (8,-1- — Ь»0„), 2.в.

Наличие особенностей Тогда ф, (х, й, Ц = — 3 йь(йи с1н0 — Тсозесйй„„„)+)ойй'й„. 2 8 Положив в (2.3.35) ф=г),+аф,+0(ав), получим й, -'; 2й г йл + а ~ — — й' ~ с(д 0 — — )7й' ) й„„+ — созес Ойвй — 2)гв (с!00 — — !сйв) й„'+2Т собес ййвй й„„„~ +0(а') =О. (2.3.37) Резюмируем проделанное в этом пункте, Начав с эллиптического уравнения (2.3.16), мы заменили его уравнениями (2.3.23) н (2.3.27), которые, очевидно, ие являются эллиптическими.

От этих уравнений возмущения мы пришли к уравнению (2.3.37), которое явно гиперболическое. Таким образом, изменение типа уравнения не привело к возникновению неравномерностей, поскольку рассматриваемая область была неограниченной. 2.4. Наличие особенностей В данном классе задач разложения в рассматриваемой области имеют особенности, которые не содержатся в точном решении. Более того, в членах высших порядков особенности не только сохраняются, но и становятся более выраженными. 2.4Л. Саине особенности (2.4.4) В качестве первого примера указанного класса рассмотрим задачу, изучавшуюся Лайтхнллом 11949а): (х+ау)„— "+(2+х)у=О, у(Ц=е '.

(24.Ц Это уравнение имеет особенность на прямой х= — еу. Граничное условие, однако, обеспечивает положительность точного решения у(х) для х)0; следовательно, у(х) не имеет особенностей при 0(х оо. Для отыскания прямого разложения положим у=у,(х)+еу, (х)-«-.... (2.4.2) Подстановка (2.4.2) в (2.4.Ц, разложение по степеням а и приравннвание коэффициентов при е' и е даст нам х «'+(2+х)ус=О, у,(Ц=е-', (2.4.3) х е г+ (2+ х) у = — ув +,', у, (Ц = О. ех Решение задачи нулевого порядка имеет внд у, =х-'е-". (2.4.5) 54 Гл. 2.

Прямые разложения и источники неравномерности Подставив у, в (2.4А) н решив полученное уравнение, будем иметь у,=х-'е ") е-Ч в(1+27 ')с(7. (2.4.6) При х — О имеем у,=О(х '), в то время как у, =0(х-в). Таким образом, хотя н точное решение не имеет особенности при х=О, решение нулевого порядка имеет особенность в точке х=О, н зта особенность далее становится сильней.

2.4.2. Задача о космическом корабле Земля — Луна Далее мы рассмотрим движение космического корабля массы лт в гравитационном поле двух фиксированных притягивающих центров. Масса М, Земли много больше массы М Луны. В де- 77уиа Рис. 2.7. картовой прямоугольной системе координат, показанной на рис.

2.7, безразмерные уравнения движения имеют внд') бвк к к — 1 2 ( )) 3 )л 3 Ф (2А.7) сит се ст ~т = (( )с) в )с в бее (2.4.8) дт Гс Гт гв = хе+ уе, гя = (Х вЂ” ()ч+ ув, (2.4.9) где )с=Ми/(М +М,). ') Уравнения (2.4.7) и (2м.б) справедливы при условии, что притягивающие центры неподвижны. Прн рассмотрении движения точки в поле притяжения Земли и Лупы необходимо учитывать, что сищема координат кр вращается вместе с Землей и Луной. Это приводит к появлению в уравнениях (2.4.7), (2.4.8) дополнительных членов, обусловленных переносными и кориолисовыия силами инерции.— Прим. ред. 2А.

Наличке особенностей Для введения безразмерных расстояния н времени исполыованы соответственно расстояние с( между притягивающими центрами и величина где 6 — постоянная всемирного тяготения. Лагерстром и Кевор- кян 119666) изучали эту задачу при начальных условиях х=0, У=.-О, — = — Рс при (=О, йд йк й= — р, р~1, (2.4.10) (2.4.11) где й †полн энергия корабля.

Поменяв ролями х и 1, рассмотрим следующие прямые разложения для малого р: (=-!о(х)+(с(, (х)+..., У =ру1+ ° ° (2.4.12) (2.4.1З) Подстановка (2.4.12) и (2.4.13) в (2.4.7) †(2.4.9) и приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях )с дают (о ! !'3 ке о (1 (о(х ! ! кк (! — к)' ' (2.4.!6) (2.4.15) Решения этих уравнений при начальных условиях (2.4.!О) и (2.4.11) имеют вид )Г2!о =-т агсз1п р )' х —, )с х (1 — р'х), (2.4.17) 2 2 — ре -/ к ! )/2г = — — агсзш р$' х+ ре Ре (! — Ре! ! — Рек 2 (! ре)осе ~г — — х х1п !+(! — 2ре! х+ 2 !(! — р'! (! — р'к) х!' ~ (2.4.18) у, = — сх.

(2.4. 19) Таким образом, приведенное выше разложение при х- 1 нарушается, поскольку (, имеет логарифмическую особенность. Можно показать, что в высших приближениях особенности в окрестности х= 1 усиливаются. В самом деле, !о=О((! — х) ') при х — 1. 56 Гл. 2. Прямые роолоех ния и иеточнихи нериономерноегяи лньз. Терыоупруене поверхностные воины т, — + 'и = — А вагаб О. дь е де (2.4.21) Здесь 0 означает изменение исходной абсолютной температуры 0„ д — коэффициент теплопроводиости, т, — время термической релаксации. В уравнении (2.4.21) предполагается, что тепловые сигналы распространяются не мгновенно, а имеют конечную скорость распространения. В наших рассмотрениях здесь мы будем следовать Найфэ и Неммат-Нассеру [197Ц. Поскольку материал предполагается изотропным, мы будем рассматривать двумерное движение в плоскости (х, у), обозначая смещения соответственно через и и о.

Ось х лежит на свободной поверхности, а ось у перпендикулярна к ней и направлена внутрь тела. Пусть р' =(1+2)х)/)х, где е. н )х — коэффициенты упругости Ламе, пусть 6=-12+(ЗЛ/)х))аОы где и — коэффициент линейного теплового расширения, и пусть а=го(ЗХ+2(х)/рс, где р — плотность материала, го — удельная теплоемкость при постоянном объеме. Тогда совместные уравнения теории упругости и теплопроводности запишутся в виде дЮ деО дО деО ( дои две '1 ( д'и д'о дхе дре д~ дР ~ дяде дрд! у 1дхдР дудР,~ ' — + — — — т — =д( — + — 1+от( — -';- — 11.

(2.4.24) В приведенных уравнениях для введения безразмерных времени н длины использованы соответственно величины 1/ы» н ор)ы*, где О)'= — о' = —. н рсоор х+ 2р э р р (2.4.25) На свободной поверхности обращаются в нуль нормальные н касательные напряжения и градиент температуры, т. е. имеем Рассмотрим влияние теплопроводности на распространение волн по поверхности изотропного упругого полупространства. Вместо закона теплопроводности Фурье будем использовать модифицированный закон Максвелла, чтобы учесть то малое время, которое необходимо для установления стационарной теплопроводностн после внезапного возникновения градиента температуры в твердом теле. Будем предполагать, таким образом, что поток тепла 11 определяется соотношением 2А.

Наличие особенностей при у О (ре — 2) -+()е — ЬО = О, ди до дк ду де --О. у (2.4. 26) (2.4. 27) (2.4.28) Решение задачи (2.4.22) — (2.4.28) будем искать в виде (и, о, 8) (а„а„а,) ехр ( — ссу+еео!+(!)х), (2.4.29) Здесь принято обозначение а=а/()е. Для каждого а существует собственный вектор вида 1, е — ", е У «аеи для ее=2,3 (2.4.33) о од и вида (2.4.34) Подставим собственные функпии, соответствующие собственным векторам (2.4.33) н (2.4.34), в уравнения (2.4.26) — (2.4.28) и приравняем нулю определитель системы уравнений относительно ааи Устремляя ео оо, получаем Ае 12 — се — сот (1+ е)+ 2А) (2 4.35) 11 — сот (1+о)+А)е где (1 — росе) л'=!! -.

')(1 — ' ! — е, О!'! ~. !2.!.36! 1 — р с' Положив в (2.4.35) и (2.4.36) е=О, можно получить классическую скорость волн Рзлея. При ре =3 (соответствует козф- где ез имеет положительную вещественную часть. Тогда волновая скорость будет задаваться равенством с=со/Кед, а коэффициент затухания — равенством а =1ш д. Подстановка (2.4.9) в (2.4.22) — (2.4.25) и приравнивание нулю определителя линейной системы уравнений относительно ао дают следующие три решения для сс, выраженные через д и ьн О!е — !)е «)е(о' (2.4.30) а, '+ а,' = 2де — теое — со' (1+ те) + !ео (1+ в) (2.4 31) аоессе .—.-' ео'т — еоее)е — мое + (соде (1 + е) + де — !)ееоет (! + е).

(2.4.32) ов Гл. л. Пряилле разложения и исоиннияи нераенолирнсепи фициенту Пуассона 174) имеем с'=0,2817. Для малого е можно попытаться построить такое разложение для с', первый член которого совпадает с решением Рэлея. Итак, положим ся = 4 (1+ ес, + е'с, +...

). (2.4.37) Подставив (2.4.37) в (2.4.35) и (2.4.36), разложив по степеням е и приравняв коэффициенты прн одинаковых степенях в обеих частях, получим (2.4.38) г ой (1 — ~~не) (1+ —, (сл) ~ где е.=з — ао-~- )-~-2! д — 4ц! — н. (2.439~ Из равенства (2,4.38) видно, что при значениях т, близких к с Д, коэффициент с, становится неограниченным, и разложение (2.4.37) нарушается.