1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (Маркеевu), страница 93

Имеет место следующая теорема Ляпунова. '1'еорема. Линейная система (6) с непрерывной периодической матрицей А(1) нриводима. Доназатвльсглвв, Примем за матрицу 1 (с) преобразования (15) матрицу ьг(1), определенную равенством (11). Она непрерынно дифференцнруема и ограничена при всех 1 вместе со своей обратной. Остается только показать, что преобразованная система будет системой с постоянными коэффициентами.

В этом легко убедиться, подставив х = Х(с)е веу (16) 'Доказательство можно найти, например, в гл. 6 книги: Малкин И. Г. Теория устойчивости лвкжекии.мп Наука, 1966. 647 З о. ОЛ устойчивости голшгатоновмз сиотвл в систему (6). Произведи выкладки. получим (17) Из формулы (17) видно, что характеристические показатели суть корни характеристического уравнения преобразованной системы. Ясна, что задачи об устойчивости систем (6) и (17) эквивалентны. Поэтому система (6) устойчива тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы принадлежат замкнутому единичному кругу ~р~ < 1, причем в случае существования кратных мультипликаторов, лежащих на окружности ~р~ = 1, матрица Х(2х) приводится к диагональной форме. 244.

Устойчивость линейных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. Пусть в системе (3) матрица Н явлнетсн непрерывной 2я-периодической по 1, вещественной симметрической матрицей. Задача об устойчивости линейных гамильтоновых систем обладает рядом специфических особенностей по сравнению с задачей об устойчивости общих линейных систем, рассмотренных в предыдущем пункте. Эти особенности вытекагот из теоремы Ляпунова— Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами.

Прелгде чем сформулировать теорему, введем определение. Урав- нение 7(з)— : аог™+ очам +... + а, га+ ат = 0 (ао ф 9) (18) 1(а) г— в з'",7( — ) (з ф О). (19) И наоборот, если имеет место тождество (19), то уравнение (18) воз- вратное. Из тождества (19) следует, что возвратное уравнение нечет- ной степени обязательно имеет своим корнем число з = — 1.

Если т четное число, то при помощи подстановки ы = 3+— 1 возвратное уравнение сводитсн к уравнению степени т~2 относитель- но ы. называется воэвритныл, если коэффициенты его, равноотстонщие от крайних членов, равны между собой, т. е. если в (18) аэ = а,„э. Для возвратного уравнения имеет место тождество 548 глава Ху Имеют место следуя>щие легко провернемые свойства корней возвратного уравнения: если у него есть корень г = 1, то кратность этого корни четная; если есть корень г = -1, то его кратность четная при четном т н нечетная при нечетном т: если уравнение имеет корень гь ф м1, то опо имеет н взаимно обратный корень гз = 1/гь той же кратности.

Теорема (Ляпунова — Пуанкаре). Характеристическое уравнение (14) линейной гамильтоноеой системья (3) с 2я-периодической по 1 матрицей Н(г) возвратное. Доказательство. Так как преобразование фазового пространства, задаваемое движениями гамильтоновой системы, нвляется унивалентным каноническим преобразованием, то (см.

п. 171) матрица Х(1) фундаментальных решений системы (3) является снмплектической, т. е. при всех 1 справедливо равенство Х'ЛХ = Л. (20) Так как Х(0) = Ег„, то из (20) следует. что при всех 1, в том числе и при 1 = 2я, деб Х = 1, Рассмотрим следующую цепочку тождеств: 1(Р) = йес(Х(2Я) — РЕго) = деФХ(2Я)(Его — РХ '(2к)) = : — йеФ(Его — рЛ ьХ'(2я)Л) = деуЛ ~ беФ(Его — рХ'(2я)) беСЛ = : — дос(Ез„— рХ(2к))' = беЬ(Ез„— рХ(2я)) = : — Рг" дех(Х(2зг) — -Е „) = Р~ Х(рч Отсюда следует, что характеристическое уравнение (14) возвратное, и теорема Ляпунова"Пуанкаре доказана.

Укажем важнейшие следствии втой теоремы. Следствие 1. Линейная гамильгпоноеа система (3) устойчива тогда и только тогда, когда осе ее мультипликаторы р расположены на единичной окружности ~р~ = 1 и матрица Х(2я) приводится к диагональной у1орме. Следствие 2. Мультипликаторы р и 1~уз. имеют одиникоеую кратность.

Следствие 3. Есзт характеристпическое уравнение (14) имеет ко- рень р = 1 или р = — 1, то эти корни и кеют четную кратность. 54>9 5 оц 06 устойаиеости гажилыпоновых сисгпеж Н =,— > аа(уй+ уп ь). й=> (21) Ограничимся только описанием алгоритмической части процедуры построения матрицы 1 (1) '. Пусть Х(1) — фундаментальная матрица системы (3), нормированная условием Х(О) = Ез„, а тд и ал — действительная и мнимая части собственного вектора матрицы Х(2л), соответствующего мультипликатору рд. Векторы гь и вь удовлетворяк>т системе линейных уравнений (Х(2к) — соз 2я>тйЕз„)гь + з>п2яалвь = О, — Мп 2тгггй гй + (Х(2я) — соз 2яг>дЕзо) вь — — О.

(22) Нз этой системы векторы ц,. и вд определян>тся с точностью до посто- янного множителя. Нормируем их так> чтобы выполнялось равенство 4(г, Лвь) = 1 (й = 1, 2,..., в). (23) Такая нормировка всегда возможна. При проведении нормировки в слу- чае необходимости (как и в и.

188) следует соответствующим образом выбирать знаки величин ил в фушгции Гамильтона (21) нормализован- ной системы. > колее подробное изложение можно найти в статье: Маркеевд. П. О нормализации гамильтоновой системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами >г,г ПММ. 1072. т, 86, вып. 6. С. 806 — 810. 245.

Алгоритм нормализации гамильтоновой системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Снова рассмотрим систему (3). предполагая матрицу Н(г) вешествеиной и непрерывной 2я-периодической по 1. Согласно теореме Ляпунова, система (3) приводима. Но матрица 1 (1) замены переменных (15), приводящей систему (3) к системе с постоянными коэффициентами> определяется неоднозначно. Опишем алгоритм построения такой матрицы Ь(1), чтобы соответствующее ей преобразование (15) было вещественным. каноническим, 2п-периодическим по 1 и приводило бы систему (3) к нормальной форме. Будем предполагатгн что характеристические показатели >гь системы (3) чисто мнимые (Ад = >ого где > — мнимая единица, аь — вещественные числа). Мультипликаторы рл = ехр(>2япй), р„фь = ехр( — 12яай) (й = 1, 2,..., п) считаем различными.

Как и в п. 189 в случае линейной гамильтовой системы с постоянными коэффициентами, нормальной формой 2п-периодической по 1 системы (3) мы называем такую линейную систему, которой отвечает функция Гамильтона 550 Гаава Хр После нормировки векторов гь и аь образуем постоянную квадратную матрицу Р порндка 2л. Ее й-м столбцом возьмем вектор — 2аь а (и + й)-м — вектор 2гл.

Образуем, далее, квадратную матрицу Щ) порядка 2о. Она имеет такую структуру: 1) ()) — Г) (т) С1(1) = 1Эз(1) 1Э,(1) (24) где Р~(г) и Рз(1) диагональные матрицы вида зш о.18 соа о.11 13 (1) = в (т)= а|п аа1 соз о.„г (25) Матрица 1(г) искомого нормализующего преобразования (15) запнсы- ваетсн в виде произведения трех матриц 1 (1) = Х(С)РГ4(1). (26) Н = Н~о) + ан( ) + е и ' ) +... (27) где НМ, НО), Н)з),... -- квадратичные формы переменных жы зз,..., жза, причем коэффициенты формы Н постоянны, )о) а коэффициенты форм НИ), Н~з),... — непрерывные вещественные функции г с общим периодом 2х. Кроме того, козффицненты форм НЩ), НО), Н)~),...

зависит от одного нли нескольких параметров. Фактическое построение матрицы (26) возможно, как правило, только на вычислительной машине. 246. Задача о параметрическом резонансе. Линейные гамильтоновы системы, содержащие малый параметр. В прнложенинх матрица Н(1) системы (3) обычно зависит от одного или нескольких параметров. Задача о параметрическом резонансе дли системы (3) состоит в определении тех значений параметров, прн которых ее характеристическое уравнение (14) имеет корни (мультипликаторы) с модулями, большими единицы. Иными словами, зта задача состоит в нахождении тех значений параметров, при которых система (3) неустойчива. Ограничимся рассмотрением того частного случая, когда функции Гамильтона Н, соответствующая системе (3), представляется в виде сходящегося ряда по степеням малого параметра ж 'З' б.

Об усгнобчивосхчи галилътоновых систем Рассмотрим зависимость мультипликаторов системы (3) (а следовательно, и ее характеристических показателей) от малого параметра в. Так как правые части системы (3) аналитичны по а, то и фундаментальная матрица решений Х(Г,, а) также аналитична по е.

Отсюда следует, что коэффициенты характеристического уравнения (14) — аналитические функции ж Но мультипликаторы (и характеристические показатели) не обязательно аналитичны. Они будут обнзательио аналитическими, если характеристическое уравнение при я = О имеет только простые корни. Если же при е = О уравнение (14) имеет кратные корни, то аналитичность его корней относительно е при а р': О может не иметь места.

Отметим, однако, что независимо от наличия при е = О кратных корней корни уравнения (14) при е ~ О, во всаком случае, непрерывны по е.' При а = О система уравнений (3) имеет постоянные коэффициенты. Как установлено в и. 242, прн наличии хотя бы одного корни характеристического уравнения (5) с отличной от нуля вещественной частью система (3) неустойчива. В этом случае уравнение (14) при а = О имеет хоти бы один корень, модуль которого больше единицы. Ввиду непрерывности мультипликаторов относительно а характеристическое уравнение (14) при достаточно малых я также имеет корень, модуль которого превосходит единицу, и, следовательно, система (3) при достаточно малых а неустойчива.