1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (Найфэ - Введение в методы возмущений), страница 10

Можно показать, что прн т=сйз высшие приближения более сингулярны, чем второй член. При т > сйз разложение (2.4.37) следует модифицировать; в противном случае величина А' окажется отрицательной, а в силу (2.4.32) станет отрицательной действительная часть одного нз слагаемых, составляющих сс. Модифицированное разложение имеет вид с'= — (1+ес, +е'с,+...). 1 (2.4.40) Функции с, и с, можно определить, подставив (2.4.40) в (2.4.35) и приравняв коэффициенты при е и е' в обеих частях. Проделав зто, получим тз т с, = — —, с, = — — — М', (2.4,41) т — 1' з (1 — т)з с — 1 где М является корнем уравнения — — -т.— 6 ' (т ') + — ~ М' —, М+ —, = О. (2.4. 42) Разложение (2.4АО) является особенным при т=слз, поскольку в этой точке коэффициент при М' обращается в нуль.

Можно показать, что в высшем приближении эта особенность усложняется. Таким образом, первое из вышеприведенных разложений спРаведливо пРи т (сл', втоРое — пРи т > сне, "оба Разложениа нарушаются вблизи т=слз. Разложение, пригодное в окрестности втой особенности, построено в п. 4.1.6 с помощью метода сращивания асимптотических разложений.

2.4. Наличие особенностей В,4.4. Зааача с точкой возврата при больших Л. В области ]х] < 1 решения этого уравнения имеют колебательный характер, а при ]х] > 1 — экспоненпиальный. Это обстоятельство наводит на мысль о разложении вида у еАч(к; к! (2.4.44) где ьр = ьр, (х) + Л-'ьр, (х) + .. (2.4.45) Подставив это разложение в (2.4.43) н приравняв енты при одинаковых степенях Л, получим ьр =- — (1 — х'), 2ьрюьрь+ ьрр = 0. коэффици- (2.4.46) (2.4.47) Решениями этих уравнений являются функции к =Е!) )/1 — ткь(т при ]х] <1„ ьрр = ~) )/т' — 1е!т при ]х] к 1, 1 !рь = — — !п ьр,+сопз1. (2.4.48) (2.4.49) Следовательно, к / к р= ',,",,„,1ь)Ьь — дл.)-ьь,к Ьф~~ — *л*)] (! — кк)ьть й при ] х ! < 1 (2.4.50) н к / к „~...,р (ь ] ь',.

— Чь л, ! ь ь, „р ь — ь ! ьр" — ь л. !] 1 при !х]) 1, (2.4.51) где а, и Ь! — постоянные. Разложения (2.4.50) и (24.51) называются приближениями Лиувилля — Грина илн ВКБ-приближениями (п. 7.1.3). Эти разложения имеют особенность при х=~) и поэтому не являются равномерно пригодными. Точки х=~1 называются лккисал!и воэ- В качестве последнего примера рассмотрим асимптотические разложения решений уравнения уР+Л'(1 — хк)у=0 (2.4.43) 60 Гл.

а Лримме раллоееенал и аетаинаки неравномерности 2.5. Роль координатных систем При получении возмущения по параметру для некоторой величины и(х; е) мы сначала выбираем независимую переменную, которая не обязательно совпадает с физической независимой переменной х, а является некоторой функцией К от х и малого параметра е. Затем мы полагаем Ф и = ~~~, 6 (е) и [~ (х; е)1 при е — О, т=а (2.5.1) где 6„(е) — асимптотическая последовательность. Мы подставляем это разложение в рассматриваемые уравнения, полагая ~ фикси- рованным, проводим разложение при малом е и затем прирав- ниваем нулю коэффициент при каждом био Таким образом, С фиксировано в а г а-! а-Х В (е)и (К) ии = 1ип а„(и) ' фиксироввио (2.5.2) Очевидно, что при заданнол последовательности б„величины им аависят от выбора ь(х; е). При одном выборе ь получаются неравномерные разложения, при другом — равномерные разложения.

Например, положив в (2.1.1) ~=(, мы получили неравномерное разложение и((; е) =асов(+еав[ — — (ейп(+ — (созЗ! — созе)]+0(в') (2.5.3) 3 . ! а 32 для уравнения Дюффиига (п. 2.1.!). Если бы мы выбрали ~= =[1 +(З(8) еа')(, то получили бы разложение и(1; е)=асов~+ — [созЗь ив созЦ+0(е'), (2 5.4) врава. Неравномерность в этом примере возникла вследствие того, что решения представлены в элементарных функциях, а именно в экспоненциальных и тригонометрических функциях. Из разложений видно, что при переходе через значения ~х~ =1 характер решения меняется с колебательного на экспоненцнальный. Следовательно, для представления решений нужны функции, имеющие аналогичное качественное поведение.

Подходящими для этой цели являются функции Эйри (и. 7.3.1). дд. Роль нсординатньех систем 6! которое является равномерно пригодным. Координаты типа с= = [1+ (3/8) еа') 1, которые приводят к равномерным разложениям, называются оптимальными коордикаепами (Каплун !1954)). В качестве второго примера рассмотрим модельную задачу о слабой нелинейной неустойчивости нз п. 2.1.2. Равенство (2.!.!8) задает следующее разложение: и = е соз о,1 сов йх+ +з" !à — Г з!по,(совах+члены, ограниченные при ! оо~, (2.5,5) Г 9 'Газо, Это неравномерное разложение соответствует выбору ь =!.

Если бы мы выбрали 9=о, (! — (9!32о,')] 1, то получили бы разложение и = з соз ь соз Ах+ 0 (е'), (2.5.8) где Т = Т (х — Ву), у = еТ (х) (форма крыла). Это разложение получено при фиксированных х и у. Считая фиксированными переменные у+1 ме 5=у х — Ву=ь — ~ —,$Т'Я, (2.5.8) мы бы получили разложение —,=1 — е — +е' ~ —, !!1 —, ~ Т" — ТТ ~+0(з'), (2.5.9) ~'© Г ! е еие(Р+!)1 л которое является равномерно пригодным.

Следовательно, (2.5.8)— оптимальные координаты. Следует отметить, что координата может оказаться оптимальной для точности порядка О(е), ио не оптимальной для 0(е'). Например, Ь = (1+ — еае) ! (2.5.10) является оптимальной координатой для уравнения Дюффинга при точности О (е), в то время как для высших порядков она равномерно пригодное при всех !. Следовательно, в последнем случае 9 †оптимальн координата.

В качестве третьего примера рассмотрим сверхзвуковое обтекание тонкого крыла (п. 2.1.3). Равенство (2.1.36) задает следующее разложение для осевой составляющей скорости: — — ° — уТ'Т вЂ” ТТ" ~ +0(е ), (2.5.7) 62 Гя. 2. Прямые разложения и ивиимники неривномерности не является оптимальной. Однако 3 15 ь= (1+ — еа' — ееа') ! 8 2ЗВ (2.5.11) у=Ьехр(1 — х)+(а — Ье)ехр (х — )+0(е), (2.5.12) Это разложение нельзя получить, считая фиксированным х или х1а. Прн фиксированном х мы бы получили разложение у=Ьехр(! — х)+0(е), (2.5.13) которое нарушается в окрестности х=О, ибо, вообще говоря, у(0) =а~Ье.

Зафиксировав, однако, х/в, мы бы пришли к раз- ложению кт у=Ье+(а — Ье)ехр ( — — ~ „ е) ° (2.5. 14) неравномерная пригодность которого следует из соотношений у(!) =Ь Ье. Таким образом, решение представлено двумя различными разложениями, использующими координаты (масштабы) х и х1е. Поскольку эти разложения являются различными асимптотическнми представлениями одной и той же функции, они могут быть соотнесены друг другу с помощью так называелюго принципа сращивания (гл.

4). Из сказанного следует, что для получения равномерно пригодных разложений можно сначала с помощью разных масштабов построить разные разложения, соотнести этн разложения с помощью принципа сращивания и затем объединить их. Это есть метод сращивания асимптотических разложений, описанных в гл. 4. Прежде чем получить, скажем, два разложения с помощью двух разных масштабов для представления решения задачи (2.2.1), мы фиксируем значения х и х/е либо значения некоторых функций от них и затем выводим разложения. Это означает, что мы увеличиваем число независилвых переменных до двух и преобра- является оптимальной для (2.!.1) при точности 0(е').

Поскольку большинство прямых разложений теории возмущений (полученных при фиксированных физических координатах) является неравномерным, были развиты методы превращения этих разложений в равномерно пригодные. В методе координатных преобразований (гл. 3) некоторые из этих разложений приводятся к равномерно пригодному виду с помощью определения оптимальных координат как почти тождественных преобразований. В некоторых нэ рассмотренных задач, например в задаче (2.2.1) и (2.2.2), равномерно пригодное разложение (заданное соотношением (2.2.11)) имеет вид Упражнения зовываем исходное обыкновенное дифференциальное уравнение в дифференциальное уравнение в частных производных. Данный метод представляетсобой метод многих масштабов, описанный в гл.б.

В задачах теории колебаний, описываемых уравнением и+ и =-к((и, и), невозмущенное решение (решение при а= 0) имеет вид и=исоа ~р, гр =-!+О, (2.5.15) где а и Π— постоянные. При а~О решение нсе-таки может быть выражено в приведенной выше форме, если считать и и О изменяющимися во времени. С помощью метода вариации произвольных постоянных (п. 5.1.1) можно получить следующие уравнения для а и гр: Й2 — „= — вяп гр?(исоа(р, — аяп гр), Ж лр е „вЂ” =1 — — соз <р((а соз гр, — а яп гр]. (2 5.17) а( а Для определения равномерно пригодного разложения решения этих уравнений вместо почти тождественного преобразования независимой переменной (как в методе координатных преобразований) мы можем ввести почти тождественное пресбразование обеих зависимых переменных а и гр.

Это есть метод усреднения, описанный в гл. 5. Упражнения 2Л. Для урзвненяя (х — 1)(х — т)+в=о, е ~1, определить трехчленное рвзложенне решения, близкого и едяпяце. Будет ля оно пригодным для всех значений т? 2.2. Вычислить трн члена в еснмптоткческом рззложепнн решения зздвчн еу'+ху= — 1, у(0)=1. Кековз здесь область неравномерности? 2.3. Задача о язознергетнческнх цилиндрических ударных волнах может быть прнведенз к виду (Левп [19091) агееу — = 2 (1 — гез) — ш (1 — ))шз), ау йе где сг н 1! — постоянные. Для а(<1 определить рззложенне л до второго по- рядке по а н рзссмотреть вопрос о его рлвномерносгн. 64 Ге. 2. Прямые разатмения и источники нераеномерности 2.4.

Для малого е определить разложение первого порядка (двучленное) в задаче / ° 1 к+х=е !хх — хз ), х (О) =а, к(0) =О. 3 Является ли это разложение равномерно пригодным? 2.5. Рассмотреть задачу (х+зу) у'+у=О, у(1)=1. (з) Определить в этой задаче разложение второго порядка (трехчленное), предполагая, что з(( !. (б) Какова область его яеравномерностиэ (в) Показать, что точное решение задачи имеет вид 1 — —.~. ! — ч — 1.' е у ез е (г) Разложить точное решение для малого е н сравнить с результатом п.

(з). Можете ли вы сделать какой-либо вывод об источнике неравномерностн) 2.6. Найти при малом е разложение первого порядка (двучленное) для задачи ! (х+ву)у' — —,у=!+хэ, у(1)=1. Какова область его неравномерностях 2.7. Определить разложение первого порядка для малого з: (х+еу) у'+ху=ое-х у(!) е-х, Какова область его неравномерности? 2.В. Определить двучленное разложение частного решения уравнения еи" (! — хз! и=((х!. Каине условия нужно наложить нз !. чтобы это разложение оказалось равно- мерным? 2.9.

Определить при большом Л разложение вида у=ехр [Л р, (х)+<ро (х)+...) для решения уравнения ку + у'+ Лак(1 — хз) у=О. Где это разложение нарушается? 2.10. Опредвппь двучленное разложение для решения уравнения й+ы„и+ й соз ы! =еи'. Справедливо ли это разложение прн всех значениях ыг 66 Гл. 2. 1!ремне разложения и игточники неравномерности где 8=8 (х) — задавнаа функция. Определить разложение для больших А. Обсудить неравномерность етого разложения.