1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (Найфэ - Введение в методы возмущений), страница 3

Следующие два примера иллюстрируют сказанное. Н !.1. Алгебраическое ураакенке Рассмотрим сначала решение алгебраического уравнения и=!+еи' (!.1.2) при малом е. Для е='О имеем и=1. Пусть е мало и отлично от нуля. Положим и=1+еи, +е'и,+е'и,+..., (!.1.3) Тогда (1.1.2) принимает еид еи, +е'и,+е'и,+... =-е(1+ги, +е'и, +е'и,-(-...)'. (1.1.4) Проведя в (1.1.4) разложение при малом е, получим еи,-!-е'и,+е'и,+... =е(1+Зеи,+Зе'(и,+и',)+...1.

(1.1.5) Сгруппировав коэффициенты при одинаковых степенях е, будем иметь е(и,— 1) +ел(и — Зи,)-1-е*(и,— Зи,— Зи!)+. „, =О. (1.1.6) Поскольку это уравнение выполняетоя тождественно по е, коэффициент при каждой степени е обращается в нуль независимо. 1.1. Веляущенал пе параметру Таким образом, и,— 1=0, и,— Зн, =О, и,— Зи,— Зие,=О. Решением уравнения (1.1.7) является и, =1. (1.1.10) Тогда решением (1.1.8) будет и,=Зи, =3, а решением (1.1.9) (1.1.11) ие = Зия+ Зи,'=- 12.

Следовательно, (1.1.3) принимает вид и =1 ).а+Зле+ 12ее+..., (1.1.12) (1.1.13) где многоточием заменены все члены, содержащие е" при п~4. Таким образом, (1.1.13) является аппроксимацией решения урав- нения (1.1.2), которое равно 1 при а =О. Ккх. Осннллятор Влн-лер-Паля В качестве второго примера рассмотрим уравнение Ван-дерПоля (1922) „—,+и=а(1 — ил) — „ (1.1.14) общее решение которого имеет вид и = и соз (1+ <р), (1.1.16) где а и ~р — постоянные.

Дпя определения лучшего приближения к решению уравнения (1.1.14) будем искать возмущенное разложение вида и (1; е) = и,(1) + ли, (1) + е ия (1) +..., (1.1.17) где многоточие заменяет слагаемые, пропорциональные степеням е, большим двух. Подставляя зто разложение в (1.1.14), будем иметь = е (1 — (и + еи, + ения +... ) я] ~ — „" + е — „'+ е' — ' +... ~ . (1.1. 18) для малого е. При е=О оно сводится к уравнению —,+и=О, (1.1.15) 12 Проведя разложение для малых е, получим (1.1.19) для коэффициентов при е (1.1.21) для коэффициентов при е' а а~ — +и =(1 — и ) — — 2и и — —. ли~ дйе ши а — о ш о! (1.1,22) Заметим, что уравнение (1.1.20) совпадает с (1.1.15) и его общее решение имеет вид (1.1.16), т. е.

и, = а соз (1 + ф). (1. 1. 23) Подставляя в (1.1.21) выражение для и„получаем — „,'+ и, = — [! — а'соз' (1+ф)] аз!и (1+ф). Используя тригонометрическое тождество соз'(1+ф) э!п(1+ф) = ( +~1 ~ ( +ф», перепишем зто уравнение в виде Я+и, =" 4~'з!п(1+ф)+ —,' а з)пз(1+ф). (1.1.24) Частным решением его является функция аз — 4а 1 В 1соз(1+ф) Зза з1" З(1+ф)' (1'1'25 Коль скоро известны и, и и„известна и правая часть уравнения (1.1.22), и его аналогичным образом можно разрешить относительно и,.

Вопрос о том, насколько полезно полученное таким образом разложение, является предметом изучения этой книги. Поскольку и„не зависит от е и (1.1.19) справедливо для всех достаточно малых значений а, коэффициенты при одинаковых степенях е в обеих частях этого уравнения должны быть равны. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е в обеих частях (1.1. 19), получим: для коэффициентов при е' — '+и,=0 Лэиа (1.1.20) 1З д2. Вознуи1енил ао координате 1.2. Возмущения по координате Пусть некоторая физическая задача математически описывается дифференциальным уравнением !.(а, х) =0 с граничным условием В(а) = О, где х — скаляр, и пусть известен вид и, решения и при х — х, (х, можно сделать равным 0 илн оо).

Тогда можно попытаться найти отклонение функции и от а, для х, близких к х„раскладывая это отклонение по степеням х при х,=0 или по степеням х-' при х,—.оо. Эта техника демонстрируется на следующих двух примерам. 1дь1. уралненне Бесселя нуленого порядка Мы будем рассматривать решение уравнения длу ду х —, + — + ху = О. (1.2.!) Это уравнение имеет регулярную особую точку х=О, что наводит на мысль искать решение у в виде степенного ряда, используя метод Фробениуса (например, Айне !1920, раздел 1б.1]).

Полагаем, таким образом, у= хчн а„хн+'", (1.2.2) где число р и коэффициенты а должны быть определены так, чтобы (1.2.2) было решением уравнения (1.2.1). Подстановка (1.2.2) в (1.2.!) дает ((л ! и)(е ! и 1)а хи+т-1 ~=о + ~ (р-1-и)а хи+ -'+ ~ а„хн '" ' =О, т=о или ~ (р+и)'а„хн+ -'+ ~, 'а„хн+ +'=О, (1.2.3) т=о т=о что можно записать в виде Рла„хо-'+(Р+1)'а,хн+ ~(Р+и)'а хн+ -~+ ~оа хн+т+'=О. тса т=о Гл. 1. Вледеюе Заменив в первой сумме индекс т на т+2, можем переписать это уравнение в виде рва,хк-г 1 (р+(ра,хк 1 ~ ((р+т+2)~а,„„+а ) хи+ +~ — О из= О (! .2.4) Поскольку (1.2.4) является тождеством по х, козффициент при каждой степени х должен обратиться в нуль независимо, т.

е. Р'ао =. О (1.2.5) (р+1) а,=о, (1.2.6) (р+т+2)'а,„„,+а„=0, т=-О, 1, 2, .... (1.2.7) Если положить а,~О, то из первого уравнения следует р — -0; тогда (1.2.6) дает а, =О, а из (1.2.7) следует а„„= —. ",, т=О, 1, 2, .... (12,8) ~в+3 1 +2)2 э Следова~ельн~, а, „., = О, т = 1, 2, 3, ..., а6 ло а~ ~я * ае=22 4и а.= — з..4, а,, л чо а„, = — ( — 1) (1.2.9) При а, =.

1 полученное решение представляет собой функцию Ьесселя нулевого порядка и часто обозначается через l,(х). Таким образом, х' к' л~ хан е ( ) — ~я + 22.,Р 2в. 4мба + ' + ( ) 2з 4а 6~ ... (зи)я (1.2.10) Поскольку отношение и-го члена к (и — 1)-му равно — х'/(2и)' и стремится к нулю при п — оч для всех значений х, ряд (1.2.10) для функции,1,(х) сходится равномерно и абсолютно при всех значениях х. В п. 7.1,2 получено разложение 1,(х), справедливое для больших значений х; в в 1.5 оно сравнйвается с разложением, полученным вМше.

дд. Символы порядка и калиароеочпые !Ьуикнаи 1.2.2. Простой нрннер В качестве второго примера мы рассмотрим решение уравнения — +у Иу ! дх х (1.2.11) при больших х. Будем искать это решение при болыпих х в виде (1.2.12) у= чР а х ". ы=! Подстановка этого разложения в (1.2.11) дает ,~' — таых-"-'+ ~ а х-"+(а,— 1)х-'.=О.

(1.2.13) ы=! ™ ы=т Заменив во второй сумме индекс т на т-(-1, можем переписать это уравнение в виде (а,— 1)х '+,х (а„+,— таы)х '" '=О. (!.2.14) ы=! Следовательно, а,=1, а,=21, ах 3 ! а ( и 1 ) ! н (1.2.!2) принимает вид 1 1! 2! 3! (и — !)! у= — + — + — + — + ° ° + — + х хя хт х4 ''' хп (1.2,16) Поскольку отношение и-го к (п — 1)-му члену равно (и — 1) х-' и стремится к бесконечности при и — оо независимо от значения х, то ряд (1.2.16) расходится при всех значениях х. В $1.4 показано, что, несмотря на расходимость, этот ряд оказывается полезным для численных расчетов; он носит название асимлтотичеакого ряда.

1.3. Символы порядка и калибровочные функции Предположим, что мы интересуемся функцией единственного вещественного параметра а, которую будем обозначать ~(а). Прн выводе аппроксимаций нас будет интересовать предел )(в) при н, Полученное уравнение является тождеством по х, поэтому коэффициент при каждом х-ы должен обратиться в нуль независимо, т.

е. а, = 1, аы+, — — та„для т ) 1. (1.2. Рй) 16 Гм д Веедениг стремящемся к нулю, что будем обозначать как е — О. Этот предел может зависеть от того, стремится ли е к нулю снизу, что обозначаем как е10, илн сверху, е)О. Если предел функции [(е) существует (т. е. у нее нет существенных особенностей при а=О, таких, как у функции япе '), то имеет место одна из трех возможностей: [(е)-О [(е)- А при е — О, О< А < ао. (1.3.1) [ (е)- В первом и последнем случаях скорости сходимости 1(е) О и ~(е) оо оцениваются сравнением 1(е) с известными функциями, которые называются калибровочными функциями.

Простейшими и наиболее употребительными из них являются следующие: ...,е",...,е',е',1,е,е' ...,е",... В некоторых случаях к ним должны быть добавлены функции !оде ', 1оц(1оне *), е' ', е-' ' и т. д. Другими примерами калибровочных функций являются функции япе, созе, (пе, з)ле, сне, 1Ье и т. д. При сравнении поведения функции 1(е) с калибровочной функцией д (е) при е — О используется один из двух символов Ландау: 0 или о.

Символ 0 Мы пишем (!.3.3) [(е) =0 [д(е)) при е О, (1.3.2) если существуют положительное число А, не зависящее от е, и значение е,) О, такие, что [1(е) ( ~ А (д (е) ! для всех [е [(е,. Это условие может быть заменено следующим: (1.3.4) Например, при е О имеем япе =0(е), яп 7е = 0 (е), созе =-0 (1), .~,(е) =0(1), з)ля=О(е), Же=0(е), с1(ля=О(е '), 17 ЛЮ. Символы порядка и калибровотнтке функции Если, кроме е, функция ! зависит и от другой' переменной х, а р(х, е) — калибровочная функция, то по-прежнему пишем 1(х, е) =Р!д(х, е)) при е О, (1.3.5) если существуют положительное число А, не зависящее от в, и е, > О, такие, что 17(х, е)] =.А~у(х, е)~ для всех ]е](ктк (1,35) Если А н е, не зависят от х, то говорят, что соотношение (1.3.5) выполняется равномерно.