1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (Маркеевu), страница 95

Согласно изложенному выше, полученная после преобразовании (36) функция Гамильтона (38) может быть приведена к виду Н' = гаг(ао)Чгрг + ггаг(оо)Чгрг+ г(о — оо) 4 Чгрг + 1 Чгрг + т 4ао Иао +в(сыоос ' ЧгЧг+сооыс' Ргрг) + (45) Теперь введем вещественные переменные вгь, гл по формулам Чо = ч?2г сну', Р'„= т?2гье ггг (Ь = 1, 2). (46) сс7 2 в. 06 устойчивости гимильтвиввыз систем / с1аг сЬ2 и = аг(.о)г, + аз(-0)гз + (о оо) ~, г, + „ 4 + ~, с1оо с1се о (47) + ечггсгзиг сов(121 + 202 — Жй) + 7 оп!(вг1 + 022 — гч 1)] + ° ° .

Постоянные величины 9, т, содержащиеся в (47), выражаются через козффнциенты Фурье, отвечающие Х-й гармонике некоторой линейной комбинации функций Ь„,„и,и,(г), входящих в функцию Гамильтона (29). Вычисления, проведенные согласно каноническим преобразованиям (34), (39) и (46), дают следующие выражения для величии 13, 7: — — ((Ж0011 — 1П100) соя гч 1 + (1П002 + н0110) зпг гч' с] с11, 1 Г о 2ч 7 = —, / Р2002 + 6опо) сиз Юг — (пооп — 1сыоо) 01п дг1] г22.

1 2л/ о (48) Сделаем еще одно каноническое преобразование игя, гя — ~ Фя, Ль. 222 = аг(С20)1+ ФЫ О 2 = аз(его)с + Ф2 + 9~ (49) гг =Лг г 2 — Л2г где 01пй = — —, совр = — —. Б = ч,гД~+'уз. Б' Б' Изменение переменных Фя, Ля со временем будет описываться диффе- ренциальными уравненинми, задаваемыми функцией Гамильтона я = ы — С (г ' я,: — г' я ),г гя я„; (ч, -~ ч )+... иг) 'х с1гхо ссссо Из соответствующей канонической системы дифференциальных урав- нений с точностью до членов первого порядка относительно е и сг — оо включительно имеем — = — = — ебч/Лгйз соз(Ф2 + Фз), с1Л2 с1Л2 йс йс (31) с((Ф2+ Ф2) с1(аг + аз) 1 оЛ1 + Л2 = (сг — его) + — е~ мп(Ф2+ Фз).

с11 йсго 2 ~/Л, Л, Замена пеРемевных с7яг, Р', -+ гРЮ гь (Огь кооРДинаты. ги импульсы), задаваемая этими формулами, является каноническим преобразованием с валентностью 1/(22). В переменных сся, гя функции Гамильтона примет вид 558 Глава Х'г' — +Оо<Е2<оо+ 11(121 + аг) 12(а1 + аг) 11оо 11е2о (52) и что при невыполнении этих неравенств имеет место устойчивость. Действительно, второе утверждение следует из того, что функция Г = (Л1 — Лг)2 ~ Нг является интегралом системы (51), который, как нетрудно видеть, будет знакоопределенным по переменным Л1 и Лг, если неравенства (52) не выполняются. Следовательно, согласно теореме Ляпунова об устойчивости. система (51) устойчива по отношению к переменным Л1, Лг.

Утверждение о неустойчивости следует из существования при выполнении неравенств (52) неограниченно растущего со временем частного решения системы (51): Л1(1) = Лг(1) = Лг(0)е'~~~~, Ф1+ Фг = л.+ агсзгпд, с е2 — оо 11(121 + аг) еб Йоо Случай простого параметрического резонанса, например 2а1 — — Х, рассматриваетсн аналогично. Область неустойчивости задается нераненстввми — + 12о < е2 < е2о + ЙТ1 ЙТ2 1212о 11е2о (53) где 6 = ~фР + уг, а (т = — / [(1юого — Лгооо) соз 1~'Г + йшш вгпМ 1Л, 1 2л/ о 2а 7 = — / [51ого сов 122 — (йоого — Ьгооо) з1п221) Егг. 1 2я / о (54) Ясно, что в первом приближении по е и е2 — е2о задача об устойчивости по отношению к переменным дт (~ = 1, 2, 3, 4) в исходной системе с функцией Гамильтона (29) эквивалентна задаче об устойчивости по отношени1о к переменным Л1, Лг в системе (51).

Покажем, что в первом приближении по е область параметрического резонанса (область неустойчивости) задается неравенствами 559 5 тй ОЛ устойчивости гамильтоиовых систем 248. Уравнение Матье. Уривненивм Матье цазыва1от дифференциальное уравнение второго порядка с периодическими коэффициентами вида пах ' + (о + Гт с . 1)х = О, г11з (55) где сх и 17 — постоянные величины. Это уравнение часто встречается в различных задачах механики, например в теории движения Луны, в задаче трех тел, в теории колебании упругих систем и т.

п. Поэтому уравнение Матье изучено очень подробно'. Мы рассмотрим уравнение Матье для случаи, когда оно мало отличается от дифференциальиш о уравнения г армонического осциллятора: 711 + (ы + с сове)ш = О (О < а « 1). (56) При е = О уравнение описывает колебания с собственной частотой иг. Согласно предыдущему пункту, при а ф О в плоскости параметров иг, а могут возникать области неустойчивости, причем для малых значений а области неустойчивости исходят из тех точек оси с = О, которые отвечают целым нли полуцелым значениям частоты собственных колебаний: 2ы = 1'ьг (г'ч' = 1, 2, 3,... ). (57) Например, если качели в процессе их раскачивания моделировать маятником с периодически изменяющейся длиной, то интенсивное раскачивание качелей (т.

е. неустойчивость их вертикального положении равновесия) возникает, когда удвоенная частота собственных колебаний маятника кратна частоте изменения его длины. На практике обычно наблгодается случай, когда в формуле (57) Ж = 1, т. е. когда частота изменения длины маятника вдвое больше частоты его собственных колебаний. Используя общие формулы для областей параметрического резонанса, полученные в предыдущем пункте, найдем в первом приблигкепии по а области неустойчивости, отвечающие резонансу 2иг = 1. (58) Если ввести импульс р,, отвечающий координате ш, по формуле р = шг то уравнение (56) будет эквивалентно канонической системе двух уравнений с функцией Гамильтона (59) И = —,(р +иг т, ) — всов1ш .

2 См., например: Стокер Дли Нелинейные колебании в механических и электрических системах. Мл ИЛ, 1963; Бейтмен Г... Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. М.: Наука, 1967. 560 Глава Х1г Введем новые переменные д и Р при помощи канонического преобразованин Ре = ъ'шр~ 'г = — У (60) Новая функция Гамильтона запишется в виде Н1 [2+ 2)+е,12 (61) Нз формул (53), (54), в которых Ю = 1, а 52000 = — гон 1~ В0020 = 10010 = 0~ 1 2ш получаем область неустойчивости в первом приближении по е: — — ш + —. < ы < — + —. 1, 1 1 1 2 2 '2 2 162) ~р" = е э1пи+...

(соа Х': 1), оР— 1 (63) где многоточием обозначены члены выше первого порядка относительно энсцентриситета орбшлы е. Пля исследования устойчивости движения (63) введем возмущение х по формуле + х 1+ есоаи (64) Подставив это значение 1о в уравнение (37) и. 230 и произведя его лине- аризацию относигпельно х, получим, что с точностью до первой сте- пени е линейное уравнение возмущенного движения будет иметь вид уравнения Иагпье х + [соб + е(1 — соо) соэ и) х = О. доз (65) При значении гэе, близком т/2, возникаегп область неустойчивости.

В соответствии с формулой [62) она задается неравенствами' — — е+ — < ого < — + — е. 3 1 1 3 8 2 2 8" (66) ~Совершенно иа других соображений область неустойчивости (66) получена в гл. 2 книги; Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относитеаьно центра масс. Мл Наука, 1966. ПРимеР 1 (Устойчивость экснентриситегных кОлеБАний тВВРДОРО телА ИА эллиптической ОРБите). В и.

230 найдены плоские периодические колебания твердого тела. вызванные эллилгпичностью орбиты его центра масс. В обозначениях и. 128, 230 эти колебания имеют вид Список литературы [1) Аппель П. Теоретическая механика: В 2-х т. Мл Физматгиз, 1960. [2) Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической лсеханики: В 2-х ч. Мл Наука, 1972.

[3) Валле Пуссен Ш.Ж. Лекции по теоретической механике. Мл ИЛ, т. 1, 1948: т. 2, 1949. [4) Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. Мл Наука, 1966. [о) Ламб Г. Теоретическая механика. Т. 2. Мл Гостехиздат, 1935. [6) Леви — Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. Т. 2, ч. 2. Мл ИЛ, 1951. [7) Ляпунов А. М..Текции по теоретической механике. Киев. Наукова думка, 1982. [8) Раус Э.

Динамика системы твердых тел,. Т. 1. Мл Наука, 1983. [9) Суслов Г.К. Теоретическая механика. Мл Гостехиздат, 1946. Предметный указатель Аксиома взаимодействия 87 — динамики основная 86 — инерции 85, 86 независимости действия сил 87, 88 Аксоид неподвижный 61 — подвижный 61 Амплитуда 185 Аномалия истинная 239 средняя 243 — эксцентрическая 243 Апоцентр 240 Валентность канонического преобразования 339 Вариация 38 Варьирование изознергетическое 482 -- по Гауссу 40., 107 — по Журдену 40, 106 синхронное 38 Вектор Лапласа 238 — амплитудный главного колебания 504 — главный 90 -- -"- сил тяготения 247 — — ударных импульсов 408 Верчение 222, 223 Винт динамический 136 — левый 137 — — правый 137 - .

кинематический 70 — — левый 71 правый 71 Возмущение 514 Вращение 49 -- . мгновенное 57 — стационарное 190 Время абсолютное 19 Герполодия 195 Гироскоп 207 — уравновешенный 210 Движение Эйлера Пуансо 194 — абсолютное 19, 72 — возмущенное 514 — замедленное 24 — импульсивное 406 ---. криволинейное 20 — круговое 20 — мгновенно винтовое 71 — — поступательное 57, 59 — механическое 15 невозмущенное 514 неустановившееся 515 — — установившееся 515 — устойчивое 515 - ассимптотически 515 — относительно центра масс 151 — относительное 71 — переносное 71 плоское 64 --.

поступательное 56 — прямолинейное 20 — равномерное 24 — сложное 71, 72 среднее 24! — стационарное 496 сферическое 52 — ускоренное 24 Действие по Гамильтону 474 .. по Лагранжу 484 Предметный указатель Дельта амплитуды 185 Динама 136 Динамика 16 Диссипация неполная 279 — полная 279 Длина принеденная физического маятника 180 Долгота восходящего узла 244 Задача двух тел 234 — трех тел общая 244 — — — ограниченная 244, 325 — динамики основная вторая 89 первая 89 Закон Кеплера второй 237 — — первый 239 — — третий 241 — Ньютона второй 87 — — первый 85 — третий 87 — Паскаля 115 — сложения сил 87, 88 — сохранении количества движения 158 энергии 168 — — кинетического момента 161 -- трения Кулона 222 Импульс внепших сил 157 — - моментов внешних сил 161 — обобщенный 283 — ударный 406 обобщенный 459 --. --.

сил инерции 437 Инвариант кинематический второй 69 — — первый 69 статический второй 136 первый 136 Инертность 86 Интеграл Лапласа 237 Якоби 288 . общий 359 . первый 156, 314 площадей 236 — полный 359 — эллиптический второго рода 184 второго рода полный 184 первого рода 184 — — первого рода полный 184 — энергии в задаче двух тел 237 -- -- обобщенный 288 Качение 222 Килограмм 87 Кинематика 19 Ковариантность 270 Колебание главное 504 Колебании малые 501 нормальные 504 — экспентриситетные о10 Количество движения 150 Координаты главные 503 криволинейные 27 — — ортогональные 28 нормальные 503 — обобщенные 41 — позиционные 494 Косинус эллиптический 185 Коэффициент восстановления 425 — устойчивости 538 — форм главных колебаний 506 Коэффициенты Ламе 28 Криван геодезическая 485 — фазоваи 181 Критерий Реуса — Гурвица 534 Лагранжиан 274 Линия действия силы 91 — координатная 27 узлов 50 Масса 86 Матрица Гурвица 533 Предметный указатель — симплектическая 339 обобщенно 339 Маятник сферический 329 — физический 180 Мера принуждения !07 Метод Ляпунова прямой 517 Механика 15 --- небесная 234 — опытная 15 теоретическан 15 Множитель 316, 317 последний 321 Якоби 321 --- связи 296 Якоби 316 Модуль эллиптического интеграла 184 — дополнительный 18о Момент гироскопический 212 — главный снл тяготения 245 — — системы сил относительно оси 92 — системы сил относительно точки 92 — ударных импульсов 408 гравитационный 245, 246 инерции главный центральный 146 — осевой 145 — относительно оси 140 — полярный 140 — центробежный 145 инерции главный 146 кинетический системы относительно оси 151 — — относительно точки 91 — — относительно центра 151 — точки относительно оси 150 — — точки относительно центра 150 количества движения системы относительно оси главный 151 — — — системы относительно центра главный 151 — — — точки относительно оси 150 — пары сил 134 пары вращений 80 — силы относительно оси 91 Мощность непотепциальных сил 276 Мультипликатор 546 Наклонение орбиты 244 Пить идеальная 100 Нутация 213 Ньютон 85ь 87 Область возможности движения 182 Определитель Гурвица 534 Ось винтовая мгновенная 70 вращения 49 — — мгновенная 57, 6! — динамической симметрии 191 инерции главная 146 — — — центральная 116 — координатная 28 удара 420 — центральная 137 Пара вращений 80 — сил 133 Параметр винта 70 Переменные Гамильтона 283 — Лагранжа 283 Рауса 293 — действие-угол 371 для задачи двух тел 381 — — длн мантникв 375 — канонически сопряженные 284 Перемещение винтовое 49 — виртуальное 37, 38 --.