1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (Найфэ - Введение в методы возмущений), страница 8

Касательная составляющая скорости должна обратиться в нуль на поверхности независимо от того, сколь мала вязкость (сколь велико число )г), По этой причине при больших 1с точное решение близко к ф, всюду, за исключением тонкого слоя около тела, в котором оно претерпевает быстрое изменение, чтобы восстано.вить условие прилипания. Этот тонкий слой и есть пограничный слой Прандтля. 2.2. Малый параметр пра старшей производной Рис.

2.4. срывами (релаксационные колебания) в электрической цепи. Зги колебания описываются следующим уравнением, которое назы- вают теперь уравнением Ван-дер-Поля-. и +и =а ~и — — и' ~. п ~ е 1 а1 з (2.2.21) Положив о=и', х=и(а и е=а ', приведем (2.2.21) к виду ае о — — — к йо 3 е — =* йк а (2.2.22) При е =0 имеем уравнение хг и†(ое/3), которое определяет кривую, показанную на рнс. 2.4.

Предположим, что е очень мало, но отлично от нуля, и рассмотрим интегральную кривую, начинающуюся в точке Р. Поскольку точка Р находится вдали от кривой Г, то вплоть до точки Р„в которой интегральная кри- 2.2.2. Релаксаннонные колебании Следующей задачей, которую мы рассмотрим, будет задача об отыскании периодических решений для уравнений вида еи"=)'(и', и) (2.2.20) при малом в и при условии, что уравнение 1(и', и) =О периодических решений не имеет. Впервые к задачам такого рода обратился Ван-дер-Поль 119271, пытаясь объяснить колебания со 46 Гл. 2. Прямые разложения и истачюгхи неравномерности 2.2.4.

Несимметричный нагиб предварительно капряжениык кольцевых пластин Последним примером рассматриваемого класса является несимметричный изгиб предварирг тельно напряженной кольцевой д. пластины, исследованный Альцгв ггг хаймером и Дэвисом 119681. Наружная кромка пластины жестко заделана, отверстие кольца содержит твердое включение (показано иа рис. 2.5). К твердому включению приложен момент, который стремится повернуть его вокруг диаметра и вывести из плоскости пластины. Для тонкой коль- ценой пластины без поверхностного нагружения, на которую действуют силы, направленные по плоскости пластины, Тимошенко и Войновский-Кригер 11959] вывели следующее уравнение относительно поперечного смещения кя '"= —" ~" й+" (-'Р+ — 'В)+"-Г (-'УИ Здесь п„пв и п,о — силы в плоскости на единицу длины.

В (2.2.23) полярный радиус и поперечное смещение приведены к безраз- х Рис. 2.5. На верхнем рисунке— вид недеформированной пластины сверху; на нижнем рисунке — де4юрмироваииое состояние. вая достигает кривой Г, величина с)п/с)х равна приближенно — оо. В точке Р, имеем сЬ/дх=-О. Поскольку вдали от кривой Г величина гЬ/г)х равна приближенно ~ со, то интегральная кривая стремится отслеживать кривую Г, не отходя от нее, до тех пор пока не достигнет окрестности точки Р,.

В этой точке интегральная кривая сворачивает почти вертикально вверх до пересечения с кривой Г в точке Р,. Поскольку вдали от кривой Г имеем с)о/г1х ян -Р со, то интегральная кривая отслеживает по часовой стрелке кривую Г, оставаясь над ней до некоторой окрестности точки Р„ где она почти вертикально поворачивает вниз до пересечения с кривой Г в точке Р,. Затем она отслеживает путь от Р, до Р,. Поэтому предел периодического решения при е- О состоит из дуг Р,Р, и Р,Р, кривой Г и двух вертикальных отрезков Р,Р, и Р,Рвы Таким образом, предельное решение при е- О удовлетворяет уравнению Г(и', и)=О всюду, за исключением некоторых точек, в которых функция р= и' имеет скачкообразный разрыв.

л.л. Малый иараииир лри аварией лраиаводюй йт мерному виду н измеряются в единицах внешнего радиуса г„ и толщины пластины Ь соответственно. )Кесткость на изгиб задается формулой В=ЕЙ'112(1 — ч'), где Š— модуль Юнга, ч— коэффициент Пуассона. Относительно сил в плоскости пластины предположим, что они создают начальное равномерное радиальное предварительное напряжение и достаточно велики, чтобы их можно было считать постоянными величинами при последующем поперечном движении (т.

е. п, = пв — постоянны, л,з = 0). Таким образом, уравнение (2.2.23) сводится к виду е'Ч'ит — Чает = О, (2.2.24) где Пользуясь рис. 2.5, можно выписать следующие граничные условия: та=Ьасозб, — =асозй при ды дг ды ат= — =О при г=1.

дГ г=Ь, (2.2.25) (2.2.26) ат = и (г) соз 8. (2.2.27) Тогда будем иметь эйли ! йи из — ( — + — — — — т! - О, (2.2. 28) (йта т йт тат' и(Ь) =Ь, й(Ь) =а, и(1)=0, — „(1)=0. (2.2.30) При е- 0 уравнение (2.2.28) сводится к виду йаи ! йи и — + — — — =О, йта+г йт та (2.2.31) который представляет собой уравнение второго порядка. Поэтому его решения не могут удовлетворить четырем граничным усло- Здесь а предполагается настолько малым, чтобы з1п ст ж и, и Ь = г,/г„где г,— радиус твердого включения.

Граничные условия (2.2.25) и (2.2.26) подсказывают решение вида 48 Гв. е. Прение роолоисении и ивеоочниви неравномерности виям (2.2.29) и (2.2.30), и, следовательно, два из них должны быть опущены. Пытаясь построить прямое разложение вида ~в и = ~ч~, 'вни (г) в=о (2.2.32) мы обнаружим, что каждое ин удовлетворяет уравнению (2.2.31). Следовательно, разложение (2.2.32) не является пригодным для всех г из отрезка [Ь, 1].

В и. 4.1.5 с помошью метода сращивания асимптотических разложений получено равномерно пригодное разложение. 2.3. Изменение типа дифференциального уравнения в частных производных 2.8ни Простой пример Рассмотрим следующую задачу Дирихле относительно функции ер(х, у, а): (2.3.1) (2.3.2) (2.3.3) (2.3.4) (2.3.5) Р..+ Р„„-Р„=О, О~х, у~1, ер(0, у) =а(у), ер(х, 0)= — Ь(х), ер(1, у) =-с(у), ер (х. 1) =е((к). При е ~ 0 эта задача является корректно поставленной и допус- кает единственное решение. Однако при е =-0 (2.3.1) сведется к уравнению Ч вЂ” ер„= О, (2.3.6) которое является параболическим (уравнением диффузии).

Решение уравнения (2,3.6), вообще говоря, не может удовлетворить всем граничным условиям (2.3.2) — (2.3.5), и одно из них должно быть опущено. Из рассмотрений п. 4.1.2 следует, что нужно опустить условие (2.3.5), и тогда полученное решение окажется В зависимости от типа дифференциального уравнения в частных производных для корректной постановки задачи требуются те или иные граничные и начальные условия. Если исходное уравнение при нулевом значении малого параметра меняет свой тип, становясь, скажем, из эллиптического параболическим или гиперболическим, то могут возникнуть трудности. Этот класс задач можно рассматривать как подкласс задач, которые обсуждались в п.

2.2.1 — 2.2.4. Ниже мы опии|ем два примера, а также трудности, которые возникают при разложении в одном из них. 2.а. Иамененне типа дпФФеренциальноео уроененил 49 непригодным вблизи у = 1. Можно предположить, что при малом а решение редуцированного уравнения близко к точному решению всюду, за исключением узкой области возле у=1, в которой последнее быстро меняется и успевает удовлетворить опущенному граничному условию.

Следует отметить, что сингулярная природа задачи зависит не только от изменения типа уравнения, но также и от заданной области, в которой получено решение. Хотя решение уравнения (2.3.1) в области 0(х, у(1 я не стремится равномерно к решению уравнения (2.3.6), в верхней полуплоскости решение (2.3.1) равномерна стремится к решению (2.3.6). Далее рассмотрен пример, в котором изменение типа уравнения не приводит к неравномерностям.

2.3.2. Длинные волны ни поверхности льнккостн, стскаощс» ПО НИИЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ В этом пункте мы рассмотрим различные характеристики волн на поверхности жидкой пленки, стекающей вниз по наклонной плоскости (рис. 2.6). Этот довольно сложный пример рассмат- Рис. 2.6. ривается здесь потому, что он иллюстрирует общую методику для длинных нелинейных диспергирующих волн. Течение описывается уравнениями Навье — Стокса до ('.Ь =+==О, дл ду дй -дй -дй ! др =+и=+о== — — =+дз1п 6+чтец, (2.3.8) д! дл ду Р дй до " до " до ! др =+ и — „+о — „= — — — дсозО+ т~ьп. (2.3.9) ду дх ду Р ду Здесь и и о †компонен скорости по направлениям х и у, р— давление жидкости,! †вре, р и о в плотность жидкости и кинематическая вязкость соответственно.

На поверхности раздела Бо Гл. л. Г/рнмеее аазлолееннл и неенаеникн нераеномерноети жидкость — твердое тело обе компоненты скорости исчезают, т. е. и=о=О при у=О. (2.3. 10) Если поверхность жидкости гладкая (т. е. волны отсутствуют), то существует следующее ламинарное установившееся решение: (./=~~ (2й,у — у'), У=О, (2.3.11) Р р русов О(у й ). В этом решении использовано граничное условие ди/ду=О при у=-Ье (т. е. сдвиг отсутствует). Далее мы рассмотрим возмущения в этой картине установившегося течения.

Введем безразмерные величины следующими соотношениями: а=/те/1, й=й/й„у=у/й„х=х/1, (/ =("//(/ы и+(/ =й/(/тл о о/а(/, (2.3.12) / = Й/~/1, Р = Р/раей, з(п О, р+ Р = р/руд, з1п О. Здесь (/ь=ййеез1пО/2т, 1 — хаРактеРнаЯ длина волн, а — безРазмерная величина, количественно описывающая глубину жидкости. Подставив (2.3.12) в уравнения (2.3.7) — (2.3,9) и используя (2.3.11), получим следующие уравнения для безразмерных возмущений: и„+о„=О, (2.3.13) и, +(и+ 1/) и„+о(и„+(/') = — ф+ — (и +аеи„„), (2.3.14) оу+(и+(/)ел+вон= ерт+ (отт+а олл)г (2 3 16) где /т=-(/, Ь/т — число Рейнольдса жидкой пленки, (/=2у — у', а штрих означает дифференцирование по у. Уравнение (2.3.13) может быть решено введением функции тока ф(х, у, 1), такой, что (и, о) =(ф„, — ф„).

Тогда уравнения (2.3.14) и (2.3.15) можно будет объединить соотношением ф„„„= а/7 [ф„„, + ((/+ ф„) ф „— ((/" + ф„~) ф„) — 2аеф„„„„+ +аей[ф„„,+((/+ф„)ф„„„— ф„ф„„„] — афл„„„. (23.16) Уравнение (2.3.16) должно быть дополнено граничными условиями. Из (2.3.10) имеем условие на поверхности раздела твер- 2.а. Изменение мини дибкдеренииивьного уравнения 51 дое тело — жидкость зри (х, О, 1) = ф(х, О, 1) = О.

(2.3.17) На свободной поверхности нормальная составляющая скорости жидкости равна скорости самой поверхности раздела, т. е. Ьв+(Е/+з)„)Ь +Фв=-О при у=Ь(х). (2.3.18) Наконец, из непрерывности нормального напряжения на этой свободной поверхности следует ! (Ь 1) с! 8 Тйв» аве«! 2 Изи — аьрзя) Э» (1+ азая)'" 1+ аз»'„ 1 — заз — 2азр„"= О при у =-Ь. (2.3.20) и 1+ааааа Здесь Р„, согласно (2.3.14), имеет вид 1 1 1 Р.= —, — ф„—,' Я [ф,в+((7+ф„И.„— ((7'+ф ) М+ —, ф. (2.3.21) и принято обозначение о Т=— =ру1з где о — поверхностное натяжение жидкости. Прн выводе уравнения, описывающего безразмерное изменение возмущенной поверхности, мы будем следовать Бенни [1965а)'): сначала найдем разложение по степеням а для возмущенного решения задачи (2.3.!6), (2.3.17), (2.3.19) †(2.3.21) и затем подставим это разложение для тр в (2.3.18).