1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (Маркеевu), страница 94

Как видим, в этом случае задача о параметрическом резонансе проста и неинтересна. Пусть теперь при е = О характеристическое уравнение (5) системы (3) имеет только чисто мнимые корни Ыод (й = 1, 2,..., и). Тогда уравнение (14) при е = О имеет только такие корни (мультипликаторы), модули которых равны единице. Изучим поведение мультипликаторов при малых е, отличных от нуля.

Сначала рассмотрим случай, когда при а = О нет кратных мультипликаторов, т. е. когда, согласно (12), выполняются неравенства ол ~ сч ~ Дг (Й,1 = 1, 2,..., п; Дг = О, ~1, ~2,...). (28) В силу непрерывности мультипликаторов, они останутся некратными и прн достаточно малых а, отличных от пула. Кроме того, прн достаточно малых е мультипликаторы не могут иметь модулей, больших единицы. Этот важный вывод является простым следствием теоремы Ляпунова Пуанкаре о характеристическом уравнении (14) системы (3) (и. 244). Согласно этой теореме, мультипликаторы расположены симметрично относительно единичной окружности.

При малых а мультипликаторы не могут сойти с окружности, не нарушив указанной симметрии. Пм. ко этому доводу монографию: Малкин И.Г. Некоторые задачи теории неаинойных ноаебаний. Мс Гостехиздат, 1966. дд2 Глава ХЪ' Рл Рис. 177 Действительно, рассмотрим для наглядности случай п = 2. Характеристическое уравнение (14) будет уравнением четвертого порядка. Пусть рт (7' = 1, 2, 3, 4) — его корпи прн с = О. Будем изображать их на комплексной плоскости р (рис.

177, а). Пусть при малых в один из корней, например ры сошел с окружности и стал по модулю больше единицы. Из-за вещественности коэффициентов уравнения (14) комплексно сопряженный корень Р с необходимостью сместился бы в точку, симметричную относительно вещественной оси. А так как число всех корней равно четырем и смещения корней рз, р при малых а малы, то у сместившегося корня Рз не оказалось бы обратного по величине, что противоречит теореме Ляпунова — Пуанкаре. Таким образом, если при в = О кратные мультипликаторы отсутствуют или, что то же, выполняются условин (28), то система (3) при достаточно малых значениях а устойчива. Если же при а = О существуют кратнзле мультипликаторы, расположенные в некоторой точке А единичной окруж ности, то при а ~ О они могут, вообще говоря, сойти с окружности.

При этом опн могут расположиться как изображено на рис. 177, б, и симметрия мультипликаторов относительно единичной окружности не будет нарушена, Но смещение мультипликаторов с единичной окружности происходит не всегда, н, следовательно, в случае кратных мультипликаторов система не обязательно неустойчива при а ф. О. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Предположим, что характеристические показатели Ыь прн с = О таковы, что все величины пь (й = 1, 2,..., и) различны.

Тогда, согласно п. 189, при а = О систему (3) при помощи линейной вещественной канонической замены переменных можно привести к нормальной форме. В новых переменных функция О® приведется к форме (21) и 553 'З б. Об устойчивости гамильтоновых систем функция Гамильтона (27) запишется в виде Н = — ~~» аа(уз + уз ь) + гНОО + ГзН!21 +..., (29) где Н!'1, НГзз,... — квадратичные формы от новых переменных у!» ув,... » уз„с непрерывными 2к-периодическими по 1 коэффициентами.

Задачи о параметрическом резонансе в старых и новых переменных эквивалентны. По теперь существенно, что величины аь в (29) имеют вполне определенные знаки, полученные в процессе нормализации системы (3) при х = О. Сформулируем без доказательства! следующее утверждение. Теорема. л7лгя достаточно л»алвгх г линейная система с функцией Гамильтона (29) устойчива тогда и только тогда, когда величины а не связаны соотношениями ой+ а! =.'Ч (Й»1 = 1, 2,..., и; Х = О, ш1» х2,...).

(30) Иными слоеими, знак минус а соотношениях (28) можно опустить, а при выполнении хотя бы одного иэ равенств (30) всегда можно так подобрать функции Н!»1, НГ2»,... в (29), что система будет неустойчива. 247. Нахождение областей параметрического резонанса. Пусть величины аь в функции Гамильтона (29) зависят от некоторого параметра н. И пусть при о = гве выполняется хотя бы одно из соотношений аь+а»=Х (Й»1сс1, 2,...» и; ГЧ=~1, х2,...). (31) Когда равенство (31) выполняется при й =1, т. е. когда (32) 2»уй = ГЧ, то говорят, что имеет место простой резонанс.

Параметрический резонанс, для которого в (31) к ф 1, называется комбинационным. Покажем, что при условии (31) для сколь угодно малых значений г может существовать область неустойчивости, и найдем ее границы с точностью до первой степени г вклк»чительно. Кудем предполагать, что и = 2 и что при г = 0 выполняется одно из резонансных соотношений (31). Доказательство мо»кно найти в статье: ШМовег.

Нек аврег!в ш ГЬе !Ьеогу ог вьаЬ»щу ог Наппиоп!ап вуввош Н Соппп. Рше Арр!. МаьЬ. 1958. Ч. 11, ага 1. Р. 8 1 — 114 и в монографии: Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения.— Мл Наука, 1972ь Глава Х1Г Пусть в (29) квадратичная форма Н~П записана в виде Н = Л~~ 7ь1 гр1рг(1)уг 'Чг Уз ул (р = рз + рг + Рг + Рг) ° (33) Будем считать, что функции й,„гр,р.,(1) в их представлении в виде рядов Фурье не содержат нулевых гармоник; в противном случае часть НП1, не зависящую от 1, мы включили бы в Н~о~.

Найдем область изменения параметра о вблизи резонансного значения гго, длн которой линейная система дифференциальных уравнений, соответствующая функции Гамильтона (29), неустойчива. Предполагаем, что при а = оо выполнено неравенство п1ил + а~) ф 19 Йг Ч1 = Уз+гуж Р1 = Уз — 1Уы Чг — ув + Муг1 Рг = уз — гуг. (34) Новая функция Гамильтона равна 21Н. Разлагая аь(а) в ряд в окрест- ности точки ов, получаем 2гН = гггз(гго)ЧгРз + гаг(сго)Чгрг + (дог Заг ~ ч ж иг р1 рг +г(гг оо) ) 1 Чзрг+ ~ Чгрг)~+в~' а онр ргЧг Чг Рг Рг +''' ~ 1оо 4~о г =г (35) Здесь многоточием обозначены члены пе ниже второго порядка малости относительно а и о — ао. Комплекснозначпые козффициенты а, гр„„ линейным образом выражаются через Ь„,„,р,р,.

Сделаем замену переменных Чл, Рл — ~ Ч„',, р'„согласно формулам Ч. = дЯ л Н (9=1, 2), (36) Будем применять методы теории возмущений, рассмотренные в з7 гл. Х1. Нахождение областей неустойчивости основано на нескольких следующих одно за другим канонических преобразованинх, приводящих функцию Гамильтона 129) к некоторой простейшей форме, отражающей резонансный характер задачи и позволяющей весьма просто построить искомые области неустойчивости. Сначала введем комплексно сопряженные канонические переменные Чл, Рл (к = 1, 2) по фоРмУлам 555 5 5. 06 усснолииеости галгильтоновыз систелг где производящая фуикция Я имеет вид Ч1Р1 + 02Р2 + аИ вЂ” Ч1111 + Ч2Р2 + с~ го гргргрг% Ч2 Р1 Р2 г =2 (37) Функции щ„г„гр,рг подберем 2я-периодическими по С и такими, чтобы в новой фуикпии Гамильтона Н' = 21'Н+ —, дС (38) Чи=чи — —,, Ри=р.+ —, (Со=1, 2), дИ' дИ' (39) ори оЧ1 где в функции И' перемениые Чи заменены ка Ч,',.

Из (35) и (37) — (39) получаем выражение для коэффициента при первой степени а в П' Е I г~~ гиг /Рг срг П вгигюргыС% Чз Р1 Рз о=2 грг гиг грг = ~И' + ~~' С' гогргрг(С)Ч1 Чз Р1 Р2 (40) о=2 где 1,' дЧ,', " дР'„ Приравняв в тождестве (40) коэффициенты при ЧьсиЧ2"'Р',Р'Р' Р', полу- чим ДиффеРеиЦиалыюе УРавнение ДлЯ ьо„„,р,р,г + 1(иь(Р1 Р1) + из(Р2 — Рз)]т,„,р,р, (41) дС I П г гогрягг аг гогрыгг Если ввести обозначение (42) 5 = а1(Р1 — Р1) + ссз (Рз — Р2) и для простоты записи у функций, входящих в уравнение (41), не писать индексы, то его общее решение может быть записано в виде ьо(С) = 1о(0)е гьь + е гьг / сг «(аг — и) 11л. о (43) члены порядка е приняли по возможности наиболее простой вид.

Из (36) и (37) получаем явный вид преобразования Чи, РС вЂ” 1 Ч', Р', с точностью до членов порядка с включительно: Глава ХР Из (43) видно, что если число Ь не целое, то при любой функции а'(?) решение ш(?) уравнения (41) 2я-периодическое при условии ги иг(0) =,г„ь ~с (а — а) ?? о Таким образом, если число Ь пе целое, то в (40) можно пологкить а?(?) = О. Если же число Ь целое, то при а'(?) = 0 периодического решении уравнения (41), вообще говоря, не существует. Для существования периодического решения следует функцию а'(?) выбрать вполне определенным образом, именно надо пологкитчч что а(1) =се где (44) с = — е' а(?) а?, 2я ? о и периодическое решение уравнения (41) будет иметь вид и>(?) = ш(0)е ил+ с '~о 4? (с — а(х)е'~г) йс о при произвольном значении и>(0). Пусть при о = оо имеет место комбинационный резонанс аг(оо) + аг(оо) = ?г'.