1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (Маркеевu), страница 6

1, Вк Ву/ Отсюда, ввиду независимости величин х, фг получаем равенства — +Зк р — = О, — = О, — = О. В1 В1 д1 В1 дю ду ' др ' д1 Обозначением 11г, о, 1) мы пользуемсн для краткой записи функции 11гы..., гч, пы.,., оч, с). Функцил г имеет в общем случае аж + 1 аргументов: Злг координат к, р, л точек Р„, ЗМ проекций их скоростей л„, у„, 3 и время 1.

Функцию Г предполагаем дважды непрерывно дифференцируемой. 'г 3. Общие основания кинематики системьг Ввиду произвольносгпи угла гр из этих равенств следует, что частные производные функции 1' по всем ее аргумент м равны пулю, т, е. 1" не зависит от х, у, гр, 1. Следовательно, предположение об интегрируемости связи у = хтягр неверно.

Неинтегрируемость связи в рассматриваемой задаче можно показать А' С' В' без вьтислений, а исходя только из простых геометрических соображений. С„ А, С, В Во-первых, из уравнения связи следу- А, ет, что в случие ее интегрируемости в уравнение эквивалентной геометричес- О" кой связи вре я 1 явно не должно входить, и угол гр обязительно доггжегг вой- В" А" О ти, т. е. эквивалентная геометрическая связь должна записываться в ви- Рис, 11 де 1(х, у, гр) = О, где функция 1' не до гжгга бьгть тождественно ривной пулю при произвольньгх фиксированньгх значениях и, у. Во-вторьгх, движение конькаг при котором его точка С перемещается по окружности с центром, лежащим на перпендикуляре к полозу конька в точке С, не нарушает связи у = хьауг, тик как при таком движении скорость точки С направлена вдоль полоза конька. Пусть в начальном положении конюса х = хо, у = уо, гр = гро, а в конечном;с =:сгг у = уг, гр = грг.

Если связь интегрируема и записывается в виде з'(х, у, гр) = О, то з (хо, уо гре) = О и з (хг., уг, угг) = О, так как уривнение связи должно выполняться в любом положении конька. На рис. 11 показана одна из многих возможных траекторий точки С при движении конька из нач лысого положения в конечное. На этолг рисунке ОСо -~ АоВо, ОС' 1 А'В'. ОСг 1 АгВг, ОвО 1 АоВ", ОгСг = ОгОг Ог'Сг = Ог О. Перемещение конька из начального положения в конечное происходит так, что точка С конька (обозначенная на рис. 11 в разных положениях символа.ки Со, С', О, Сг) опочила движется по дуге СотС' окружности с центром О, затем по дуге С'пО окружности с центром 0' и, наконец, по дуге ОрС, окружности с центром О".

Если зафиксировать конечные координаты хг, уг точки С, а конечное значение угла грг изменять в некотором интервале. то в этом интервале 1(хг, уг, грг) = О. Ног согласно сказанному выше, функция 1 не может тождественно равняться нулю при произвольных фиксированных значегшях х, у.

Противоречие говорит о неинтегрируелгости рассматриваемой дифференциальной связи. Если на систему материальных точек не наложены дифференциальные неинтегрируемые связи, то она называется голономной. Если Глава 1 же среди свнзей, налшкенных на систему, есть дифференциальные не- интегрируемые связи, то система называется неголономной. В дальнейшем, при изучении движении неголономных систем, мы будем предполагать, что соответствующие им дифференциальные связи линейны относительно проекций х, р, г„скоростей точек системы. Как геометрических, так и дифференциальных связей, наложенных на систему, может быть несколько.

Таким образом, в дальнейшем мы будем изучать двиягение свободных механических систем или несвободных систем со связнми, аналитическое представление которых имеет вид у ~г„, «) = О (о = 1, 2,..., т). од ° о +ад — — 0 (««=1; 2 ° ° .в) ° (2) «=1 Векторы ов и скаляры ад — заданные функции от т1, гг,..., гг«и «. В частных случаях т и в могут быть равными нулю. Геометрические свнзи называкгтся стационарными, или склвроиомными, если «не входит в их уравнения (1).

Дифференциальные связи (2) называются стационарными или сялероивмиыми, если функции од„не зависят явно от «, а функции ар тождественно равны нулю. Система назынается сялероявмпвй, если она либо свободная, либо на нее наложены только ствционарн«ае связи. Система называется ревпвмпой, если среди наложенных на нее связей есть хотя бы одна нестационарная. Коммкитлаий 2. В примере 1 рассмотрена голономпая сялеропомная, в примере 2 — гвлвнвлгная ревномная, в примере 5 — негвлополгная сялервиомиан системы. 11. Ограничения, налагаемые связями на положении, скорости, ускорения н перемещения точек системы.

Точки несвободной системы не могут двигаться в пространстве совершенно произвольно. Их совместимые со связями (допускаемые связями) координаты, скорости, ускорения и перемещения должны удовлетворять некоторым соотношениям, вытекающим из уравнений связей (1), (2). Пусть задан какой-то момент времени « = «'. Положения системы. для которых радиусы-векторы г = г' точек, образун«щих систему, удовлетворяют уравнениям геометрических связей (1), назовем возможными положениями системы для денного момента времени. Свнзи налагают ограничения и на скорости точек системы. Чтобы записать зти ограничения в аналитической форме, продифференцируем обе части (1) по времени, считая г„функциями «.

Тогда получим 35 5 о. Общие основания кинематики системы следующие дифференциальные связи, вытекающие из геометрических связей (1)1 ° и, + и В (а = 1, 2,..., и). д1 д1 (3) и=1 Совокупность векторов е = и,*, удовлетворяющая линейным уравнениям (2) и (3) в возможном для данного момента времени положении системы, назовем возмолсными скоростями для этого момента времени.

Для получения аналитического выражения ограничений, налагаемых связями на ускорения точек системы, продифференцируем равенства (3) и (2) по времени. Имеем' 1т дУ м дз ( 1ч д2У 32 У (4) (а = 1, 2,..., дар д ан'ии+ га и=1 г), да,1, Я дар д 'еи+ 2 д 'ги+ 1 2'аб ° ш + г .р=1 (5) дар + и О И=1, 2,..., л). 1при получении ревенстн (1) — 15) предполегвется, что соответствующие производные функций т„, аа„и ад существуют и непрерывны. Совокупность векторов та = то', удовлетворяющая линейным уравнениям (4) и (5) при возможных длн данного момента времени положении и скоростнх точек системы. назовем возмолсными ускорениями длн этого момента времени.

Заметим, что величину 3% — 1 — л следует считать положительной, твк как в противном случае ограничении, налагаемые связями, бьщи бы настолько жесткими, что согласоввнное со связями движение точек материальной системы было бы либо вообще невозможным, либо должно было происходить по заранее заданному закону во времени. Поэтому число линейных уравнений, определяющих проекции возможных скоростей и ускорений, превосходит число этих проекций. Следовательно, для данного момента времени существует бесконечное множество возможных скоростей и„' и возможных ускорений п1*. Пусть в данный момент времени 1 = 1* система находится в каком- либо положении, определяемом радиусами-векторами г„= г', и имеет какие-то возможные скорости и' и возможные ускорения пз„*.

Возможному в момент 1* + сзс положению системы отвечают радиусы- векторы т*+)аг точек системы. Величины Ьг аозмансяые перемещения системы за время Ы из ее возможного положения, задаваемого Плавя 1 радиусами-векторами г* в момент 1 = 1'. Для достаточно малых Дб возможные перемещения точек системы можно представить в виде суммы: Дт = о'Д1+ — ш*(Д2) +... (и = 1, 2,..., Х). (6) Здесь не выписаны слагаемые, порядок которых относительно Д1 выше второго.

Так как множество возможных скоростей и ускорений бесконечно, то бесконечно и множество возможных перемещений. Пренебрежем в (б) величинами выше первого порядка относительно ДП тогда Дг„= о*Дг. Если уравнения (3) и (2), которым удовлетворнют возможные скорости о', умножить на Дгз то получим систему уравнений, которой удовлетворяют линейные по Дб возможные перемещения: т- дУо.дгя+ дУодб О дг " дб аря Дпи + ивД1 = О (сесс1, 2,.... г), (7) (В = 1.

2,..., в). (8) Примну 2. Точка Р движется по подвижной или деформирующейся поверхности, все точки которой имеют скорости и з (рис. 13). В этом случае возлеожная скорость уже не лежит в касательной плоскости. Возможных перемещений опять бесконечное множество. Если пренебречь величинами порядка (Дб) и выше, то все опи получаютсн добавлением вектора иД1 к каждому из возможных перемещений предыдущего примера. В этом случае уже соотношение Дг. Егвс) ( = О не выполняется при любых Дг. здля етого достеточно, чтобы функции г 66 имели непрерывные производные до третьего порядке включительно.

тек будет, нвпример, когдл поверхность нвляется недеформирующелся и движется поступательно со скоростью н (см. и. 22). Функции ар, ад в (8) и частные производные в (7) вычисляются при 1 = Р, г, = г". Примну 1. Точка Р движется по неподвижной поверхности (рис. 12).

В этом случае возможной скоростью о* будет любой вектор, лежащий в касательной плоскости к поверхпосгпи в тпочке Р и проходящий через эту точку. Если пренебречь в (6) величинами выше первого порядка относительно Д1, то Дг = о*Д1. Любой вектор, построенный из точки Р и лежащий в касательной плоскостпи, будетп возможным перемещением. Если поверхность видается уривнением 7(г) = О, то все возможные перелеещения ортогональны нормали к поверхности, т. е. Дг агай7' = О. 37 '2 о.

Общие основания кинематики системы Рис. 13 Рнс. 12 12. Действительные и виртуальные перемещения. Синхронное варьирование. Пусть в момент времени» = »* система находится в положении, задаваемом радиусами-векторами ее точек г*,, а скорости точок имеют нскоторыс конкретныс возможные значения и* . но 1,ели заданы силы, действующие на систему.

то, проинтегрировав систему дифференциальных уравнений движенин, можно получить значенив радиусов-векторов г„ точек системы длл моментов времени », следующих за»*. Если обозначить с»» приращение времени» вЂ” »*, то приращения радиусов-векторов точек системы можно представить в виде (9) г (» + с»») ~"г (» ) ттоос»»+ тоно(с»») + ''' где щ„', — ускоренна точек системы при » = »*; многоточием обозначены величины выше второго порндка относительно д». Величины (9) суть действительные (истинные) перемещения точек системы за время с»». Действительное перемещение, естественно, нвлнетсн од- 2 ним из возможных.

Если пренебречь членами порндка (с»») и выше, то действительное перемещение будет дифференциалом функции г (»), т. е. тн(»* + д») — т„(»') = с»г = и'„д». В атом случае действнтельнглс перемещения удовлетворяют уравнениям, аналогичным (7) и (8): (о = 1, 2,..., т), (10) с»г + с»»=0 дг-' "+ д» арн с»г + адс»» = 0 (Д = 1, 2,..., в). (11) Уравнения (10) и (11) получаютсн умножением обеих частей уравнений (3) н (2) на с»».