1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (Найфэ - Введение в методы возмущений), страница 2

Они служат для выяснения качественных особенностей задач, для получения асимптотик и анализа особых точек, для построения опорных „тестовых" решений, а в ряде случаев являются также основой для разработки вычислительных методов. Книга Али Хасана Найфэ представляет собой интересную и, на наш взгляд, успешную попытку дать систематическое и полное изложение многочисленных методов малого параметра. Автор подробно описывает различные варианты методов, дает их сравнительную оценку.

Значительное место в книге занимают собственные результаты автора †известно специалиста в области асимптотических методов и их приложений. Изложение иллюстрируется большим числом задач из многих областей науки: небесной механики, гидродинамнки, газовой динамики, теории упругости, теории колебаний и волн и др. К некоторым задачам Предиоввие редактора аеревода автор обращается многократно на протяжении всей книги, применяя к ним различные методы.

Книга содержит также большое число интересных и поучительных задач, предлагаемых читателю в качестве упражнений. Стиль изложения автора можно назвать промежуточным между математическим и физическим. С одной стороны, в книге не дается строгого обоснования рассматриваемых методов 1хотя во многих случаях такие обоснования имеются), а с другой стороны, автор не обращается к физической интуиции читателя и не вникает в анализ физической сущности задач, рассматриваемых для иллюстрации асимптотических методов. Такой подход придает книге цельность, ограничивая имеющийся огромный материал, и позволяет сосредоточиться на изучении самих асимптотнческих методов, не требуя от читателя знакомства с отдельными областями физики и механики.

Книга снабжена обширной библиографией, которую мыдополнили некоторыми работами советских авторов за последние 10 — 15 лет. В авторских ссылках на книги советских авторов нами указаны последние издания. При переводе книги встретились некоторые новые термины, введенные автором, а также такие термины, для которых в русской литературе по прикладной математике используется несколько различных вариантов перевода. В этих случаях переводчики и редактор стремились не к дословной близости, а к передаче смысла оригинала. Главы 1,2,5 — 7 перевел А. А.Меликян, главы 3, 4 — А. А.Миронов. Ф.

Л. Черноусько Предисловие Многие задачи, с которыми сталкивакпся сегодня физики, инженеры и специалисты по прикладной математике, не поддаются точному решению. Среди причин, затрудняющих точное решение, можно указать, например, нелинейные уравнения движения, переменные коэффициенты и нелинейные граничные условия на известных или неизвестных границах сложной формы. Для решения подобных задач мы вынуждены пользоваться различного рода приближениями, или численными методами, или комбинацией тех и других. Среди приближенных методов основными являются методы возмущений (асимптотических разложений) по большим или малым значениям параметра или координаты.

Настоящая книга посвящена описанию этих методов. В соответствии с методами возмущений решение задачи представляется несколькими (обычно двумя) первыми членами возмущенного разложения. Для качественного и количественного представления решения возмущенные разложения, даже если они расходятся, могут оказаться более полезными, чем равномерно и абсолютно сходящиеся разложения. Прямые, непосредственные разложения по степеням параметра имеют, как правило, ограниченные области пригодности и нарушаются в некоторых областях, называемых областями неравномерности. Для приведения этих разложений к равномерно пригодному виду исследователи, работающие в различных областях физики, техники и прикладной математики, разработали ряд методов. Некоторые из этих методов между собой совершенно несхожи, другие являются различными интерпретациями одной и той же основной идеи. Цель настоящей книги †рассмотре некоторые из упомянутых методов, выявить их сходства и различия, преимущества и ограничения.

Для описания различных методов сначала используются примеры с модельными простыми обыкновенными уравнениями, которые могут быть точно решены, затем, по мере усложнения, рассматриваются примеры с дифференциальными уравнениями в частных производных. Примеры взяты из разных областей физики и техники. Каждому примеру предпослано краткое физическое описание задачи. Различные методы описаны как формальные процедуры, без попытки строгого их обоснования. Разложения, полученные для Преднгенеие некоторых сложных примеров, рассмотренных в данной книге, еще не имеют на самом деле строгого математического обоснования.

В конце каждой главы даются упражнения, которые расположены в порядке возрастающей сложности и снабжены дополнительными ссылками. От читателя не требуется понимания физической сути примеров, используемых для описания методов. Предполагается, однако, что он знаком с основами анализа, а также с элементарными свойствами дифференциальных уравнений — обыкновенных и в частных производных. Глава 1 содержит обозначения, определения и действия над асимптотическими разложениями. Источники неравномерности в разложениях возмущения классифицированы и рассмотрены в главе 2.

Глава 3 посвящена методу координатных преобразований, в котором равномерность достигается путем разложения как зависимой, так и независимой переменных в ряды по новым независимым параметрам. В главе 4 описываются метод сращивания асимптотических разложений и метод составных асимптотических разложений. Первый метод позволяет выразить решение с помощью нескольких разложений, пригодных в различных областях и согласованных между собой с помощью процедуры сращивания; второй метод представляет решение в виде единственного всюду пригодного разложения. В главе 5 для исследования медленных изменений амплитуд и фаз слабо нелинейных воли и колебаний используются понятия быстрых и медленных переменных в сочетании с методом вариации произвольных постоянных. Методы глав 3, 4 и 5 обобщены в главе б и объединены в одну из трех разновидностей метода многих масштабов.

В главе 7 рассмотрены существующие методы построения асимптотических решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Первые слова благодарности я обязан сказать доктору В. С. Саику и моим братьям — д-ру Аднану Найфэ и Муниру Найфэ— а обсуждения и поддержку в процессе написания этой книги. За плодотворные обсуждения и критику я обязан также некоторым своим коллегам, в частности д-рам Д. Т.

Муку, Д. П. Телионису, А. А. Кемелу и Б. Х. Стефану, а также О. Р. Асфару и М. С. Цею. Эта книга не была бы написана, если бы не терпение и поддержка моей жены и настойчивость моих родителей Хасана и Хадры, которые, будучи неграмотными, настояли на том, чтобы я получил высшее образование. Поэтому я посвящаю эту книгу моим родителям и жене. Али Хасан Найфз Блэасвург, Бнргнннн май !йуа г. ГЛАВА ! Введение Большинство физических задач, с которыми сталкиваются сегодня инженеры, физики и специалисты в области прикладной математики, обнаруживает ряд существенных особенностей, которые не позволяют получать точные аналитические решения.

Такими особенностями являются, например, нелинейности, переменные коэффициенты, границы сложной формы и нелинейные граничные условия на известных или, в некоторых случаях, неизвестных границах. Если даже точное решение некоторой задачи явно найдено, оно может оказаться бесполезным для математической и физической интерпретаций или численных расчетов. Примерами таких задач являются функции Бесселя большого порядка прн больших значениях аргумента и двоякопериодические функции. Таким образом, для получения информации о решениях уравнений мы вынуждены прибегнуть к аппроксимациям, численным решениям или к сочетанию этих двух методов.

Среди приближенных методов прежде всего следует назвать асимптотические методы возмущений, которые и являются предметом этой книги. Согласно этим методикам, решение представляется несколькими первыми членами асимптотического разложения, число которых обычно не превышает двух. Разложения могут проводиться по большому или малому параметру, который естественно возникает в уравнениях или вводится искусственно для удобства.

Такие разложения называются возмущениями по ларамегиру. С другой стороны, разложения могут быть проведены по координатам для больших или малых значений; в этом случае они называются возмущениями по коордмналим. Примеры разложений по параметру и координате и их существенные характеристики даны в й 1.! и 1.2. Для формализации понятий пределов, оценок погрешности в $!.3 введены определения символов порядка и другие обозначения. Параграф 1.4 содержит определения асимптотического разложения, асимптотической последовательности и степенного ряда; в $1.5 дается сравнение сходящегося и асимптотического рядов. Затем, в Э 1.6 определены равномерные и неравномерные асимптотические разложения. Краткая сводка операций над асимптотическими разложениями дана в $1.7.

Гл. А Владение !.1. Возмущения по параметру Математическая формулировка многих физических задач, в которых встречается функция вида и(х, е), может быть дана с помощью дифференциального уравнения Е(и, х, е)=-О с граничным условием В (и, е) =О, где х — скалярная или векторная независимая переменная, а е — параметр. Такая задача, вообще говоря, не может быть решена точно. Однако если существует е =-е, (выбором отсчета е можно добиться е,=О), для которого выше. упомянутая задача решается точно нли сравнительно легко, то для малых е можно искать решение, скажем, в виде разложения по степеням е, т.

е. в виде и(х; е)=и,(х)+еи,(х)+е'и,(х)+..., (1.1.1) где и„не зависит от е, а и,(х) — решение задачи при е=О. Это разложение можно подставить затем в равенства й(и„х, е) =О н В(и, е)=О, разложить их для малых е н сгруппировать коэффициенты при каждой степени е. Поскольку эти уравнения должны удовлетворяться для всех значений е и последовательность степеней е линейно независима, коэффициент при каждой степени е обращается в нуль независимо. При этом обычно получаются простые уравнения относительно и„, которые последовательно решаются.