1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (Найфэ - Введение в методы возмущений), страница 4

Например, з!п(х+е)=0(!) =-Р (з!п(х)] равномерно') при е — О, в то время как еты — 1 =Р(е) неравномерно при е- О, )/х+е — ]" х=Р(е) неравномерно при е- О. Символ о Мы пишем )(е)=о[у(е)] при е О, (1.3.7) если для каждого положительного числа 6, не зависящего от е, существует е„> О, такое, что ]7(е)](6)д(е)] для 1е1(е,. (1.3.8) Это условие может быть заменено следующим: (1.3.9) Таким образом, имеем при е О з!и е =о(!), з!пят =о(н), созе =о(е-'тт), ), (е) =о(е '), с!11е=о(е-зтт), с(де=о]е-<к+мук] для положительных а, ! — созЗе=о(е], ехр( — е ') =о(в") для всех н. Если 7=7'(х, е) и д=д(х, е), то говорят, что (1.3.7) выполняется равномерно, если б и е, не зависят от х. Например, з(п(х+е) =о(е" ыз) равномерно при е О, в то время как е-ы — ! =о(еьы) неравномерно прн е- О, у'х+е — у'х=о(е" ° ) неравномерно прн в О.

'1 Второе нз прнведенных соотнотпеннй выполняется рзвномерно по х ллв интервалов нзменвння к, в которых з!п к ~ О.— Пршн. ред. !в Гл. А Введение 1.4. Асимптотические разложения и последовательности 1.4.1. Аснмптатачехппе ради Мы установили в п. 1.2,2, что частным решением уравнения йр 1 йх+у х (1.4.1) является ряд х+ х'+ хт х'+ '+ .т" 1 !! 21 3! (и†1)! который расходится для всех значений к. Чтобы выяснить, насколько этот ряд может оказаться полезным при вычислении частного решения нашего уравнения, определим остаток при усечении ряда на и-м члене.

Для этого заметим, что частное решение дифференциального уравнения задается интегралом к у=е " ) х-'екв(х, (1.4.3) сходяшимся при отрицательных х. Интегрируя (1.4.3) по частям, получим 1 у +е-х ( х-тек !(х + + 2е-к~ х-веке(х х х хт + ) 1 31е-к ) х-вехах 1 1 2 хт хт = — + —,+ —,+ — +... + +и!е " х " 'екг(х (1А.4) 1 11 2! 31 (п — 1)! Следователыю, если мы усечем ряд на л-м члене, то остаток как функция и и х будет иметь вид Я К„=п1е к ~ х " хек!(х.

Ф Для сходимостн ряда предел йп )г„должен равняться нулю. 6 Ю В нашем примере это не выполнено. Действительно, при и — пп имеем Я„- оп, так что ряд расходится для всех х, в согласии с тем, что мы установили в п. 1.2.2, используя другой признак сходимости. Поэтому ряд (1А:2) может оказаться полезным только дЕ. Асимптотическое разложения и псследоеотельнссти 19' при фиксированном и. Для отрицательных х имеем к ]7!,](п1]х " ']е " ~ е" с(х= — „, ° О (1,4.6) Таким образом, ошибка, связанная с усечением ряда на и-м члене, численно не превосходит первого отброшенного члена, а именно (и+1)-го. Более того, при фиксированном и н ~х~- оо имеем Й„О. Поэтому, хотя ряд (1.4.2) и расходится, для фиксированного и первые п членов ряда могут представлять у с ошибкой, которая может быть сделана произвольно малой при выборе достаточно большого значения ~х~.

Подобный ряд называется асимпп!опсаческслм рядом пшпа Пуанкаре (Пуанкаре 1!892]) и обозначается у л~и „при ) х] со. (1.4.7) о=! у ~~' — „при ]х] — оо т=о (1.4.8) тогда и только тогда, когда у= ~ч' — '„"+о()х] ") при ]х] т=о (1.4.9) Условие (!.4.9) можно переписать в виде о-1 у= ~, — "+О() х~ ") при )х] оо. т=о (1.4.10) было сде- В качестве другого примера рассмотрим, как это лано Эйлером 11754], вопрос об оценке интеграла О 1()= 1„',+,~ о (1 .4.11) для больших положительных о!. Поскольку О~ о! у ( — Вики о!+л а — — если х< со в=о (1.4.12) Вообше, для заданного ряда ~~', (ат/х ), где а не зависит т=о от х, мы говорим, что ои является асшиптопсическим рлдолс, и пишем хййе-и с(х о (1.4.13) имеем (1.4.14) й-! ю й~й ! 1)ш хй ( 1)й хй ю+х и и ю ый" а(ы+х) ' юй= о (1.4.15) Следовательно, и-! (1,4.1б) где гг'„= „, ) + с!х; ))т!„) < — „') хйе "ох = — „.

(!.4,1?) о о Итак, ошибка, обусловленная усечением ряда на и-м члене, численно не превосходит первого отброшенного члена, и мы имеем ') й-! 1 (ю) = ~~' + 0 (ю " ). (!.4.18) Поэтому ряд (1.4.14) является асимптотичесиим! й 1(го) - г„„. %.с ! — 1)й !и! т=о (1.4.!9) ') В формулах (1.4.17), (!.4.18) оригинала' имеются неточности, которые исправлены при переводе.— Прим. ред.

Поскольку отношение !и-го члена к (т — !)-му, равное — тяго-т, стремится к бесконечности при гп- оо, ряд (1.4.14) расходится для всех значений то. Чтобы выяснить, является ли ряд (1.4.!4) асимптотичесиим, вычислим остаток, получающийся при усечении ряда на п-м члене. Заметим для этого, что 1А. Аеомотооше ение роеложенил и ноеледоеотельнекти 21 Н4.2. Аснмнтотнчеекне рнэложеннн Для представления функции вовсе не обязательно использовать степенной ряд. Вместо него можно использовать последовательность функций общего вида 6„(е), если только 6„(е) =о[6„,(е)) при е — О. (1.4.20) Такая последовательность назь!вается асилллтотической последовательностью. Примерами таких асимптотических последовательностей являются е", ее(е, (1оие) ", (з(п е)' (с(ив) ".

(1.4.21) В терминах асимптотических последовательностей мы можем определить асимптотические разложения. Итак, про заданную сумму ~' а„б„(е), где а не зависит от е, а 6„(е) есть асимпе тотическая последовательность, мы говорим, что она является асил!лтотическиле разлсжениел1, и пишем Ю у ~~~ а„б„(е) при е- 0 тогда н только тогда, когда е-1 у= )' а„б (е)+0[6„(е)] при е- О.

в=о Очевидно, что асимптотический ряд есть частный случай асимптотического разложения. В качестве примера асимптотического разложения, не являющегося асимптотическим степенным рядом, мы снова рассмотрим интеграл (!.4.11). Следуя Ван-дер-Корпуту [1962], мы представим Г(в) в терминах факториальной асимптотической последовательности [(в+1)(в+2»... (в+и)) ' при в- оо. Для этого заметим, что 1 1 в+х ~о в(в+х) ! к к(х — Ц в в(в+1) в(в+ Ц(в+к) 1 х х(х — Ц х(х — Ц(х — 2) в в(в+ Ц в(в+ О(в+2) в(в+ О(в+2)(в+х) ' И вообще, е в 'Се ( — цмк(х — ц ... (х+1 — т) в+х л" ° (в+В(в+2) ... (вн т! ( — цле'х (х — ц ... (х — о) +( +Ц( + ) + . ' (1.4.25) г.два о Таким образом, если равенство (1.4.25) верно для л, то (1.4.26) устанавливает его справедливость для и+1.

Поскольку, согласно (1.4.24), равенство (1.4.25) верно для л =О, 1 и 2, оно верно и для и=3, 4, 5, .... Поэтому опо верно для всех л. Умножая (1.4.25) на ехр( — х) и интегрируя от х=-О до х==- о, получим ) (в) = Х а„б (в) + )»„( ), (1.4.27) где ав= ) х(х — 1)... (х — !л+1)е кдх, о б (в) =-( — 1)и [(в+1)(в+2)...(в+тЯ ', » о (1.4.28) (1.4.

29) (1.4.30) Поскольку в — болыпое положительное число, !к.><!».»»! ~1*»*-о...» —..»о.-*а != 1» = [а„[. [ 5„(в) [. (1.4.31) Таким образом, ошибка, связанная с тем, что мы сохраняем только л первых членов, численно не превосходит л-го члена, и, Это равенство доказывается по индукции следуюшим образом. Если (1.4.25) верно для л, то мы покажем, 'что это равенство верно и для л+1.

Для этого заметим, что в ч,» ( — 1)их(х — 1)...(х+1 — т) и»-1-х ~и (в 1-!)(в+2) ... (в+в) ( — 1)"х'х(х — 1) ... (к — и) (в+1)(в+2) ... !в+и+!) ( — !)" +'х(х — 1)... (х — и) (в+!) (в+2)... (в+ и+1)+ ( — 1)" +'х(х — !) ...

(х — и) (в+!) (в+2] ... (в+и)(в+х! ' Объединяя два последних слагаемых и распространяя суммирование до л+1, мы можем переписать это выражение в виде и+1 в ч» ( — !)вх!х — 1)... (х+1 — и») .— =~; ( !П +2)".! + ) + 4. 26 !»о+ 1) (в+2) ... (в+и+ 1) !в+к) (1. 1.4. Асимптотическое разложения и последовательности 23 следовательно, а-! Р(в) = 2~ а б (в)+0(б„(в)). т=о (1.4.32) К4.3. Единственность всимптотичесиих разложений В предыдущих двух пунктах мы показали, что имеют место соотношения те(в) ~.'„— „при в- оо (1 4.34) т=о Ф ( — 1)м ) х (х — !)... (х+! — т)е-ллх чз О (в+ В!в+и) ...

(в+в) при в- . (1.4.35) и=о Таким образом, асимптотическое представление функции ,т(в) при в- оо не единственно. В самом деле, функция )"-(в) может быть представлена бесконечным числом асимптотических разложений, поскольку существует бесконечное число асимптотических последовательностей, которые могут быть использованы для такого представления. Однако для заданной асимптотической последовательности б„(в) представление функции 7(в) с ее помощью единственно.

В этом случае имеем Ф Р(в) ~~,'е ажбж(в) при вм= О (1.4.3б) где а единственным образом определяются соотношениями 11! ) В 1!в) — ~/~1~) йе(в)' ' „„йт!в) а-1 )(в) — ~~~ ~а йм (в) гл= О ба (в) а,= !пп И"+ Ю (1.4.37) а„=- !пп Ю-~ и Поскольку б„(в) — асимптотическая последовательность при в оо, имеем )(в) аз а„б (в) при в- оо. (1.4.33) т=о Гх.

д Веедение !.5. Сравнение сходящегося н асимптотнческого рядов Мы установили в п. 1.2.1, что одно из решений уравнения Бесселя (1.5.1) задается рядом «з х' хз (-!)з хз» '(а(х) =1 зз +зз4з зз4ззз+ ° .. +зз,4з (е !з+..., (1.5 2) равномерно и абсолютно сходящимся для всех значений х.

другое представление для lз можно получить, заметив, что замена переменных у =-х-"у, (1.5. 3) преобразует уравнение (1.5.1) в (1.5.4) Прн х — оо зто уравнение стремится к виду езу (1.5.5) с решениями у =Е-". з Это наводит на мысль о преобразовании вида у, =геку„ (1 5.7) которое приводит к уравнению — +2( — + — у =О. йзфз . Нвз 1 Дхз Дх 4хз 3 (1.5е8) Заменив в этом ряду ! на — ! и комбинируя полученный ряд с исходным, получим следующие два независимых решения: уен х-з/з(исозх+оз1пх), уеи х- зез (и з(п к — о соз х), Это уравнение формально удовлетворяетсн рядом ! . !.Зз !.Зз Зз .

! Зз.зз тз Уз=- -ах! — вз 3!.хз+Зз-3!.хзз+ Зз 4!.х" +''.. ( .5.9) 1б. Нероеномернне розеонеенон где 1 Зе 1 зе зе те и = 1— зе.31.хе + зо 41 хе + 1 1-Зе.зе и= — — .+ 8х зе 31.не (1.5.!1) Используя интегральное представление пйо (х) =- ) сов (хсо50) е(6, о (1.5.!2) мы получаем связь между е',(х) и этими двумя независимыми решениями (см. п.

7.1.2): ,!е(х) — ~/ ~ [исоа ~1х — — и)+и зш (х — — 'и) ~, [1.5.13) 1.6. Неравномерные разложения В задачах с возмущениями по параметру функции, подлежащие разложению, могут зависеть' от одной нли болыпего числа переменных, не считая параметра возмущения. Если построить асимптотическое разложение функции !(х; е), где х †скалярн или векторная переменная, не зависящая от з, по асимптотической последовательности б„(е), то получим О г(х; е),~ а„(х)б„(е) при е- О.