Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И. Тихонова (2-е издание, 1980)), страница 11

Оп4вет: 0,951. 2.19, МГ44овенные значения амплитуды Х принимаемого сигнала ' при замираниях описываются распределением Релея р,(х) =- — е-"*""' х) О. о' :,-.. Вычислить среднее значение и дисперсию случайной величины Х, Ответ: т„= а)lп/2, а,' = а'(2 — и/2). 2.20.

Показать, что начальный факториальный момент четвер того порядка т1,! случайной величины Х связан с начальными моментами следующим соотношением: а!444=т4 бтв+ 1!те 64пм 2.21. Найти центральные тл и центральные абсолютные Я : моменты случайной величины Х, распределенной по гауссовскому закону ! Г (х — т!' р,(х) = =ехр[ — — ~. ох'2а 1 2о' Ответ: При начетном й т$ = О, Я = в Уе — а" 2!в-м?вГ ! + 11= '2 — 24ь-4!?в! — ))ол.

2 71 Ф р,(х) = — е-"*!'"*, х- О, а' е«а« Ответ! 6«()о) = ехр ~!ат— х! 0,1 О,З О,З 0,2 0,1 0,2 о,з О,З 0,2 О,З 0 З еу О,2 О,З р! р! 7З При четном е т' м 2 2.22. Доказать, что если случайная величина Х подчинена гамма-распределению Рх(х)= 1 х" е-")е, х) О, а) — 1, ))) О, 6" ~ ' " ( +1) то характеристическая функция величины Х О. 1/'О) = (1 — (Ы " "". а начальные моменты вычисляются по формуле и„= 6« Г (lг + а + 1)/ Г (а + 1). 2.23. Определить характеристическую функцию )О! (/0) случайной величины Х, принимаюшей:1) одно-единственное значение, равное С; 2) с одинаковой вероятностью два значения, равные ~ С.

Ответ: 1))0!(/0) = е!'с; 2) с)«((о) = созоС. 2.24. Показать, что распределение с характеристической функцией 9! ((0) = соз (по/2 (1 — о')1 обладает плотностью вероятности р,(х) =О,йгозх, — и!2 «х «и!2. 2.25, Определить характеристическую функцию О! (/0) случайной величины Х, плотность вероятности которой 1 Г !х — т)' р,(х)= ехр ~ —— а)«2;« ~ 2а' 2.26. Дискретная случайная величина Х характеризуется рядом распределения Найти законы распределения случайных величин )« = Х' + 1, г = !Х1. Ответ: 2 27. Случайная величина Х с плотностью вероятности подвергается преобразованию )« = а/Х.

Определить плотность вероятности для случайной геличины У, Ответ: р,(у) = уе-У')х, у О. 2.28. Случайная величина Х распределена равномерно в интервале (а, Ь): р,(х) = 1ЯЬ вЂ” а), 0«а х«»Ь. Определить плотность вероятности случайной величины У * = Х' и построить ее график. Ответ; р,(у) = . а'«у«Ь'. ! 2(у — а) )Гу 2.29.

Решить задачу 2.28 при условии, что р,(х) =1/(Ь вЂ” а), а«х«Ь«0. Ответ: р, (у) = 1/2 (а — Ь) )' у, Ьх « у « а'. 2.30. Случайная величина Х с плотностью вероятности р,(х) подвергается преобразованию )« =11 — Х 1. Найти плотность вероятности случайной величины )« Ответ: р,(у) = р, (1 — у) + р,(1 + у), у ) О. 2.31. Случайная величина Х с нормальной плотностью вероят- ности ! р,(х)= — е '!'а*, — оо«х«оо, а У 2п подеер! азтся преобразованию )« = Хх.

Определить плотность вероятности случайной величины У' Ф 1 е-рта', у ) О, Ответ: и (у) = а'г«2пу 0 , у«О. 2.32. Решить задачу 2.31, если р,(х) = ехр ~— Ответ: р, (у) = ехр ~ — ~ с)) — /1, у) О. 1 у+т' 1 ( ~пру ) «ъ 2.33. Ряд распределения случайной величины Х имеет вид Продохженце /'т Рьль Р2ль Р (У/л) Рлт Ъ Р [х!, У/) /=! р(х,) Р[х'И Р(х!) Р(хл) Здесь РО= Р[Х=х„у При этов! = у),/= 1,2,...,п,/ !2,...,т. ~ р// = 1„ (3 1) 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Р,(х,у)=Р(Х(х, у(у).

(З.З) х; л ~~ Р(х!. У/) /.= ! хл р, (х, у) = дзЕ,[х, у)/даду. (3.4) р(у ! Рл! Рп Рзь Р (Уз) Ою Ры р (у/) РЫ Рл/' Ры О2/ Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины )г = 1 — 2Х'. Ответ: т„= — 2,4, и,', = 9,63. 2.34. Случайная величина Ф равномерно распределена в интервале от О до 2/г. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х = Аз созз (оз/ + Ф), где ю, 1 — неслучайные величины. Ответ: пгх = Аз/'2, п~ = А,',/8. 3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕР ИСТИ КИ МНОГОМЕРНЫХ СЛУЧАЙ Н ЫХ ВЕЛИЧИН При исследовании радиотехнических устройств часто приходится иметь дело с совокупностью двух или большего числа случайных величин.

Систему л случайных величин можно рассматривать как точку в л-мерном пространстве со случайными координатами Х!, Х,, ..., Хл. Поэтому такую систему пазы. вают л-мерной случайной величиной нли л-мерным случайным векторам. При «=-2 двумерная случайная величина может рассматриваться как случайная точка на плоскости, а при и = 3 — как случайная точка в пространстве.

Такая трактовка совокупности двух или трех случайных величин дает возмох!ность пользоваться наглядными геометрическими представлениями. Системы случайных величин могут быть дискретными, непрерывными и смешанными, в зависимости от типа случайных ведичнн, образуюших систему. Как н в случае одномерной случайной величины, полной вероятностной характеристикой многомерной случайной величины является закон распределения — соотношение, устанавливаюшее связь между областями возможных значений многомерной случайной величины н вероятностямн ее появления в этих областях. Закон распределения может быть задан з различных формах.

Например если Х н Т вЂ” дискретные случайные вели н!ны, то закон распределения двумерной случайной величины (Х, У] задается в табличной форме Р[Х=х!'=Р/= Х Р// Р(у у/)=-Р/= Ь ОЫ. (3.2) / ! '= ! Если Х и У независимы, то р, = р;р Универ<альной характерйстикой многомерных случайных величин, пригодной длн описания иак дискретных, так и непрерывимх случайных величин, являетсн функция распределении.

В случае двумерной случайной величины функция распределения Рз (Х, у) есть вероятностЬ ОдНОврЕМеннОГО выполнения двух неравенств Х т х, У с у, рассма/риваемая как функция переменных х, у: В геометрической интерпретации (рнс. 3.1) функцию распределения Р (х, у) можно трактовать как вероятность попадания случайной точки внут ь бесконечного левого нижнего квадранта с вершиной (х, у). рь В статист!О/сскон радиотехнике основное практическое значение нмезп системы непрерывных случайных величин, распределение ноторых обычно характеризуют не функцией распределения, а плотностью вероятности.

Если функция распределения Рз(х, у) непрерывна и обладает непрерывной смешанной производной второго порядка, то двумерная плогность вероятности определяется формулой Рнс. 3.1. К определению функции распределения 73 У Уг У/ х/ х'г Рис 3 3. СовместнаЯ плотность вероятности двух случайных величин н область 0 Рис. 3.2. Прямоуголь- ная область дЕ, (х) Рщх)= — = ~ р,(х, У)дУ, (3. 15) Ел (у)= Ел(оо, у) - ~ ~ рг(х, у) Ихду! гл дЕ, (у) Ш (У) = = ~ Рг(х, У) дх. д!/ (3.6) (3;7/ (3.8) (3.16) Ф где Ф (3.17) Рг (х У) Рк(У)х) Р,(х) рг(х, у) рг(х, д)дд Рг(» У' (3.

12) [3.18) рг(х, у) р,(х!д,= Рл(у, ) «,(х,у)д, кг 76 Вместо плотности вероятности можно использовать двумерную характеристическую функцию /о )=.М(е/ <гк х 1 г Ю)-- ~ )к е! !ь' ' 'хг' 'л р (х, у) дхду. (3 ° 5) Аппарат характеристических функций особенно эффективен для исследования сумм взаимно независимых случайных вели'!ин. ФУнкции Ег(х, У), Р (х, У) и В, (/о,, !а ) обладают следУющими основными свойствами: 1. Е, (х, у) — неубывающая функция своих аргумекшов, !. е. Е, (х„у) ж Е, (»,, у), если Е, (х, уВ ж Ег (х, у,), если к/, ы уо 2.

Е (х, — со) = Е ( — са, у) = Е ( — аг, — ог)=О. 3. Ег (ьг, ~) = 1. 4. Ег (х, аа)= — Е, (х), Ег (лк, у)= Е, (у) где Е, (х) и Ел (д) — соответственно функции распределения случайных величйн Х и У, х и 5. Ег(х, у)= )г ~ рг (и, и) дида.

(3.9) — к 6. Вероятность Р (/х) попадания случайной точки (Х, У) в прямо> гольник /7 (рис. 3.2) со сторонами, параллельными осям Ох и Оу и с координат ани вершин А (х„у,), В (х„у,), С(х„у,), 0 (х„иг! равна Р(/()=-Р (хл< Х(хг, у, кд У(уг)= Ег(хг уг) /г(хм уг) — Е, (х,, у,) + Е, (х,, уьь (3. 1О) (3. 11) 7. Рг(х, у) ~ О. рг(х, у) Ихду = ! (условие нормировки). 9.

Вероятность Р(0) попадания случайной точки а произвольную область (рис. 3.3) определяется формулой Р(0) Я р,(х, у)ихду, (3. 13) ьп! р,(х, у)деду — элемент вероятности для системы двух случайных вейук личин. 16. 6, (О, О) = 1. 11. Если Х и У вЂ” независимые случайные величины с характеристиче. скими функциями соответственно В! ()щ) и В! (/ог), то Вг (/а!. /ог) Вл (/ал) В! (/Рг). Одномерные функции распределения и плотности вероятности выражают.

-л( ся через двумерные с помо!цью следующих соотношений. к Е (х]=Ег(х ]= ) ) Рг(х у)даду Закон распределения системы двух случайных величин Х, У определяется распределением каждой из величин, входящих в систему, и зависимостью между ними. Степень зависимости случайных величин Х и У характеризуется условным законом распределения, пад которым понимается закон распре. деления одной из случайных величин, найденный при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение. По теореме умножения законов распределения р,(х, у) = р, (х) р,(у!х) = р, (у) р, (х)д), р, (у!х) = дЕ, (у!х)/ду, р, (х1у) дЕл(х!У)/дх — условные плоп!ос!и вероягностсй.

Лля независимых слу !айных величин Х и У Рг (х У) = Р! (х) Р! (У) Условие (3.17) — необходилюе и достаточное условие независимости случайных величин, Выражения (3.!5) и (3.16) позволяют получить соотношения, связываю' щие между собой условные и безусловные плотности вероятностей, а также .- формулу полной вероятности и формулу Байеса для непрерывных случайных величин (3. 19) (3.20> (3.21) ть ь —— ~ ~ Х"' УЬ* Р, (Х, У> Г>ХПУ ° -В« (3.29) (3.30а) (3.22) где (3.306) (3. 23) >гх„=К .э/а аи, (З.З!) (3 24) (3.26> 79 ?8 р, (у)= ] ро(х, у)йх = ] рг(х) рг(у) х>г>х! Р (х> Р (У ! х) р (.