1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (Маркеевu), страница 92

19. ХХз третьего уравнения системы (10) следует, что имеет место интеграл 542 Глава Х1т а последние слагаемые представляют собой гироскопические силы. Если бы гироскопические силы отсутствовали, то положение равновесия дт = дэ = О (оно отвечает невозмущенному движению (12)) было бы неустой"швым, причем при тт < /з степень неустойчивости четная, а лри 4/3 < ст < 2 нечетная. Поэтому из теоремы 2 следует, что лри 4/ < ст < 2 гироскопическая стабилизация невозможна, и, следовательно, в этом случае движение (12) неустойчиво по Ляпунову.

Из той же теоремьс 2 следует, что при а < 4/ гироскопическая стабилизация в принципе возможна. Птобы узнать, осуществляется ли ока в рассматприваемой задаче, при заданных конкретных гироскопических силах, рассмотрим хариктеристическое уравнение системы (14) Л + (Зтт — ЦЛ + (4 — За) = О. (16) При выполнении системы неравенств Зы — 1 > О, 4 — Зтт > О, (Зы — 1)э — 4(4 — Зст) > О (17) корни уравнения (16) будут чисто мнимыми и, следовательно, движение (12) будет устойчиво в линейном приближении по отношению к переменным 4/з, д, т/и У.

Если же хотя бы одно из неравенств (17) имеет противоположный смысл, то у уравнения (16) будут корни с положительными вещественными частями и движение (12) неустойчиво по Ляпунову. Система неравенств (17), как нетрудно проверить, приводится к виду 1 < а < —,. 4 3' (18) тСмз Маркесе А. П. Резонансные аффекты и устойчивость стааионарньтт аражений спутника // Космические иссаедоаании. 1967. Т. 5, 563. а. 365.-375. Следовательно, в нашей конкретной задаче в случае четной степени неустой сивости при выполнении условия (18) гироскопическая стабилизация осуигеств яется, а при а < 1 — нет.

Таким образом, показано, что лостпупательное движение твердого тлела на круговой орбите при сс < 1 и сс > 4/э неустойчиво по Ляпунову, а при 1 < ст < 4/э оно устойчиво в линейном прибэшжении. Более детальное исследование позволяет показать, что на самом деле при выполнении условия (18) движение будет устойчиво по Ляпунову не только в линейном приближении, но и в рамках полных нелинейных уравнений возмуизенного движения'. сой12 ГЛ оц Об устойчивости гамилътоноеыз систем В 5. Об устойчивости гвмильтоновых систем 241. Общие замечания. Пусть дифференциальные уравнения возмущенного движения записываются и виде системы уравнений Гамильтона — — = — 0=1 2 ) йу Эру' 11 Оду Считаем, что функцлля Гамильтона аналитична в окрестности точки св = ру = О (у' = 1, 2,..., в) и представима в виде ряда Н = Нг + Нз + Нл +..., (2) где Нт — формы степени т относительно угь ру (у = 1, 2,..., и), коэффициенты которых постоянны или 2я-периоднчны по 1.

К рассмотрению системы (1) приводит многие задачи об устойчивости движения в потенциальном поле сил. Решение задачи об устойчивости невозмущенного движения (ему отвечает решение щ = ру = О 0 = 1, 2,..., п) системы (1)) зависит от свойств функции Гамильтона. Очень просто вопрос об устойчивости решается в том случае, когда время 1 не содержится в уравнениях (1), а функция Н является знакоопределенной в окрестности точки уг = рг = О Ц = 1, 2,..., и).

В атолл случае функция Н будет интегралом системы (1) и невозмущенное движение устойчиво. Этот вывод непосредственно следует из теоремы Ляпунова об устойчивости; для применения этой теоремы в качестве функции Ляпунова 1г можно принять функцию Н. Если же функция Н не является знакоопределенной илн зависит от времени, то задача об устойчивости стаповитсн весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому невозмущенное движение не может быть асимптотичоски устойчивым; в системах, описываемых дифференциальными уравнениями Гамильтона, возможна либо устойчивость, либо неустойчивость.

Следовательно, если линеаризованные уравнении не дают строгого решенин вопроса об устойчивости (как, например, в случае установившихся движений при наличии у характеристического уравнения хотя бы одного корня с положительаой вещественной частью), то возникает необхоцимость рассмотрения нелинейных членов в уравнениях (1), т. е. мы имеем критический случай теории устойчивости. В этом параграфе мы рассмотрим некоторые вопросы теории устойчивости движения в системах, описываемых гамильтоновыми дифференциальными уравнениями.

При этом ограничимся случаем, 544 Глава Х р ~Ы Ж вЂ” =ЛНж, в = (х1,..., ж„, е„+1,..., жз„), (3) где лв, ж„вд (й = 1, 2,..., и) - канонически сопряженные переменные (хь — координаты, як+в — импульсы). Квадратная матрица Л порядка 2я имеет вид Ев (Л = Л = — Л., Л = — Ез„., 11е1Л = 1). (4) ΠΠ— Е„ П системе (3) Н вЂ” вещественная симметрическая матрица порядка 2п. Она либо постонпна, либо является непрерывной 2я-периодической по й Пусть матрица Н в системе (3) постоянна. Рассмотрим характеристическое уравнение (5) р(Л) = де1(ЛН вЂ” ЛЕ2 ) = О.

Как показано в и. 189, многочлен р(Л) — четная функция Л. Поэтому если уравнение (5) имеет корень Л = а с отличной от нуля вещественной частью, то система (3) неустойчива, так как либо сам этот корень, либо противоположный ему по знаку корень Л = — а имеет положительную вещественну1о часть.

Согласно теореме об устойчивости по первому приближению (п. 237), в этом случае неустойчива и полная нелинейная система уравнений возмущенного движения (1). Таким образом, для устойчивости системы (3) необходимо, чтобы корни ее характеристического уравнения (5) были чисто мнимыми. Это условие будет н достаточным, .если дополнительно потребовать, чтобы матрица ЛН приводилась к диагональной форме. 243. О линейных системах с периодическими коэффициентами.

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений (О) Теория устойчивости нелинейных гамильтоновых систем изложена о работах: Арнольд В. И. Малые знаменатели и кроблемы устойчивости движения в классической и небесной механике О УМН, 1963. Т. 18, выи. 6. С. 91 — 192; Мозер Ю. Лекции о ~амиаьтоновых системах. Мс Мир, 1973: МарксевА.Н. Точки либрадии в небесной механике и космодинамике.

Мс Наука, 1978. когда уравнения возмущенного движецнн (Ц липейные1. Часто вместо термина «устойчивость невозмущенного движения» мы будем применять термин «устойчивость системы (1)» или просто «устойчивость гамильтоновой системы»ь 242. Устойчивость линейных гамильтоновых систем с постоянными коэффициентами. Запишем линейную гамнльтоцову систему дифференциальных уравнений в матричной форме (см. и. 189) 545 Ч б. 06 устойчивости гамильтоновых систем где А(1) непрерывнаяс 2сг-периоднческая по 1 вещественная матрица. Структура решений системы (6) описывается сведующей теоремой Флаке. Теорема.

Для сисгпе им (6) фундилентальния матрици решений Х(1), нормированная условиел Х(0) = Е г представила в виде Х(с) = Ъ" (1)свс (7) где В . - постоянная матрица, а Ъ'(1) непрерывно дифференцируелац 2и-периодическая по 1 матрица. Доказательство. Заметим прежде всего, что так как Х(1) — фундаментальная матрица решений уравнений (6), то, в силу 2к-пернодичности матрицы А(С), фундаментальной будет также матрица Х(С+ 2я). А это означает, что справедливо равенство Х(1+ 2к) = Х(1)С, (8) где С вЂ” постоянная матрица. Положив в равенстве (8) 1 = О, получим, что С = Х(2к).

Таким образом, (9) Х(1+ 2сг) = Х(1)Х(2к). Так как Х(1) — фундаментальная матрица решений, то с1еьХ(2я) ф О, и, следовательно, для матрицы Х(2к), как и для всякой невырожденпой матрицы, существует логарифмс и поэтому она представима в виде: Х(2сг) = с и (10) Теперь полоским ьг(1) — Х(с)е — вс (11) Тогда сг(с+ йп) — Х(с+ 2,„)е — з в — вс— = Х(1)Х(2я)е зхвс вс = Х(1)е в' = Ъ'(1). Таким образом, матрица Ъ (1) 2к-периодична, а из (11) следует, что она непрерывно дифференцируема. Из (11) следует также, что фундаментальная матрица решений Х(1) представима в виде (7).

Теорема Флаке доказана. сом. га, 8 книги; ГантмахерФ.Р. Теория матриц. Мя Наука, 1967. Глава Х р Для дальнейшего введем некоторые определения. Собственные числа Л. матрицы В называются характеристическими показателями системы (6). Собственные числа р матрицы Х(2а.) называются мультипликаторами системы (6). Из формулы (10) следует, что р:=е г -ь. (12) илн Лд = — (1п~р ~+ гагар;+ г2кк) (й = О, х1, х2,...).

(13) Характеристическое уравнение матрицы Х(2к), т. е. ураннение (14) дог(Х(2х) — рЕж) = О, называется хирантеристичвсним уравнением системы (6). Отметим без доказательстваг два утверждения о характеристическом уравнении (14): 1) характеристическое уравнение не зависит от выбора фундаментальной матрицы решений; 2) характеристическое уравнение не изменится, если систему (6) подвергнуть невырожденному линейному преобразованию с 2х-периодической матрицей. Система (6) называется приводимой, если существует замена пере- менных х = Ь(с)у, (15) такая., что система (6) преобразуется в систему с настоянными коэффициентами, а 2к-периодическая матрица Ь(Г) — непрерывно днфференцируеман. ограниченная при всех 1, и такими же свойствами обладает обратная матрица Ь г(1).