Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И. Тихонова (2-е издание, 1980)), страница 7

Биномиальный (Бернулли) 3. Палиномиаль ный Область нзменення значений случайной велнчнны й =О, 1, 2,..., п й,=0,1,2,...,п, й.=-О, 1, 2,...,п, )ттп=-О, 1, 2,..., и, т ч' й) =и Законы распределения диск Лнвлнтнче«кое выражевяе чакана распределеннк См С~ — 'м Рп(й) = Сл Р„(й) = С„'рй(1 — р)"-" Рп(йт )гз, .. ))т)= и! р '...р пз, й,! й,!...йт! Ра+Рз+ ° ° ° +Рт =1 Рп(й) = — е йа а й! и н любые т — 1 величин нз Ры Рв, °" Рт р,(е) р-гв 11 В ар Таблица 2Л Характернстнческая функпня П,))с) ппп(м.л] Б» Сл — е Д м м — м ее СЙ (1 -)-р (е)п — 1)]п Опрелеляющне параметры Графнк ваконв распрелелевня Закан распрелелення а=0, 1,2, Е)е(1 Етн") л 10 1 Р(л) =— а а(1 — е!") Л = 1, 2,..., а Р(lд р 4 или или а=О, 1,2,.

2 Зан. ! та а 32 5. Геометрический (Фарри) 6.-Равномерный 7. Отрицательный биномиальный Оалвсть нвченення вначеннй случвпной «елнчннн й =-а, а+1,. Яналнтнческое вмражеане ванпнв распревеленнн Рп(Л) = р(1 — «)" ( Л ) С н ! р ( 1 и ) Р(й) Сп ! и(! ) л рл(») 0,» р ра С)2 07»0010» о 2 О 0010» 02 »0010» рге0010» Продолжение табл.

2Л Хврактернстнчеснвя функння и, Пс~ р[! — (1 — р)ет"[ рл[1 — (1 — р)е)" [ " [!+ ай(! — е)')) — "" и ,, о Звваи рас. преп леввя !од е хо)«' 2л йур гП«! (!ой х — т)в~ 0<х<со т,о вт 1 а дл ггга 6. К -рас. пределение 0<х<со (1-2!о) 2 лягл! х<0 0<х<оо ) иг) — (о+!! Г (а+1) Г(п) Х г( ) х<0 Жх) л-а 8, )(-распре- деление 0<«<со Д 1 2 36 б. Логариф- инчески- гауссовский 7. Гамма- распреде- ление ' ьйл.,с~ виа ~евий счучайвой ел~чииь Ливии~ ье« « еир,овчине лотпоств вероятности с,(т! т=М(1об Х), ов = 77(! ой Х) ! г л х е 1 хае 6 (!и ~- ! Г ( .

1) к* 1 х е п 2 Г( †) я, () а> — 1, р>о (рафаи плотиовтв вероятности в,(л! (т 61 га жх Ю 17 гд,тр« (Г 2 Г Дл Р 1 2 о а Авалитвческое выражеиве фувкции распределения Р,(к! О, х<0 г(, ) , «>О г( — ) Г (и+11 — ) х>0 г( —; — ") г( — ") График функция рвспределеввя н«(л! Худгр а у,о 4 л о ю б 12« уд «У 1 Ф 2 е ю« Продохлглние табл. 2.2 Характеристическая фуикция о,(!о! вв 4 Хе 0 „( !о), где Ор (г) — функция параболического пн- линдра Область значение случанноа еелнчины (йи Хяо чд О ч о о.

Закон рас- пределения 0<х< со н, о — х / га' О<х<со ! Ь (!. Коши — ооСхс ео )2. Бета- распреде- ление 0<х<! Г (а) Г (Ь) Г (а+Ь) 38 9, Распределение модуля много мерного вектора !О, Распре. деление мо- дуля гаус- совсной случайной величины Аналитическое иыраженне плотности еероятности р, (л) 2л — 1 тп х е (2о') -' Г( — ) Х~ехр [ — '... '1+ -)-ехр ~— д йт+(х — хе)' ! -( (! х)Ь-1 В (а, Ь) а,ь а>0 Ь>0 < Рафик плотности вероятности Оь(л) Р а га Зал р,(л) лЬЬ н тЬг Аналитическое аыражеиае функции распределения р,(л) 1рафкк Функции раопределеиня Р (л) Продолжение а(абл.

2.2 характеристическая Функция 9,(!о) Оксо (бластк значений случайной пелнчнны Закон рис- превеленнн Рт (л( -2 Р. 2 и с)0, а>0 19. Вейбул- ла 0<х<оо 20. Фнше- ра — Снеде- кора (Р-рас- пределенне( 0<х<со л,, лв 42 43 ! 7. Стьюдента ((-распре- — оо<х< оо деление) Аналнтнчес ое выраженно плотности аероптвостн п,(к( ."(-:) й+ ( х(1+ — ) соты — ( е — ск ы р (лт+лт) Х г( )г( ) и, л, Х( — "') х Х на+па Х(1+ — "х) Графи» плотности вероатностн и,(*> Р 1 2 3 л Лналнтнчсское выражение функции распревеленна я,(к( ГраФик функцнв распределенн» Я,(к> П родолжелые табл 2.2 Характериствчес а. функцнн 9,((о( чии дк з чоо Закон рвс- презелеияя Л, (з — от<х< оо 0<х< со с>0, а>0 Ю у 2 е х'и и(( 0 Р,(л) 4 (х — а) (Ь вЂ” а)' а<х<Ь а,ь а~-6 — <х<Ь.

2 Ь< х< со 15 2). Лапласа (двуксторонинй экспО- ненниальиый) 22. Экспоненниальный односторонний (показательный) 22Л Лвойное показатель- ное распре- деление 24. (1оказа- тельно-сте- пенной 25. Симпсо- на (треуго- льный) (Зблвст, Значений случайной величины ( 0<х<оо Ливлитическое выражеин» илотиести вероятности о,( т( ). Е Л!к — Н( г се — ак сае — со<к<а, Ь+а а<х< —, 2 (рзфик плотности вероятности о,ыа ау г дл Рт(йф а-у 3 Рааз Ь л 2 Аналитическое выражение фуикнки распределения Р,(к) ( рафик фуикиии распределения Рч(к) Продолжение я(абл, 2.2 Кврактеристическвя функция о,(/о( Закон рас- пределения Рх(л! 26. Арксн- нуса †а<к л ")Гав — ле — а<х<а Рт(л! 2а вй— 2а 28. Тихоно- ва — п(х(п — 1 Ю 1 л 10 ежу О Область значений случайной вели ииы Аналитическое выражение плотности вероятности л, (х] 1 О сов х 2н1е (Л) ь и о соя с си.

я О, с,. Графин плотности вероятности в,(х) тирад ал й г Аналитическое выражение функции распределения Р,(х1 О, х< а, 1 1 + ВГС5!П 2 и а 11 х>а 1 1 — + — О) ах 2 2 ! Оввз( (( 2п!з(Л) В ) (соз ()и ау График функции Распределения . Р,(х) ! ухал! ГЮ~ — — ~:й йу Лродолхсение табл, 2.2 Характеристическая функция О,((о) о е(ех г(х =- а,) '(уа' — х' -о = (е(ао), где !о(г) — функция Бесселя нулевого порядка первого рода х х х с« к Е 8 8 !! » Е 8 )! х о 3 к х ч з о » х и Ф х «« х Е И1 х" (2 22) (2 23) у, = т»з/аз, уз = т«»/໠— 3 .Ю Ь $ Е ь х х » 5 о х х ьс ы !! ьс К Е х й о ы л к л я Ф ы о о о д шИ- Х Сдшд з(-ш»)], » о (2. 23) » х я ч я о Ю х х о х х я х ш ш =та+из» тз=тзз+Зт»тзз + тхз» тз шзз+4ш» гл»+бтз газ+газ о Е я я о Е я о л *я Я глз»=шз — т1, тз —— глз — Зт»тз+2щ1, тз ш» — 4»н, та+От»з тз — Зт(,...

х л ч о. м а (2.23) (2.29) 49 43 х з] з я о о я о я В табл. 2.3 приведены аналитические выражения различных моментов для дискретной и непрерывной случайных величин. Из приведенных данных видно, что математическое ожидание, определяемое формулами (2.12) и (2.!31, представляет собой начальный момент первого порядка. Для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю, а центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию.

Абсолютные моменты четных порядков совпадают с обычными моментами. При решении практических задач наиболее часто используются начальный момент первого порядка т» (математическое ожидание), начальный момент второго парадна тз (средний квадрат случайной величины), центральный момент второго порядка шз (дисперсин), центральные моменты третьего и четвертого порядков, а также абсолютный цевтральный момент Я первого порядка, называемый средним арифметическим отклонением. С центральным моментом третьего порндка тзз связан коэффициент асимметрии уы характеризующий «скошенность» распределения, а с центральным моментом четвертого порядка гл« »вЂ” коэффициент эксцесса уз, показывающий «крутость» распределения вероятностей. Для симметричных относительно математического ожидания распределений все моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю и асимметрия отсутствует.

Эксцесс нормального распределения равен нулю. Если кривая плотности вероятности Рз(х) имеет более острую и высокую вершину по сравнению с нормальным распределением, то эксцесс положителен; если более низкую и пологую,— то отрицателен. Коэффициенты асимметрии и эксцесса определяются соответственно формулами; Гх .Ф' Моменты — ие единственные постоянные, характеризующие распределение случайной величины. Для теории более полезна другая совокупность постоянных, называемых семиинвариантами (или кумулянтами) нд.

Отличие их от моментов относительно произвольной точки состоит в том, что все семиииварианты (за исключением первого) инвариантны относительно изменения начала отсчета. Название «семиинварианты» как раз и обусловлено их инвариантиыми своиствами. Различные моменты и семиинварианты связаны между собой следующими соотношениями (1, !О, !!): д тд ~ Сдт~ гт', (2.24) »=о гл(11»вЂ” х е„ш(з] глз — т», т =тз — Зтз + 2т„т(41 — — гл« вЂ” От»+1]тз — бт„... !з] /п»»п(]], глз — — ш(з]+ш! шз=ш(з]+Зш!з]+ш(~] "з«ш(41+~~181+~~!з]+ш(П, ... <2.32) М( /ри) г /ри (2.34.

8,(со! = ~ осе<~с, с (2.35! О, <х) = — ~ Вс</о)е <Рябо. 2п <2.361 с=с ! би8с<<о! м с бо' <2.37) а! б) зсс<о)< М(е'") = ~ еоирс<х)бх. (2.39) тасс хи т~< — хя тс = хс +Зхуи <2.30) иср .