Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И. Тихонова (2-е издание, 1980)), страница 8

„яс,с,сси ! сси я <2.ЗП тс = х„т, = ху+ к',, ти = хи + Зхс х, + х,', т,=хс+4кс хи-1-Зк,'+бхс хи+кис хи =т,, ки — — ту — т,', хи=та — Зт, т,+2тз, (2.33! хс тс 4т ти Зтс ! !2ти т,бтс В формулах (2.28) н (2.29) предполагается, что возможные значения слу- чайной величины отличаются на единицу. В случае аналитического задания закона распределения (в виде формулы) определение моментов сводится к вычислению соответствующих сумм и инте- гралов (см.

табл. 2.3). Расчет моментов упрощается, если воспользоваться аппаратом характеристических функций. Характеристическая функция 8с(/о) определяется как математическое ожидание случайной величины еур", т, е. где о — вещественная величина, [ = [с — !. Используя представление плотности вероятности рс(х) в виде суммы дельта-функций, формулу (2.34) можно распространить на дискретные случайные величи ыс где хс — возможные значения случайной величины Х, рс = Р(Х = хс)— соответствующие нм вероятности. Плотность вероятности р,(х) однозначно выражается через характеристи.

ческую функцию: Из (2.34) видно, что при изменении знака у показателя экспоненты определение характеристической фуниции совпадает с определением спектральной функции, Поэтому для нахождения 8с(/о) по известной плотности р <х) р,х или р,(х) по 8с([о) можно пользоваться таблицами преобразований по фурье <или по Лапласу с учетом пределов интегрирования!. Для определения моментов ти случайной величины Х нужно вычислить й-ю производную от характеристической функции по параметру о н положить о= Ос Семиинварианты хь определяются из соотношения ки !п 8, (!'о! = — <<о)а.

<2. 38) и= Вместо характеристических функций 8,(<о) часто используются так называемые производящие функции [1Π— 12): Рис 2.2 Взаимно-однозначное функциональное преобразование; и ирямия функции. б — рбоятиая бсуяиция Существенное различие между ними состоит в том, что хараитеристическая функция существует всегда, а производящая функция — только в случае существования всех моментов, В табл. 2.4 приведены формулы для основных числовых характеристик дискретных законов распределения, а в табл.

2.5 — для наиболее распространенных непрерывных законов распределения [1, 4 — !6). Во многих инженерных вероятностных расчетах, например при изучении прохождения случайных сигналов через линейные н нелинейные системы (см. гл. 10 — 12), часто требуется определить плотность вероятности рс(у) случайной величины у по известной плотности вероятности ус(х) случайной величины Х и известной функциональной связи У=У(Х) случайных величии У и Х.

Если обратная функция Х< й(Г) однозначна (рис. 2.2), то правило преобразования плотностей вероятностей случайных величии определяется форм лой у рс(у) = рс(х)[с(х<йу! = Рс[й(У)[ [ бй(У) <бд! (2. 40) Если обратная функция Х = Ь(У) неоднозначна, например имеются две ветви обратной функции й(у) н Ьи(у) (рнс. 2.3), то плотность вероятности О, (у) находится по формуле о (у) = р,[й,<у)[[й[(у) !+ у,[й,<у)) [й,' <у) [. (2.

41) Если число ветвей обратной функции больше двух, то в правой части йюрмулы (2.41) следует брать сумму по всем ветвям и щ(у) = ~~'"„о [йс <У)Цйс'<у)1 Рис 23 Киадратссчное (двухзначное) преобразование: я — прямая фуяиния, б — обратная функция 4 51 Таалипи 2.4 Манменоеаниг за«она М (гт' — М) н((У вЂ” и] Гнпергео- метрический й(е (Л вЂ” 1) т„о Биноми- альный мр та о )ь з— Пуассона про, Ч=(— Основные нисловые характеристики Центральнми момент ог, «озффициент з' асимметрии и, о М (41 М) Р' 2М) тлз = Х Гтв (Ж вЂ” 1) (У вЂ” 2) х (М вЂ” ) (ту — 2п), ((т' — 2тИ)(й( — 2 ) (/М 7 О Р 71=~— .кнскретиых законов распреаелении центральима момент ш", ютзффнциент а' з«оценен т, Лругие соатношение ллн моче«то ру ВВ р) рл) У,В 48 В У г Рнс.

2.5. График функции распределения случайной величины Рис. 2.4. Многоугольник распределения ох = Р)Я(Х)1 = ~~~ !й!хг) — тз)'Р! 0,05!20 0,20480 0,40960 0,82768 (2.45) 0,00032 0,00640 ОГ 2. ПРИМЕРЫ 4.<т г 56 где л — число ветвей (число неоднозначностей). Задача преобразования плотностей вероятностей рассматривается только для непрерывных случайных величин. Функциональное преобразование дискретной случайной величины ис изменяет распределения вероятностей; оно изменяет только ее возможные значения. Определение числовых характеристик случайной величины г' = й(Х) является частныч случаем рассмотренной задачи. При атом их можно вычислить двумя способами: с помощью найденной по формулам (2.40), (2.41) плотности вероятности р,(у) или путем усреднения й(Х).

Второй путь зноиомичиее, так как не требует определения плотности вероятности функции р, (у). Например. фориулы для математического ожидания и дисперсии случайной ве. личины У = д(Х) при этих способах соответственно имеют вид: то = ~ УРДУ) ПУ, о,',=- ! )У вЂ” л!я)4 и,!У'ЕУ, Мх! ОДх)их, аз= ! !2[х — тч!опух) Ех. (2.48) Гхля дискретной случайной величины числовые характерно!нкн находятся ио формулам: то='!йй(Х)1 = ~ й(х!)р!. (2.44) 2.1. По одной и той же стартовой позипии противника произ- водится пуск пяти ракет, причем вероятнссть р попадания в цель при каждом пуске равна 0,8. Построить: 1) ряд распределения числа попаданий; 2) много- угольник распределения; 3) функцию распределения Рт(х) числа попаданий. Решение.

Случайная величина Х (число попаданий в цель) может принять следующие значения: х, = О, х, = 1, х, = 2, хз = 3, хо =- 4, хо = 5. Эти значения случайная величина Х при- нимает с вероятностями р„р,, р,, р,, р,, р,, которые в соответствии с формулой (1.22) равны: рв = (! — р)' = 0 2'=О 00032 р, = С,'р(! — р)' = 5 0,8.0,2 =0,0064, р, = С',р'(1 — р)'=10 0,8'.0,2' = 0,0512, рз Сара(1 р)з 10,0 8'.0 2' 0 2048 ро = С',р'(! — р)=5 0,844.0,2=0,4096, ро=ро = 0 8'=0 32768 Из вычисленных значений ры г = О, 1, 2, 3, 4, 5, видно, что наиболее вероятно попадание в цель четырьмя ракетами, в то время как промах всеми ракетами маловероятен.

1. Ряд распределения имеет следующий вид: 2. В соответствии с рядом распределения вероятностей числа попаданий в цель построен многоугольник распределения, представ ' ленный на рис. 2.4. 3. По определению, функция распределения Рт(х)= Р(Х<х)= ~ Р(Х=х,). При х<0 Рг(х) = Р(Х<х) = О, при 0 < х < 1 Р,(х) = Р(Х = хо = 0)=0 00032* при ! С х < 2 Рт(х) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1)=0,00032+ + 0,00640=0,00672, при 2 < х < 3 Р,(х) = Х Р(Х = х;) = 0,05792, с=о з при 3 < х < 4 Р,(х) = 2 Р(Х = х;) =0,26272, 5=о при 4 < х 5 Рг(х) = 2 Р(Х = х,)=0,67232, с-о 5 5 при х~5 Р,(х) = ~ Р(Х=х,) = ~ч"„р; =1. г=о г=о График функции распределения представлен на рис. 2.5.

2.2. Плотность вероятности р,(х) случайной величины Х имеет вид р,(х) = а ехр ( — р(х!), — С х< где а и р — постоянные величины. Требуется: 1) найти соотношение, которому должны удовлетворять постоянные а и 5; 2) вычислить функцию распределения Р, (х) случайной величины Х; 3) построить графики плотности вероятности р,(х) и функции распределения Р,(х) при () = 2. Решение. ! . Чтобы найти соотношение между постоянными и и 5, воспользуемся условием нормировки для плотности вероятности.

При этом учтем, что плотность вероятности имеет разные аналитические выражения при х 0 и х > 0: 2а — Г = а ~' е В'"!с(х=-а ~ еи" с(х+ ~ е В'с(х = — =1. о Следовательно, 8= 2а. 2. функция распределения Р,(х), по определению, равна: Р,(х) = ~ р,(г)с(г. При х<0 Р(х)=а 3! е с(г= — е = — е г вт а р. ! в, При х>0 а Р (х) = — + а 3! е — в' дг = — „'- ! — ! е — в" = 1 — ! е — в . т 2 2 2 2 2 о 3. При () = 2 р,(х) = е — т! 0,5ет" при х<0, Р,(х) = 1 — 0,5е — ' при х>0. ГРафикн Р,(х) и Рт(х) пРи Р = 2 изобРажены на Рис. 2.6.

2.3. Функция распределения Р,(х) случайной величины Х задана графиком (рис. 2.7). -15 -((о о /Г,а 1о л -го -/го (Г т(о уйл и/ ду Рис, 2 6 Плотность вероятности (и! и функция распределения (б! иепрерыв. ной случайной величины Ю 1 2 3 В и У 1 2 о В а -1 !у Рис. 2.1.

Фуннпия рас- Рнс. 2.8. Плотность ве- Рис 24Ь Функпня распределения роятностн пределения Требуется: 1) найти аналитическое выражение для функции распределения; 2) построить график плотности вероятности р, (х); 3) определить вероятность Р того, что величина Х примет значение от 3,5 до 4,5. Решение. !. Когда значения величины Х заключены и пределах от 3 до 5, функция распределения Р,(х) представляет собой отрезов прямой, проходящей через две точки с координатами (3, 0) и (5, 1) Используя уравнение прямой в виде(х — х,)/(х,— х,) =(у — пт)/(ро— — у,), получаем (х — 3)/(5 — 3) = Е'т(х)/1, т. е.