1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (Беклемишева 2001 Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебреu), страница 92

1 2 1 ! 2 2 1 1 2 1 2 ! 1 1 2 ! 1 2 2 «2 2 2 ! 460 Ответи и указания а11 4112 гг а22 (т11)2 тгтг тгт т тг 11 12 тгт1 тгт1 1 1 1 2 (т )г тггтг тгт, 1 1 т тг 2 1 2 1 т тг 2 1 (т2 ) 1 2 тг тг 2 1 тг тг (тг') ' 4 1 а' ))к а )12 ,гг а' а )22 ; 3) если 2) У=ТЗТ: компоненты тензора а,ь упорядочены так: апо а12, аг„агг, аы, 4 1 1 2 агг, а221, аггг, то т' = Т З Я~ З Я~. У к аз а н и е: пРи вычислениЯх использовать результат соответствующего пункта задачи 35.23. 35.25.

1) А' = Я АЯ, где А = ((аг 'З; 2) А' = Я ~АУ, где А = )(а'з; 3) А' = Я 1А(Я ')т, где А = Ьа'11(. 35.26. 1) Тензор типа (2, 0); 2) тензор типа (1, 1); 3) тензор типа (О, 2); если данный тензор соответствует линейному преобразованию г), то тензор, имеющий обратную матрицу, соответствует обратному преобразованию 1з 1. 35.27. Ь-мерные матрицы компонент имеют Ь-валентные тензоры. 35.28. амг = а121 — — а211 —— ахг) —— 1, амг — — амг = 4)ггг = аггг = О. 35.29. Азов при всех 1. 35.30. 1) 9 двумерных сечений третьего о о! о 1 о -1 ! о о РД;2)24;3)54.

Зб.З1. 1) о о~' — 1 о ' 1 о ~' о о 2) матрица ~/зы!( — сечение матрицы ЦЬД, соответствующее фиксированным верхним индексам: 1 = зо, у = уо. 35.33. 1) 1(х, у, з) = = а)гьс1чгь~; 3) аоз = Е(ег, ез, еь). 35.34. Тензоры типа (О, 3). 1) а111 = агЬгсь, 2) а)уь = агагаь, '3) а31 а;а аь + Ь1Ь1Ьь + сгсзсь. 35.35. Тензоры типа (О, 3). 1) а1.„— — аз21 — — 1, остальные компоненты нулевые; 2) аыг — — аггг — — аззз = 1, остальные компоненты нулевые. 35.37. 1) В кагкцом из сечений переставляются две последние строки и два последних столбца; кроме того, два последних сечения меняются местами: Атгт. 2) Все элементы матрицы меняют знак. 3) 12Атю.

35.38. Если е; '= е „то а)з — — а,„'„'. У к а з а н и е: если Я вЂ” матрица перестановки, 4 ' ' ~ — )) 4 4 4(' ) 1)) )4()4 241) 4) ( 4, 4,; 41 1-4 )))) '4 ). 44.4. )) )4„,) 4)4„,, в)Аввз' 2) а)Аввз, б)Авве, в)Авз' 3) а)Авщ, б)Аввт, в)Авм; 4) а)А21з б)Агин в)Ат,в. 36.5. 1), 3) линейно зависимы; 2) линейно независимы. 36.6.

1) 2"+з; 2) базис состоит из всевозможных тензоров, у которых одна компонента равна единице, остальные — нули. 36.7. УпоРЯДочим компоненты тензоРов так: 2) (а'„а21, а21, агг); 2 г 2 г) 3) (а11, а12, а21, агг); 4) (а11, а12, агг, агг, а11, а12, агг, агг), и пусть Т = Я 1. Тогда матрица перехода в пространстве тензоров есть: 1) Тт, 2) УЗТт, 3) Тт ЗТт. 4) ЯЗТт ЗТт 36 9 Ц (2 0 Ав; 2) (1, 1), Ав., 3) (1, 1), Атз, 4) (О, 2), Аз; 5) (О, 3), Авзв; 6) (О, 3), Авзт, 7) (О, 3), Авзз' 8) (2 1) Авве', 9) (3 0) Авзз' 10) (2) 1)) Авзз, 11) (О, 4), Аввз; 12) (О) 4) Авэо; 13) (1) 3), Авщ' Ответам и указания 461 — 4 — 7 4 7 — 1 1 — 4 4 — 10 — 5 10 5 1 3 2 2 0 0 0 0 3) .

ЗВ.28. 1) а) д) 3; е) — 5; 2) а) ; в) ; б) ( — 2 0 — 5 — 5 0 3 — 1 4 — 2 ; б) ; в) г) 610 5 — 5 д)0;е)1;3)а) 8 12 ',б) 5 И,в) — 2 2 ;д) 18; 3 5 е) 4. 36.30. 1) Нет; 2) да. 36.31. ((х, у) = 8(у, х). 38.32. 1) Ате; 2) Аге,' 3) Аезз, 4) Аечд.

ЗВ.ЗЗ. 1) Й!! 2) Аезз~ Авен ~ 5 В ! 7 8 ! 15!37 2 6)4 8, для тензора тина (3, 0) ответ тот же; 1 3!2 4 5 7!В 8 1 11 21 3) 2 12 22 3 13 23 71727 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 18 28 , 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9 19 29 21 22 23 24 25 26 27 28 29 4 14 24 5 15 25 6 16 26 1 5 3 7 9 13 11 15 6 10 14 12 16 12 910 5 4 13 14 11 12 15 16 36.34. сьз! 4) 7 8 14) (1, 3), Агнб 15) (О, 4), Аеоз 16) (О, 4), Аеое, 17) (2, 2), Атгз! 18) (3, 1), Аедт. 36.10.

1) аЗЬ =Ь За; 2) ЬЗа =аз ЗЬ; 3) а З Ь; 4) Ь З а. 36.11. 1) а, Ьы; 2) а" Ьы; аОЬ~~; а;.Ьы, а'.Ьы; аОЬы. 36.12. 1) мт!з; 2) ртм. Билинейные функции, определяемые формулами: 1) Ь(х, у) = Е(х)8(у); 2) Ь(х, у) = 8(х)((у). 36.13. Линейное преобразование !а пространства Е„, определяемое формулой дз(х) = ((х)у, имеет матрицу з!и в базисе е.

36.14. См. ответ задачи 36.12. 36.15. 1) Тензор типа (2, 0); 3), 5) тензоры типа (1, 1); 6) тснзор типа (2, 1); 7) тензор типа (2, 0); 8) тензор типа (О, 2); выражения 2), 4) смысла не имеют. 36.16. 1) О . ', 3) !! -1 1 4 8 ( 52 -18 5) 7 11, 6) Аегг, 7) В 18, 8) ~ 76 42 . 36.17. 1) Агдо, Азто; 2) Аздд, Азм; 3) Агдд, Аззг. 36.18. 1) а З Ь; 2) а З Ь З с, где а, Ь вЂ” векторы, с — ковектор с компонентами, соответственно равными (1, 1), (1, — 1), (1, 2). 36.20. 2) (хз + хг)(3уз + 2уг); 3) координатные строки функций 1м Вм !г, Вг соответственно равны, например, (2, 1, — 3, 0), (1, 2, 3, 0), (1, 1, 1, 1), (О, О, О, 1).

Разложение не единственно. У к а з а н и е; использовать задачу 16.31. 36.22. 1) Значение линейной функции на векторе; 2) образ вектора при линейном преобразовании; 3) значение билинейной функции на паре одинаковых векторов. 36.23. 1) Да; 2) нет; 3) нет. 36.24. с'. = а~,ЬЬ (свертка). 36.25. 1) (6, 8, 2); 2) (О, — 1, — 2); 3) — 12. 36.26. 6. 36.27. 1) а) (4, 7); б) (8, 8); 2) а) (3, 0); б) (5, Отаеевгм и указании 462 х'у1 -(хгуг + хгу') 1 2 1 (21+.12)22 2 36.35. 1) г 1 2Уг ', 2) 0 -(хгуг-хгу1) 1 2 1 (х2у1 х1у2) О 2 ( х а!1+ х а21, х а!2+ х а 1 2 1 2 4) х а11 х а21 х а12 х а22 1 1 ! 1 1 х ам х а21 х а!2 х агг 2 2 2 2 5) 22); 6) ((а!! + агг)х, (а1 1+ агг)х ); 7) хга1 !+ -(х агг + х аг!), х аг г+ -(хга11 + хгаг!); 8) -(хтаг г— хга21, хга — х!а ) 9) (а + агг)2 10) а а — а а 11) (а11) + (агг) + а1 а1 + а1аг г+ агга12; 12), 13) 2 2; 14) а1 1+ агг, 15) а1 аг аг аг 1 2 0 0 36.36. 1)а) 3 З,б) -2 0,2)а) О 1 16) 0 0 а1 аг 2 2 б) 1 О, 3) а) 1 2, б) 00 ., 4) а) 2 3 5/2 0 О 1 б) 0 0 3/2 .

ЗВ.ЗТ. 1) а) Аьть, б) Аеьо, в) Аотт! г) Аетз' -1 — 3/2 0 2) а) Авто, б) Аьзо; в) Аозт, г) Аьзг; 3) а) Аьзз; б) Атго; в) А!го, г) Атзо. 36.38. 1) а) Аьоз, б) Аьоо в) Атоо, 2) а) Атот., б) 4тог', в) Атоз. 36.39. 1) в) Аеть; б) О; в) Аьть, '2) а) ~ 1/2 О ~ 2 О, б) Азгпу; Π— 1/21 О 2 в) / ! > О, 3) а) Атгг; б) О; в) Атгь.

36.40. 1) в) Атоь,' б) Атоь, в) Атоь, '2) а) Атот,' б) Атоз' в) Атоо 36 41. 1) а) Атзт', б) Атзз,' 2) а) Атгз', б) Атзь. 36.42. 1) Антисимметричен по трем индексам; 2), 3) антисимметричен по первому и третьему индексам; 4) симметричен по первому и третьему индексам; 5) антисимметричен по первому и второму индексам. 36.43. 1) а) 6; б) 1; в) 0; 2) а) 11; б) 27; в) 1. 36.45. О. 36.49. 1) и; 2) б'; 3) (пз — Зпг + 2п)/6; 4) (из+ Зпг + 2п)/6; 5) паьь. 000000000 0 00000000 36.53. 1) 0 0 3 0 0 0 0 0 0; 2) 0 0 3 0 0 0 0 0 0 050200000 0 — 50200000 36.55.

1) Аьо+ Аго, 2) Е+ Ага, 3) Агьз+ Агьг. 36.56. 1) 25(151~), Оптеептм и указания ' б) -248 ГЗЗ ' 2) ') 1 -1 б) 19 60 — 37 -34 21 — 56 22 ; 3) а) 4 713 4 7 17;б) 11 19 25 2 — 1 13 6 9 19;в) 13 17 25 14 17 51 8 971 53 67 37 в) 10 — 4 23 42 16 -113 -45 37.9. 1) Нет; 2) да. 37.10. 1) а) 6 8 11 2 — 2 3 2) а) 10 17 24; 6) — 16 ЗЗ 18 . ЗТ.11. 1) а) Аввз, б) Аввт, 1 — 1 — 3 43 — 21 — 9 в) Аввт' ,г) Авм', 2) а) Аввт б) Авве', в) Авве, г) Авве,' 3) а) Атзв, б) Атзв; в) Атзз', г) Атзт 37.12. 1) а) Аттв', б) Атш, 2) а) Аты,' б) Аттз.

37.13. 1) 2а<„~, 2) а,'; 3) а,'. ЗТ.14. ат ь = упд„,уа'ть. ЗТ.16. Вектор у получается из х поворотом на к/2 в направлении, противоположном направлению кратчайшего поворота от ет к ез, если ем ез — правый базис. У к аз а ни е: вычислить компоненты вектора у в правом ортонормированном базисе. ЗТ.1Т. У к а з а н и е: найти компоненты з в правом ортонорми- 0 аз — аз раввином базисе. 38.1.

х — аз 0 ат (знак + для правого аз -ат 0 базиса). 38.3. 1) Авзв, 2) Авм, 3) Авзв. 38.4. 1) (42, — 42, 84); 2) (-2, О, 4); 3) (-2, -2, -2, О, О, 0); 4) (О, О, 6, О, 6, 0). 38.5. 1) 0; 2) 4; 3) 156; 4) ( †1, †1, 48, 114); 5) (О, О, 1, 1); 6) ( — 12, — 12, — 18, О, 18, 18, О, 24, 24, 0). 38.6. 1) 6; 2) 0; 3) — 6; 4) ( — 6, 33, 45, — 15); 5) †ст. 38.9. (р!) 'оеСЦ~'(х )Ц. 38.10. 1) — 8; 2) 3.

38.14. Матрица, составленная из миноров второго порядка матрицы Я. 38.18. 1), 2) нет; 3) да. 38.19. 1), 3) да; 2), 4) нет. 38.21. Векторы Р'-з~-' = и""з~-гьеь лежат в подпространстве, порожденном разложимым р-вектором и. 38.22. Нет. 38.23. 1) Линейная оболочка векторов (1, О, — 1, — 2)г, (О, 1, 2, 3)т. 3) Линейная оболочка векторов ( — 1, 1, — 4, 0)г, ( — 1, О, — 2, 1)~. 2), 4) (о). 38.25.

1), 2) — (2, 1, 3, 2, 4, — 1); 3) — (9, 5, 1, 4, — 1, — 1). 1 1 2) й~б" 6'.ь) 36.57 3) (р (~т ~з) (бт + гз)з + (я4з)з Представление не единственно. ЗТ.1. 2) а) 1 сова сов о о '1 в) з1пп 0 если Я вЂ” матрица перехода от некоторого ортонормированного базиса к данному базису е,то матрица Грима базиса е равна ЯтЯ; можно использовать такжезадачу 35.21. 37.4. б;чу'т. ЗТ.5. д;, у'т.