Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И. Тихонова (2-е издание, 1980)), страница 2

е. при любом а э 0 Р()Р'(А) — Р(А)! с в) = 1. Определение вероятности сложного события А через вероятности более простых событий А,, А „..„А„базируется на использовании основных теорем теории вероятностей (теорем сложения и умножения вероятностей и их следствий). Согласно теореме сложения вероятностей вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения: Рнс. 1.1.

Параллельное соединение эле- ментов ! 1 (1 .16а) ( ч '1 а Р П Аь~= П Р(Аь) э=! (!.17а) Решение многих практических задач требует совместного использования теорем сложения и умножения вероятностей. В частност, теорем вроязводится расчет вероятности безотказной работы, нап име, адиотехнических систем. ной ра оты, например, раемы ( или ее элемента) Вероятностью безотказной работы некоторой системы ( или ) называют вероятность того, что система (элемент) в течеийе становленного времени будет работать без отказов. ечепне установленного у различают их паралПри объединении нескольких элементов в систему различа лельное соединение ( резервирование) и последовательйое (основное). Прн параллельном соединении (рис. 1.!) отказ системы возможен тольк зе всех элементов, а при последовзтельном (рис. 1.2) отказ системы п оисожен только при откаходит при отказе любого элемента (1).

Вероятность безотказной работы Р = Р(1) системы из й параллельно соединенных элементов а Р=) — П (1 — Р) где Р; =- Р;(1) — вероятность безотказной работы 1-го элемента на инте- вале (6, 1) С увеличением числа параллельно включенных элементов вероятн нтерность безотказной работы системы возрастает.

Если система состоит из й последовательно соединенных элементов, т э ементов, то вероятность безотказной работы системы вычисляется по формуле а Р= П Р1. (1 .19) 1 1 С увеличением числа последовательно включенных элементов вероятность безотказной работы системы убывает. Бо многих реальных снтуаннях то или иное событие А может появиться лишь как случайное следствие одного из несовместных событий ц1(1 = = 1,2,.„, л), которые входят в некоторую полную группу событий и называются гипотезами. В таких случаях безусловная вероятность Р(А) со- ЕслисобытиеА ст тиеА статистически не зависит от события В, то Р,'А!В) =Р А, причем события А и В называются независим А н В выра (1.!6 р жение ( . ') принимает вид ез виснмыми.

Прн независимых событиях Р(А в) .=, (А), (в). (1.! 7) Формулы (1.16) и (1.17) обобщаются на н событий А„А„..., А 1 и. Р(Ат Аа ° Ач) = Р(Ат)Р(Аг ! Ат)Р(Аз ! АтАа) "° Р(Аи ! А1Аа ° ° Аа — т) где Р(А!В) — условная вероятность события А, т. е. вероятность события А, вычисленная в предположении, что имело место событие В. Рис, 1 2 Последовательное соединение элементов о — С:ЕП вЂ” 4-77-! г-т.-) Рг дз РдН !) Р(А 1 Н;] Р(А) Р(Нд)А) = (д)( ! ~) Р(нз)Р(А] Н,] Вероятность Р(Н;) называется априорной (доопытной), а Р(Нд]А) — апосдериорной (послеопытной] или обратной вероятностью. В теории передачи сообщений, теории стрельбы, при контроле качества продукции и т. д.

часто возникают задачи по определению вероятности появления какого-то события А в результате серии опытов, в каждом из которых это событие может произойти или не произойти. Проще всего они решаются тогда, когда опыты являются независимыми, т. е. вероятность того или иного исхода опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Способ решения подобных задач дает теорема о повторении опытов (формула Бернулли).

Вероятность того, что при л независимых опытах (испытаниях) событие А появится ровно й раз, если при каждом опыте вероятность события А одинакова и равна р, определяется формулой Рп(й] = С~ р~д) (1.22) где 4 = 1 — р. Формулой (1.22) неудобно пользоваться при больших л. В этом случае пля подсчета вероятности Ри(й) применяют приближенные формулы.

Если л велико, р мало, а лр = Х имеет конечное значение, то пользуются приближенной формулой Пуассона (! .23) Рп(й) = — е М Приближенное значение относительной погрешности при применении форму.чы (1.23) вместо (1.22) равно й — (й — лр)з гл(й) = + — йрз. 2л 2 Когда лрд не слишком мало, то применяется локальная формула Муавра — Лапласа: Р„(й) = р, (х)! )/лрф (!.24) где )гг2л (/л]н) Приближенное значение относительной погрешности при вычислении вероят- ности Р„(й) по формуле (1.24) равно р — д I х д г (й)= =х~] — )1. 2 '1/ бытия А прн известных вероятностях гипотез Р(Н!) н условных вероятностях Р(А]Н,) определяется по формуле полной (или средней] вероятности: Р!А]= ~ Р(НВР(А !Н!).

(!.20) Прн этих же данных, т. е. известных вероятностях Р(Н!) и Р(А)Н;), можно найти изменение вероятностей гипотез Нд, если предположить, что событие А уже произошло. Задачи подобного типа решаются с помощью теоремы гипотез (или формулы Байеса]: РН РА Н. С помощью формулы (1.22) можно вычислить вероятность того, что при л независимых опытах 'событие А, имеющее вероятность р, появится не менее й раз: и з — ! Рл(т~ й)= ~~ЄфРг" =! — ~ С" р" д" — . (1,23) т=з дл = о Вероятность появления события хотя бы один раз при л опытах равна Р„(т > 1) =- 1 — ди. (1.26) Вероятность того, что при л независимых опытах событие А, имеющее вероятность р, появится не более й раз, определяется выражением ь Р„(т < ]г) = ~~а~ Сл р~ дл (1.21) т з Если вероятность появления событии в каждом опыте равна р, то вероятность того, что в серии из л независимых опытов событие А появится от ]д до ч раз включительно, равна Рл()д < й М ч) = ~~ Стр дл (1.28) т=и При больших л, р и ч этой формулой пользоваться затруднительно.

В этом случае используют приближенную интегральную формулу Муавра— Лапласа ь ! Р„(р < й < ч) — = е ' 12(Е=Ф(б] — Ф(п), '1/2л,) и (1.29) где г р — пр ч — лр — Р'2 и=, . Ь=.,†., Ф(г)=- — ! е г 'зд(!. Млрд )г лрч '1/2л ,) — ии Количество л опытов, которые нужно произвести зля того, чтобы с вероятностыа, не меньшей Рд, можно было утверждатдь что данное событие произойдет по крайней мере один раз, находится по формуле л ~ 1ай(1 — Рд)]!ай(1 — р).

(1.30) Нанвероятиейшим числам йи появлений события А в л независимых опытах называетсЯ такое зиад!ение й = йи, пРи котоРом веРоЯтность Ри(й) наибольшая. Это число определяется по формуле лр — д м йа ( лр + р. (1.31) Если лр — д — дробное число, та неравенство (1.31) определяет одно значение наивероятнейшего числа. Если же лр — д — целое число, то неравен. ство (1.3!) определяет два значения наивероятнейшего числа. Формула (1.22) составляет содержание так называемой частной теоремы о повторении опытов.

Известно несколько ее обобщений. Одно из них относится к случаю, когда из-за изменяющихся условий при проведении л независимых опытов вероятность р меняется от одного опыта к следующему (общая теорема о повторении опытов]. В этом случае вероятность Ри(й] появления событии А ровно й раз определяется по производящей функции [3): л л др„(г) = П (Ф+рд г) = ~~Р~ Р„(й) гз, (1.32) ! ! з-а где р! — вероятность появления события в!-и опыте, д; = 1 — рп Искомая вероятность Р„(й) равна козффнняенту прн зь в разложении производящей функпня я может быть определена днфференпнрованнем функпнн ф„(г); 1).зз) Лругое обобщение формулы (1.22) относится к случаю, когда каждый опыт может иметь не два, а большее число исходов.

Если, например, прн каждом повторении опыта может произойти толька одно нз событий А,, А, .. Аг» соответственно с веРоЯтностЯми Рм Ро, ", Рт (про = ! то вероятность Р»(йг, йо, ..., й ) того, что нрн л независимых опытах событие А, появится йг раз, событие Ао появится йо раз н т, д., событие А,„появятся йы раз (~й; л), определяется формулой попнномнального распредепення 1 1 оо ью Р»(йг, йз, ..., Йг»)= Р1 Рз ''Рт йг) До) ... Ф„1 ь, а ь Вероятность Р„(йм йм ..., Йю) является козффнннентом прн г,' г ' г ж в разаоженнн по степеням аргументов гь полннома ф» (зг 2о...,, 2»г) = (ргзг + Рмо + - + ртам)», (1.Зб) ред являющего собой производящую функцию дая совокупностн чисел Р»(йг, йз го "»0 2.

ПРИМЕРЫ 1.1. Доказать справедливость следующею соотношения между событиями: (А + В) С = АС + ВС. Решение. Заданный распределительный закон можно доказать путем непосредственного рассмотрения смысла утверждений, выра. жаемых каждой частью равенства. Левая часть данного равенства означает событие, состоящее в том, что произошли совместно собы- тия А или В и событие С. Правая часть означает, что происхо- дят события А вместе с С или В вместе с.С (или и то, и другое).

Эти два утверждения равносильны. 1.2. Показать, что А + АВ + ВС + АС = А + С. Решение. Доказательство справедливости заданного равенства проведем алгебраическим путем. Используя формулы (1.2) †(1.6), имеем А + АВ+ ВС+ АС = (А(/+ АВ)+ВС+ АС = = А((/+ В) + АС + ВС = А(/+ АС+ ВС = А + АС+ ВС = = А + АС + АС + ВС = А + С(А + А) + ВС = =А+С+ВС=.А+С, 1.3. Двум радиостанциям разрешена работа на десяти одинаковых фиксированных частотах.