1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (Маркеевu), страница 91

Пусть движение происходит в столь малой окрестности начала координат, что последняя не содержит других положений равновесии, кроме а, = уэ = ... = д„ = О, а мощность № непотенциальных сил являетсн определенно-отрицательной функцией обобщенных скоростей. Выбор такой окрестности всегда возможен в силу изолированности и устойчивости положения равновесия а1 = дг = ... = д„= О. Приращение Ь'г' на любом конечном интервале времени Ы отрицательно, так как № = О только при щ = 1г = ... = д„ = О, и в выбранной окрестности вне начала координат эти равенства не могут иметь места в течение конечного времени глс, так как начало координат являетсн изолированным положением равновесии.

Действительно, если бы иа интервале Ы выполнялись равенства уг = уз = ... = с), = О, но не все уд были бы равны О, то, как показано в и. 225, все гироскопические и диссипативные силы Я,*(узч уз) были бы равны нулю и из уравнений Лагранжа второго рода (28) п. 142 следовало бы, з4. Влияние диссииативньва и гиросиоиичесниа сил на устойчивость 537 ЧтΠ— = О (1 = 1, 2в... в П) ВНЕ НаЧаЛа КООрдИНат, т. Е. ИЗуЧаЕМОЕ вп Вув положение равновесия не было бы изолированным. Таким образом, в достаточно малой окрестности начала координат функция 1' монотонно убывает.

С возрастанием 1 она стремится к некоторому неотрицательному пределу Ь. Аналогично и. 234 можно показать, что случай Ь у': О невозможен и, следовательно, Р— 1 О при 1 — ~ со. Но так как Р знакоопределенная функция величин уо д1 (1' = 1, 2,..., и), то отсюда следует, что йт -1 О, в)1 -+ Ов при 8 -) оо. Теорема доказана. 240. Влияние гироскопических и диссипативных сил на неустойчивое равновесие. Пусть положение равновесия консервативной системы неустойчиво. Нельзя ли добавлением диссипативных сил стабилизировать его, т. е. нельзн ли так подобрать диссипативные силы, чтобы неустойчивое при наличии одних потенциальных сил положение равновесии стало устойчивым или даже, может бысть аснмптотически устойчивым7 Ответ на этот вопрос отрицательный.

Введем некоторые вспомогательные понятия. Как и в задаче о малых колебанннх, будем считать, что кинетическая энергия консервативной системы в окрестности положения равновесия является определенно-положительной квадратичной формой относительно обобщенных скоростей: 1 х Т = —, р ам усуи, 2 в, 1=1 (2) 1 х П = — ~~ сп„усу„ 2 .2.л в. Й=1 (3) где сщ постоннные величины. 11вадратичные формы (2) и (3) можно одновременно привести к сумме квадратов при помощи вещественной линейной замены переменных в7 — 1 О (см., например, п.

229, где рассматривались главные координаты и главные колебании консервативной системы в окрестности положения равновесия). В новых перемен- ных (4) в=1 где агя постоянные коэффициенты. Пусть, далее, потенциальная энергия в окрестности положении равновесии у1 = дэ = ... = 11и — О разлагаетсн в рнд по степеням в11, уз, ..., д„ и квадратичная часть этого ряда не равна тождественно нулю. Тогда считаем, что 538 Глава Х1> Величины Л, Пуанкаре предложил называть коэффициентами усгпойчиввсти. Если, как в п. 229, функция (3) определенно-положительна, то все величины Л; положительны и положение равновесия устойчиво. Если же хотя бы одна из величин Л, отрицательна, то положение равновесия неустойчиво".

Число отрицательных коэффициентов устойчивости называется степенью неустойчивости. В лальнейп>ем важна будет не сама степень неустойчивости, а ее четность или нечетность. Пусть С матрица квадратичной формы (3). То> да г(е1 С = Л> Лз... Л„. Отсюда следует, что если де1 С > О, то степень неустойчивости четная (или равняется нулю), а если деь С < О, то стопень неустойчивости нечетная. Теорема 1. Если среди коэффициентов устойчивости хотя бы один является отрицательнь>м, то изолированное положение равновесия ке может бьипь стабилизирована диссипативными силами с полной диссипацией. Доказательство.

Пусть 1г = — Еб = — Т вЂ” П. Тогда 1>сс — № >О., (г) где № --- мощность диссипативных сил, являющаяся по условию теоремы определенно-отрицательной функцией обобщенных скоростей. Приращение й»'' на лк>бом конечном интервале времени Ы положительно; это показываетсн совершенно аналогично тому, как показана отрицательность Гл(г в теореме предь>дущего пункта. Далее, так как среди величин Л,, есть хотя бы одна отрицательная, то в любой сколь угодно малой окрестности начала координат 2п-мерного пространства состояний уб д; (з' = 1, 2,..., и) существует область И > О. Дальнейшие рассуждения аналогичны проведенным в п. 235 при доказательстве теоремы Четаева о неустойчивости.

Итак, диссипативными силами с полной диссипацией стабилизации добиться невозможно. А нельзя ли стабилизировать положение равновесия при помощи гироскопических силу Частичный ответ на этот вопрос содержится в следу>ошей теореме. Будем рассматривать гироскопические силы. линейные относительно обобщенных скоростей. И не только в первом приближении, а дая полных нелинейных уравнений возмущенного движения. что следует из теоремы об устойчивости по первому приближениях так как при наличии отрицательных козффициентов Л, среди корней характеристического уравнении есть и положительные корни. Заметим, что зто является также доказательством сформулированной (но не доказанной) в п.

226 первой теоромы Ляпунова о неустойчивости положения равновесия консервативной системы. З4. Влияние диссипативных и гироскопических сил ка устойчивость 539 Доказательство, Для доказательства невозможности гироскопической стабилизации при нечетной степени неустойчивости достаточно рассмотреть линеаризованную систему уравнений возмущенного движения и показать, что ее характеристическое уравнение и при наличии гироскопических сил имеет хотя бы один положительный корень. В переменных Вг (г = 1, 2,..., и) уравнения движении имеют вид Вг+Л161 = ~~1 ~сьВь (г, = 1, 2,..., п), Ь=1 (6) где 7,ь = — Уы — — постоЯнные величины. ХаРактеРистическое УРавие- ние системы (6) будет таким: +Лз — т Л ...

— уаЛ Л'+Л, ... -у,„Л 71 Л 72пл ° ° ° Л +Л При Л -+ +ос имеем Ь(Л) ь +ос. Но Ь(0) = Л1 Лз... Л„и в силу нечеткости степени неустойчивости Ь(0) < О. Следовательно, характеристическое уравнение имеет хотя бы один положительный корень и, согласно теореме п. 237 об устойчивости по первому приближению, положение равновесия 61 — — Вз = ... = д„= 0 неустойчиво независимо от нелинейных членов в уравненинх возмущенного движения, т.

е. если степень неустойчивости нечетна, то стабилизация 1нроскопическими силами невозможна. Чтобы показать возможность гироскопической стабилизации в случае четной степени неустойчивости, рассмотрим простой пример. Пусть движение системы с двумя степенями свобоцы описывается такими дифференциальными уравнениями: ч1 + Л1Ч1 — ~Уз = О, Уз + Лабаз + ТУ1 = О, (7) где Л1, Лг, 7 -- постоянные величины, Лс < 0 (г = 1, 2). Последние слагаемые в уравнениях (7) представлнют собой гироскопические силы; если они равны нулю, то положение равновесии 61 — — дг = 0 неустойчиво, а степень неустойчивости равна двум. Покажем, что гироскопические силы, т.

е. величину 7 в (7). можно подобрать так, что положение равновесия станет устойчивым. Теорема 2. Если степень неустойчивости изолированного положения равновесия консервативной системы нечетна, то стабилизация его до- бавлениелс гироскопических сил невозможна, если же степень неустой- чивости четна, то гироскопическая стабилизация возможна. 540 Глава ХЪ' Характеристическое уравнение линейной системы (7) имеет вид Лз = Л" + (Л1-Р Л ~- у~)Л +Л1Лз = О. (8) Нетрудно убедитьсн, что при выполнении неравенства ) "ч' — Ль + ч' — Лз (9) Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1. Из рассмотренных в этом параграфе теорем следует, что: 1) добавление диссипативных сил не нарушает устойчивости нли неустойчивости изолированного положения равновесия консервативной системы; 2) добавление же гироскопических сил, не нарушая устойчивости положения равновесии, в некоторых случаях (при четной степени неустойчивости) может стабилизировать неустойчивое положение равновесия; 3) однако если неустойчивое положение равновесии стабилизирована гироскопическими силами, то при добавлении диссипативных сил с полной диссипацией положение равновесия снова будет неустойчивым.

Устойчивость, существующую при одних потенциальных силах, называют вековой, а устойчивость, полученную с помощью гироскопических сил,— временной. ПРИМЕР 1 (УСТОЙЧИВОСТЬ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕ- лл нл кгхтовой огвите). Пусть твердое тело обладает динамической симметрией (А = В), а его центр масс движется по круговой орбите в центральном ньютоновском гравитационном поле. Согласно и.

126 уравнения движения тела относительно центра масс могут быть записаны в виде А — + (С йр дй ду А — — (С ду — А)уг = Оп'(С вЂ” А)аззазз; (10) — А)гр = — 3п (С вЂ” А)аззаз| — "=О, дг корни уравнении (8) чисто мнимые и различны, и, следовательно, при условии (9) пологкекие равновесии у1 —— йз = 0 устойчиво. Теорема 3.

Если изолированное по ьожение равновесия консервативной системы имеет отличнуго от ну и степень неустойчивости, то оно остается неустойчивым при добавлении гироскопических, сил и дисси- пативны л сил с полной диссипацией. 24. Влияние диссипативных и гироскопических сил на устойчивость 341 где р = фя|пдв1исз+ дсовьз+ паы, д = фвзидсояуз — Вя|пуз+ пазз, т = ф соя В+ фз+ пазз. (11) т = то = солви Уравнения движения имеют частное решение (12) д= к/2, ф= к. Для этого частного решения (13) р = О, д = О., сз = — п+ тд. Будем с*сититьч что постоянная то равна нузсю; тогда частное решение (12) отлвечаетл поступательному движению твердого тлела в абсолютном пространстве (в орбитальной же системе координат тело вращается вокруг оси динамической симметрии с угловой скоростью ф = — п).

Рассмотрим устойчивость этого движения тела по отношению к переменным 2)п В, ф, д. Пусть ф а+аз: д Чю ф чз' у=~+Уз, 2 Произведя линеаризацию первых двух уравнений системы (10) и разре- шив их относитлельно старших производных, получим цз = (4 — 3сч)дз + 2уч', уз' = дз — 202. (14) Здесь штрихом обозначено дифференцирование по переменной и = п1 и введено обозначений сч = С~А.

Так как моменты инерции удовлетворяют неравенству треугольника А+ В > С, то 0 < сс < 2. Первые слагаемые в правых частях уравнений (14) являются потенциальными силами. порождаемыми потенциалом П = — — (4 — 3сч)д — — й, 1, 2 1 2 2 ' 22' (15) В уравнениях (10) и (11) п —. среднее двинсение центра масс тела по орбите, а вели ины а;з выражаются через углы Эйлера ф, В, р по формулам (3) л.