Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И. Тихонова (2-е издание, 1980)), страница 3

Определить вероятность Р(А) того, что настроенные независимо обе радиостанции окажутся работающими на одинаковых частотах. 1б Решение. Обозначим (чисто формально) частоты одной радиостанции через /г', а частоты другой — через /7, г' = О, 1, „. 9, // = /~'. Расположим все возможные исходы в виде таблицы: 'о/о Всего равновозможных исходов Ж= 10 ° 10=100.

Эти исходы составляют полную группу несовместных случаев. Исходов, благоприятствующих событию А (обе радиостанции окажутся работающими на одинаковых частотах), будет и = 10(Я,", Я," ..., /,'/). Следовательно, Р (А) = и/У = 10/100=-0,!. 1.4. По линии связи в случайном порядке передаются 30 знаков русского алфавита. Найти вероятность Р (А) того, что на ленте появится последовательность букв, образующих слово «радиож Решение. Число всех равновозможных случаев Лг (число выборов из 30 букв алфавита по 5) равно числу размещений из 30 по 5 букв, т. е.

й/ = А го = 30 29 ' 28 ' 2/ ' 26. Из этих случаев благоприятствующим событию А является только один (комбинация, образующая слово «радио»), т. е. л = 1. Следовательно, Р(А) = и/У =- 1/А'о = 1/30 ' 29 ' 28 27 . 26 — 5 88 . 10-з 1.6. Производится прием кодовых комбинаций, содержащих пять цифр от 1 до 5. Какова вероятность Р (А) того, что в принятой комбинации цифры образуют последовательность 123457 Решение. Число всех равновозможных случаев У равно числу перестановок из пяти элементов, т. е.

У = Р, = 51 =120, Из этих случаев благоприятствующим событию А является только один, т. е. п = 1. Следовательно, Р (А) = л//ьг = 1/5! =1/120. 1.6. В партии из У запасных радиоламп имеется М нестандартных. Для проверки выбираются наугад /т радиоламп из этой партии (й ( /)/). Определить вероятность Р(А) того, что среди них окажутся ровно 1 нестандартных ((я М). Решение.

Общее число возможных выборов из У радиоламп по й равно числу сочетаний из Лг элементов по й, т. е. С~.Благоприятствующими поставленному условию являются случаи, когда из общего числа М нестандартных радиоламп взято ровно ! штук, что !1 Рис. ПЗ К вычислению вероятности Р (й) а и т и, можно осуществить См способами. Но каждый из этих случаев в кон! трольной партии может быть в различной комбинации с остальными й — 1 стандартными лампами. Число таких комбинаций равно С» м. Следовательно, общее число благоприятствующих случаев будет равно произведению СцСй:~м. В соответствии с определением ве- роятности получим Р(А) = СмСй — и!Сй.

1.7. В любые моменты интервала времени Т равновозможны поступления в приемник двух независимых сигналов. Приемник будет перегружен, если разность между моментами поступления сигналов будет меньше т. Определить вероятность Р(А) того, что приемник будет пере- гружен. Решение. Изобразим случайные моменты поступления сигналов в радиоприемник т, н т, в виде декартовых координатна плоскости. Областью возможных значений т, и т, является квадрат площадью 5 =- Т' (рис.

1.3). Приемник будет перегружен, если ~ г, — т, ! (т. Данная область лежит между прямыми т, — т, = т и те — т, =' = — т. Площадь этой области а = Т' — (Т вЂ” т)'. Следовательно, нера 6 Ь Т' 1.8. Поданным ремонтной мастерской в среднем из 100 отказов телевизора 50% обусловлено выходом из строя электронных ламп, 15оа — конденсаторов, 12% — резисторов, 5% — кинескопов, а остальные отказы обусловлены другими причинами. Найт)е вероятность Р'(А) отказа телевизора по другим при- чинам. Решение.

По условию вероятности выхода из строя телевизора из-за отказа различных элементов равны: Ре(А,) = 0,5; Р*(А,) = 0,15; Р*(А») = 0,12; Р*(А ) = 0,05, где А„А„А», А, — отказы телевизора, обусловленные соответ- ственно выходом из строя электронных ламп, конденсаторов, рези- сторов и кинескопов. События А, А„А „А а, А, составляют полную группу.

Следовательно, 4 Р*(А) =1 — ~ Р«(А~)=1 — (05+0,15+0,12+005) =0,18. у ! 12 1.9. В партии нз У полупроводниковых триодов имеется М бракованных. Для контроля из партии берется наугад и триодов. Какова вероятность Р (А) того, что среди них будет не более гп бракованных? Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что среди и взятых для контроля триодов будет не более не бракованных. Событие А произойдеттогда, когда среди и взятых на проверку триодов илн не будет ни одного бракованного (событие Ае), или один бракованный (событие А,), или два бракованных (событие Аа) и т. д., или окажется т бракованных триодов (событие А ), т, е.

А =Ае+А, +А»+ ... +А»+... +А = ~'„Аа. а=о Вероятность Р(А и) события Ад равна Р(А,) = Смь Сй: м 1Сй Следовательно, по теореме сложения вероятностей событий имеем О3 я С»„С"-а Р(А)= ~)' Р(А») = е » е Вы 1;1О. Обнаружение воздушной цели производится независимо двумя радиолокационными станциямц. Вероятность Р(А) обнаружения цели первой станцией равна 0,7. Вероятность Р(В) обнаружения цели второй станцией равна 0,8.

Определить вероятность Р(С) того, что цель будет обнаружена хотя бы одной станцией, Решение. По условию события А и В независимы, поэтому вероятность совместного события АВ (пель обнаружена обеими станциями) Р(АВ) = Р(А) Р(В) = 0,7 0,8=0,56. Используя формулу (1.12), получаем Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ) = = 0,7+ 0,8 — 0,56 = 0,94. Так как события А и В независимы, то пример можно решить путем перехода к противоположным событиям А и В. В этом случае Р(С) = Р(А + В) = 1 — Р(А) Р (В) = =1 — (1 — Р (А)) [1 — Р (В)) = 1 — 0,3.0,2=0,94.

1.11. Каждая буква слова «математика» написана на отдельной карточке, карточки тщательно перемешаны. Последовательно извлекаются четыре карточки. Какова вероятность Р(А) получить слово «тема»7 Решение. Пусть А„А„А а, А, — события, состоящие в последовательном извлечении букв «т», «е>, «м», «а». Тогда соответствующие вероятности равны: Рнс, 1.4.

Структурная схема системы управления Р (А,) = —; Р (А, ! Аз) = —; Р (А, ! Ад Аз) = —; 3 Р (А 4 ! Аз Аа Аз) = —. 7 Применяя формулу (1.!ба), получаем 2 1 2 3 1 1О 9 8 7 420 1.12. Два стрелка стреляют по очереди по мишени до первого попадания. Каждый из ннх имеет право сделать не более двух выстрелов. Зная, что при одном выстреле первый стрелок попадает в мишень с вероятностью р„а второй — с вероятностью р„найти вероятность того„что: 1) первый стрелок попадет в мишень; 2) второй стрелок попадет в мишень. Решение. Рассмотрим следующие события: А — первый стрелок попадает в мишень,  — второй стрелок попадает в мишень, А,— попадание у первого стрелка при первом выстреле, А, — промах у первого стрелка при первом выстреде, А,— попадание у первого стрелка при втором выстреле, Аз — промах у первого стрелка при втором выстреле, В, — попадание у второго стрелка при первом в14- стреле, В, — промах у второго стрелка при первом выстреле, В,— попадание у второго стрелка при втором выстреле.

Тогда А =. А, + А В А„В = А В, + А В А»В,. Так как Р(А,) = Р(А>) = Ры Р(А») = Р (А,) = 1 — Р„, Р(В,) = Р(В,) = р,, Р(В,) = 1- р„ то 1) Р(А) = р, + (1 — р,)(1 — р,)р, = Р,И +(1 — р,)(1 — р,)), 2) Р(В) = (1 — р,)р, + (1 — рд)(1 — р,)(1 — рд)рз = = (1 — Р)Р»П + (1 — Р )(1 — Рз)). 1.13. Система управления состоит из четырех узлов А„А„А и А (рис. 1.4). Вероятности р, безотказной работы узлов соответственно равны р„р„рз, р,.

Вычислить вероятность безотказной работы Р всей системы управления. Решение. Вероятность безотказной работы р„ цепи из двух последовательно соединенных элементов А, и А, согласно формуле (1.19) равна Раз = П Р; =Рзрз. Вероятность безотказной работы р„цепи, состоящей из двух параллельно соединенных элементов Аз и Амопределим по формуле (1. 18): Рт=1 — П (1 — Ру)=1 — (1 — Рз)(1 Р«). 1=з Применяя формулу (1.!8) еще раз, получаем: Р = 1 — (1 — Рзз)(1 Р>4) = 1 (1 Ртрз)(1 Рз)(1 — Р«).

Пусть, например, р, = 0,7, р, = 0,6, рз = 0,8, р« = 0,9. Тогда Р = 1 — (1 — 0,7 0,6) (1 — 0,8) (1 — 0,9)=1 — 0,58 0,2 ° 0,1= = 0,9884 0,99. 1.14. Вероятности того, что параметры одного из трех блоков радиостанции (антенно-фидерного устройства, приемника или пере- датчика) выйдут за время полета самолета из допусков, равны соот- ветственно 0,1; 0,2 и 0,3. Если из поля допусков вышли параметры одного блока, связь не будет установлена с вероятностью 0,25, если двух блоков, то 0,4, если трех, то 0,5. Найти вероятность Р (А) того, что связь не будет установлена. Решение.

К интересующему нас событию А ведут три гипотезы: Н, — за поле допусков вышли параметры одного блока; Н;, — за поле допусков вышли параметры двух блоков; Нз — за поле до- пусков вышли параметры трех блоков. Согласно теореме сложения и умножения вероятностей имеем Р(Нт) = О,! (1 — 0,2)(! — 0,3) + 0,2(1 — О, 1)(1 — 0,3) + +0,3(1 — 0,1)(1 — 0,2) =0,398, Р(Н,) =0,1 0,2(! — 0,3)+0,1 0,3(1 — 0,2)+0,2. 0,3(1 — 0,1) =0,092, Р(Н») = 0,1 0,2 0,3 = 0,006. По условию Р(А ! Н,)=0,25, Р(А ) Н,)=0,4, Р(А ! Нз)= — 0,5.

Следовательно, по формуле полной вероятности (1.20) получим з Р(А) = Х Р(Н;) Р(А )Н»)=0,398 0,25+0,092 0,4+ 4=! + 0,006 0,5 0,139. 1а 1.15. По каналу связи, подверженному воздействию помех, передается одна из двух команд управления в виде кодовых комбинаций 11111 или 00000, причем априорные вероятности передачи этих команд соответственно равны 0,7 и 0,3. Из-за наличия помех вероятность правильного приема каждого из символов'(1 и О) уменьшается до 0,6. Предполагается, что символы кодовых комбинаций искажаются независимо друг от друга. На выходе приемного устройства зарегистрирована комбинация 10110. Определить, какая команда была передана? Решение: Пусть А — событие, состоящее в приеме комбинации 10110.