Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И.Тихонова (2-е издание, 1980) (Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - примеры и задачи. Под ред. В.И. Тихонова (2-е издание, 1980)), страница 12

! У>= р, (х) р, (у ! х) «Гх Свойства 1 — 11 и формулы (3.!) — (3.20) обобщаются на многомерные случайные величины [1, !3, 16) Законы распределения являются исчерпыиающнми веролтностными характеристиками многомерных случайных величин. Однако если система включает в себя более двух — трех случайных величин, то экспериментальное определение ее законов распределенил весьма затруднено, а проведение расчетов требует громоздких математических вычислений. Поэтому при исследовании систем случайных величин широкое применение нашли их числовые характеристики, которые в определенной степени могут дать представление и о характере закона распределения. В основу получения таких числовых характеристик положено понятне моментов.

Различные моменты соответственно дискретных и непрерывных двумерных случайных величин определяются следующими формулами: !. Начальный момент ть ь«порядка й, + Ь,; п1ь ь — — М (Х ' У ') = ~ЧР„~ЧИХ,' У,.' Рц, 2. ((ентральный момент ть«ь„порядка й, + Ьо! ть ь — — м(хь уь.) = ~чр~ ~ (х! — т„) '(у! — то)ь' Рц, ! тьо ь — — [ [ (х — т )"'«у — то) ' Р (х, у> «>х«(у. 3. Абсолютный начальный момент ]]ь,ь, порядка Ь, + Ь«1 ]]„ь =- М (! Х !' ! У !М) ='.Р„~ ! х! ]М ! у! ]" 3 = ] ] !х!ь']у!ь р,(х, у)«>х«>у.

4. Абсолютный центРальный момент 8[,ь, поРЯлка й, + йэ! ]]ЬЬ, =М(]Хо] '!] о! «) ~~! ~[х! — та['[у — ту[ «Рц ! «о йь,ь, = )г ]г [х — т, [ь' [у — т, [ь' ро х, у) «(х«]у. — В— 6. Факториальный начальный момент т!ь >,ь ! порядка й« + йз! «11 «! „„„, =м(х!'1 у(Ь*]]=~Р~ЧР„~Ь>у[э*! Рц, В В т „- (' [ х(ь'!У(ь«]р,(х, у)«]х«(у. 6.

Фанториальный центральный момент тум! !ь«1 порядка й! + йэ! о т!', 1 1„1 .— М (Х ! '1 У," !) =~ ~ (х! — тх)! '! (У) — л« и) ' РЦ, 1 (3.26) т!ь,! !ь ! = > ! (х — т„) ' (у — та>! '! Ре(х, у) «>х«ГУ. !ь,! !ь«! Из начальных моментов ла практике наиболее часто используются начальные моменты первого порядка. !л«о = М (Х«1 о) = М (Х] = тх то! = М (Х«У1) = М (У) тн (3. 27) поторые являются математическими ожиданиями случайных величин Х и У, входлщих в систему, н которые определяют координаты точки, называемой центром рассеивания сисгемы на плоскости.

Из центральных моментов наиболее употребительны моменты второго порядка, ](ва из иих представляют собой дисперсии величин Х и У: О„= т[о — — М [(Х вЂ” т„)' (У вЂ” тд)'] М [(Х вЂ” тх)о[, (3,28) Оо = лооо« вЂ” М [(Х тх)о (У вЂ” т„>х] М [(У вЂ” тв>х] харантеризующие рассеивание случайной точки в иацравлении осей Ох и Оу. Среди смешанных моментов особую роль играет центральный смешанный момент втоРого поРЯдка то, = К и, называемый коРРелЯционным моментом (иногда — моментом связи] случайных величин Х, У; и[, = К„= — М (Х„' 1',) = М [(Х вЂ” ) (У вЂ” ту)]. Лля дискретных случайных величин Кхь=х~~~~д~~~~(х! и!х> (У1 то! Рог, ! 1' Р;, = Р (Х = хг, 1' =у«), .ьо> а для непрерывных К„о — — ~ [ (х — т„> (У вЂ” «пя! Р«(х, У) Пхйу.

Корреляционный момент К ! описывает, помимо рассеивания величин Х и У, еще н свлзь между ними. Часто вместо К „пользуются безразмерной ве. личиной — коэ«уфициентом коРРелации >]хя! где о„, аэ — средние нвадратические значения величин Х и У. Коэффициент корреляции >] удовлетворяет условию: — 1 < )г я ю ! и определяет линейную вероятностную зависимость между случайнымн величинами. Если Х и У независимы, то К„» 0 н >? и О. Лве случайные величины, для которых коэффициент корреляции равен нулю, называются некоррелированными.

Независимые величины всегда не коррелированы. Зависимые величины могут быть как коррелированнымн, так и некоррелированиыми. Для гауссовских случайных величин некоррелированность означает также и независимость. В некоторых случаях используются условные моменты случайной величвны Х относительно У. Для условных математического ожидании и днспер- где (3. 32) дй(у, уэ) Р»= ду 0 Тогда формула (3.37) примет вид дй(у, д,> дй (у, дэ) ддэ ! дд э к~ к„... "- к„,„ К» х '.К„, К ч" Р» (У) = ~ Р», хз) дхх« хэ 7 ! хэ! Рх (д,, „я> = Р (У, < „,, У, С У,) = Р(у» (Х», Хэ) ( у», пэ(Х», Хэ) < у»1, —, х) — д,, «'=Х,х„ (3.43» Р» (дю дз) = «) Р» (х», хэ) дх» дх».

О (3.35> х, х (3.44> 81 .нн случанной величины Л относительно у формулы соответственно имеют внд хр,(х, д) дх М (Х ! У) = ~ хр, (х ! У> дх = » р,(х, у)дх ! (х — М (Х ! У)1» Р (х, д>»(х О (Х)д)=- ~1х — М (Х ! иИ» о, (х!»В»(х= рэ(х, у) д» Основными числовыми характеристиками системы я случайных величин являются математические ожидания и дисперсни: М (Ха), в (хз> =м((хь — м (х «1"1, й = 1..., п а также корреляционные моменты нли коэффициенты корреляции К „((Х,— М(Х;>1(Х,— М(Х,>Ц, -„ь(, (3.33) Лля удобства корреляционные моменты и коэффициенты корреляции часто записываются в виде корреляционной матрицы и нормированной корреляционной матрицы: Во многих задачах статистической радиотехнини требуется определить вероятностные характеристики одной системы случайных величин по заданным вероятностным характеристикам другой системы, связанной с первой функциональной зависимостью. Пусть две случайные величины Уг и У, заданы выражениями У» =у» (Х», Хэ>, У» =йэ (Х», Х,> где у и уз — заданные детерминированные функции.

Требуется найти совместную функцию распределения гэ (у„у») и'сонме. стную плотность вероятности рз(у„уэ) случайных величин У» и Уэ по известной плотности вероятности рэ (х», х») случайных величин Х, н Хэ. Так как Область интегрирования Р определяется неравенствами ут (Х,, Х») ( уы уэ(х,, хэ) ц уэ.

Плотность вероятности р,(у„у,) получается путем диффе. реп пирования рэ (у„у,): Р»(У» Уэ) дэдэ (У Уэ)/дд»ддз. (3.38> Если необходимо найти р»(у,, д») без предварительного определения гэ(у,, дэ), то при однозначных обратных функциях Х» = Д» (У„?'э), Хэ = Нз(У», Уэ) имеем Р, (у,, УВ = ра (й» (у,, у,), й, (д,, УП1 ((>э), (3.37) д(х„х,> ~ дй»(ду» дд»)ду» О» = д (У», у,) дйэ/ду» д>»аду» д (у,, у,) д(х», х > — якобнан преобразова, ня от случайных величин Х„Х, к величинам У», Уэ В тех случаях, когда обратные функции й; неодйозначны, в правой части (3.37] следует ваять сумму по каждой из подобластей. Результаты (3.34) — (3.38) можно распространить на функцональные преобразования многомерных случайных величин. Часто требуется найти плотность вероятности функции двух случайных величин Х, н Х» по известной совместнок плотности веровтности рз(х,, х,): У=У,=У,(Х,, Х)=У(Х», ХВ Уз=ух(Х», Х>=Х,( иХ>.

Рн однозначной обРатной фУЯкцнн Х, = 6 (У,, Уз) й(У, Уэ> к такомУ преобразованию можно применить формулу (3.37). В данном случае якобиан преобразования дй(у, д,> Р»(У У») =Ра(й (У Уэ), У»1 / ду Проинтегрировав (3.39) по уэ, получим плотность вероятности для У: дЛ(д, д,> Р~ (У> = ~ Р»!У» У»>ну»= ~ Р» (й(У Уэ> ° Уэ! ( ~ дух. (3-40) дд Ф Фор»»ула (3.40) позволяет найти плотность вероятности суммы, разности, ввг произведения и частного двух случайных величин: р, (д)=- ~ р» (у — х», хэ)дхэ= — > рз(у — х», х ) дх», ?'=Х, +Х», (3.41) р,(у)= ~ рх(д+х,, х,)»(х,= ~ р,(х,— у, х,)дх„У=Х» — Х„(3 42) СО СЮ Р»(д)= ~ Р,(ухз, хэ> ! хэ! дха = ~ р —, х, — ~дх„ (3.51) (3.45) гч рл(у ) рл (у+х,) р, !х,) пхл — гь ) Р ("л У) Рл (хл) л(хю 1'=Хл — Хз, гч (3,46) (3.52) чг й(у)= ~ й[ — )рл(хл) Пй (3.53) (злу) Рл (У)= [ Рл Ухл) и !хл)! хл) Лхг В = ~ р, ( — -) р, !хл) ~ — ~ дх„ (3. 48) (3.57) !3.49) 1 о у)= — ~ ' ~ итт !!и) "и 2л (3.

50) (3.60) (3.61) величин (3.62) 82 Для независимых случайных величин Х, и Х, с плотностями вероятностей р, (х,) н р, (хг) рл(х,, хл) = р,(х,) р,(х,) и формулы (3.41) — (3.44) принимают вид р,(у) ~ рл(у — хл) рл(х,) ухе= [ рл(у — х,) р,(хл) г(хл, У =Хл+ Х, гг '[ Рл [ /й(хл) йхл, У = Х, Х„ [, хл/ !х! Особое практическое значение имеет задача отыскания плотности вероятности суммы независиллых случайных величин по известным плотностям вероятности слагаемых (композиция законов распределения).

Эта задача решается с помощью формулы (3 45). Однако если число слагаемых больше двух, то вычисление интегралов свертки значительно усложняется; поэтому при н > 2 пользуются аппаратом арактеристнческих функций. Сначала находят характеристическую функцию 0и(! и) суммы независимых случайных величин Хл + Хл + .. -,'- Х„, которая равна произведению характеристических функций отдельных слагаемых; а затем из обратного преобразования Фурье находят плотность вероятности величины У. Числовые характеристики функций 2л, 2 системы двух случайных величин Х, У: 2л = ул (Х У), 2л = дл (Х, У) можно найти, не производя предварительного определения плотллостй вероятности рл (а„а,), а непосредственно используя совместную плотность вероятности Р, (х, у) случайных величин Х и У, В этом случае математическое ожидание т,„= — М (Л«), дисперсия 0 (2 ) и ко еля и «) рр .

ц онный момент К,, для дискретных и непрерывных случаиных величин определяются соответственно выражениями; т, = ~, ~~ у«(х г, УГ) р!), г у«(х, у) р (х, у) г(хг(у 0 (2«) = ~ ~ч'„(у«(х! „,, ! (2«1= ) )' [у«(,у) —, [ р,(„,у), (у '«г К ~[уз "л у)) — .,[[й,!хг,у)) — т,) РР, Г г,г, „[ )( [ул!х, у) — т [[у (х у) т р где « = 1,2; хн у, — возможные значения случайных величин Х и У; р! веиоятности совместного появления этих значений. Частными случаями формул (3.51) — (3.53) являются следующие соотношения для основных числовых характеристик случайных величин (основные свойства числовых характеристик): !. Если С вЂ” неслучайная величина, то М(С) С, М(СХ) = См(Х). (3.54) 2. Для любых случайных величин Х и У м(х ~ у) = м(х) ~ м(у).