Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И. Тихонова (2-е издание, 1980)), страница 6

Возможные аначения непрерывных случайных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток или даже всю ось. Часто встречаются случайные величины смешанного типа, которые могут и непрерывно заполнять некоторый промежуток и принимать отдельные дискретные значения. Полной статистической характеристикой одномерной случайной величины является закон распределения вероятностей.

В случае дискретной случайной величины Х под ним понимается соотношение, устанавливающее зависимость между возможнымн значениями х< дискретной случайной величины и их вероятностями р< = р(х>). Закон распределения дискретной случайной величины можно задать в различных формах; табличной (ряд распределения), графической (многоугольник распределения), аналитической (в виде формулы).

Универсальной характеристикой, одинаково пригодной как для дискретных, так и для непрерывных одномерных случайных величин, является функция распределения вероятностей Г>(х), определяющая вероятность Р того, что случайная величина Х примет значение меньше некоторого числа х; Е>(х) = Р(Х<х). (2. 1) Функцию распределения Г>(х) иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Функция распределения обладает следующими свойствами: 1. Р>( — о>) =-- Игп Р>(х) =О. х 2. Р>(+ о )= !(ш Р,(х)=1. 3. Е,(х) — неубывающая функпия, т. е. Р,(хз) > Г<(х,) при х, ) х,.

4, Р(«, --. Х ( х,) = Р>(хз) — Р>(х,). (2.2) Функция распределения дискретной случзйной величины представляет собой ступенчатую функцию со скачками в точках х>, хз, ... (рис. 2.1, а), функция распределения непрерывной случайной велйчииы — непрерывную функцию (рис. 2.1, б) и функция распределения смешанной случайной величины — кусочно-непрерывную функцию с ие более чем счетным числом скзчков (рис. 2.1, в). В прикладных задачах предполагают, что функции распределения непрерывных случайных величин дифференпируемы во всей области возможных значений случайных величин.

При таком предположении непрерывная случайная величина Х чаще всего описывается плотностью распределения вероятности р>(х), которая иногда называется дифференциальным законом распределения или дифференциальной функцией распределения. Плотность вероятности определяется как производная функции распределения: р<(х) = <(Р>(х))/<(х. (2.3) Плотность вероятности обладает следующими основными свойствами: 1. Плотность вероятности иеотрицательна, т. е. Р,(х) > О. 26 0 хг лг хз гт х лг <улг гз а') вг Ю) Рис 2.1 Функция распределения дискретной (а), непрерывной (б) и смешанной (в) случайных величин 2.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал (хз, хз) равна интегралу от плотности вероятности в этих пределах: «> Р(х, < Х < х,) =) р,(х) <(«=Р>(х,) — Р,(х>) . (2,4) х> 3. Интеграл в бесконечных пределах от функции р>(х) равен единице (условие нормировки): р,(х) <(х= 1.

(2 .5) Очень важное практическое значение имеет гауссовская (нормальная) плотность вероятности р< (х), которая имеет вид 1 1 (х — т)з! р,(х) = = ехр ~— а)><2п 1 2а' (2.6) мли р ( рз (« — т)з р,(х) = — ехр ~— '1 (2.7) Р(и < Х < 6) =Ф( — ) — Ф( ), (2.8) 1 Ф(г) == е «'(з<(х, Ф( — г) = 1 — Ф(г) )>>2я,) табулироваиный интеграл вероятности. Значения Ф (г) приведены в приложении П. где т — математическое ожидание (среднее значение) случайной величины Х, аг = В(Х) .= ))« — дисперсия, а = + )><)) — среднее квадратическое (стандартное) отклонение, Е = ра'1<'2 — вероятное (срединное) отклонение Х; р = 0,476936... При гауссовском распределении вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (а, ()) г>+ е 6(г — гр)г)г=-! прн любом е ) О, г> — в г,+е )(г) 6(г — г,) >)г = Дг,), (2.1!) »,-е »,-1-е 6(г — г,) >(г- ~ 6(г — ге) >)г=- е > О.

2 В табл. 2.1 приведен ряд законов распределения дискретной случайной величины н соответствующие им характеристические функции В! ()о), а также графики законов распределения прн различных значениях параметров распределений. Аналогичные данные по законам распределения непрерывных случайных величин представлены в табл.

2.2 [1,5 — 15). Во многих практических задачах трудно или даже невозможно полностью определить функцию распределения случайной величины. Иногда в этом н нет необходимости. В таких случаях полное описание случайной величины при помощи закона распределения может быть заменено указанием отдельных параметров (числовых характеристик) этого распределения. Наиболее важными числовыми характеристиками случайной величины Х являются математическое ожидание М(Х) = ш» и дисперсия В(Х) = =- Ох =- а,. Для дискретной случайной величины Х математическое ожидание е ш»=М(Х) =- ~ х! р! (2.12) Если Х вЂ” непрерывная случайная величина с плотностью вероятности р,(х), то (2. 13) тх= ) хр,(х) ах. Формулы для дисперсии соответственно имеют вид: з с!а =М[(Х вЂ” тх)з) = М(Х>з) =- ~~~~ ~(х>»!») р!> г=! (2.

И) а» = ) (х — т„)з рг(х) >(х, (2. 16) где Х, = Х вЂ” т„— центрированная случайная величина, т. е. отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания. 28 Для дискретной случайной величины плотность вероятности » р,(х) = ~ЧР~ ргб(х — »!), (2 .!О) !=! где х! — возможные значения случайной величины Х, р; — вероятности воз- можных значений х!, 6(г — г>) — дельта-функция (импульсная функция, функция Дирака). Дельта-функцня обладает следующими свойствамн; ! оз при г=-г>, 6(г — г,) =- ! 0 прн гзьге, Математическое ожидание определяет абсциссу центра тяжести кривой распределения, а дисперсия — рассеивание (разброс) случайной величины относительно ее математического ожидания.

Рассеивание случайной величи ны часто характеризуют средним квадратическим отклонением а» =-3''с4. (2.10) Кроме математического ожидания, в качестве харакгеристнк положения случайной величины применяюгся иногда медиана и мода. Медианой М е [иначе срединным или вероягным значением) называется такое значение случайной величины Х, при котором Р(Х ( М») = Р( Х ) Ме) = 1!2.

(2 1У) Для непрерывной случайной величины Х медиана находится нз условия Е,(Ме) 1/2 или ) РН»)ах 1 рг(х)дх. м е Для дискретных случайных величин медиана определяется неоднозначно. и практически не употребляется. Модой М (наивероятнейшнм значением) называется такое значение. случайной величины Х, для которого в случае дискретного распределения вероятность Р(Х = М), а в случае непрерывного распределения плотность вероятности рг(М) имеют наибольшее значение.

Если максимум один, то распределение называется одномодальным (унимодальным), а если несколько— то многомодальным (полимодальным, мультимодальным). При описании непрерывного распределения используют иногда квантили. Квантилем, отвечающим заданному уровню вероятности р, называ. ется такое значение х = хр, при котором функция распределения Ез(х) при. пинает значение, равное р: Е,(хр) =. р. (2.18) Общимн числовыми характеристиками случайной величины являются моменты и энтропия (см. гл. 17 и 18), которые представляют собой неслучайные величины (числа). Характерно, что моменты более низкого порядна несут в себе больше сведений о случайной величине, чем моменты более иысокого порядка.

Моменгом й-го порядка случайной величины Х относительно про. извольной точки и называется математическое ожидание величины (Х вЂ” а)": ть(а) = М(Х вЂ” а)ь. (2.19) Момент, рассматриваемый относительно начала ноординат (а = 0), называется начальным, а относительно математического ожидания (а = т„) — центральным. В некоторых случаях используются абсолютные н факторнальные мо менты, которые соответственно определяются формуламн: [)ь(а) М()Х вЂ” а[е), (2.20) т!ь)(а) = М ([ Х вЂ” а)(а!) (2.21) где г! ! = г(г — 1)(г — 2) ...

(г — й -[- 1). С помощью факторнальных моментов можно в более компактном виде записать моменты некоторых дискретных распределений (типа биномиального) н, кроме того, в задачах определенного класса, включающих дискретные случайные величины, часто удобно находить начальные моменты ть, предварительно вычислив факториальные. ротной случайной величины Закон распределения Определяющие параметры График закона распределения й =0,1,2... ппп (М, п) Р г е.ввув* Рл(а! л 10 р 44 п,р в ге ввув» г=) Рлга) г)г л-е П1 4. Пуассона й=О, 1,2, е Д!е)п — ) ) егр ветел 1. Гипергеометри- ческий 2.