1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (Беклемишева 2001 Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебреu), страница 90

31.29. /(х) = 3~(+5~1+4(з. 31.31. 1) (0,0, -2); 1 2) (5, — 5, — 2); 3) (3, 3, 3); 4) (О, 7, 2). 31.32. бе = уз, Е1 = -(уз — 1Р1), 51 = Ч11 — 2уз + е1з, или Ь = -4РА1зт. 31.33. 1) Ьь(р) = —— ~4( ) 2 1=Е (й = О, ..., и) или бь(р) = а1„если РЯ = ае + а11 + ... + а„Ми. 2) /ь(Р) = — (Й = О, ..., и).

31.34. С помощью мат- 1 бь(р) И й" 14а4 Рипы (Я ) . 31.35. 1) /1 = /1 /з~ = /з — /1 /з = /з /з -~. /1~ 1 2) СтРоки матРицы А1113 А4зв. 31.36. -(8 — 2)(1 — 3), (1 — 1)(З вЂ” 1), 1 1 — 1„ (1 1Н1 2) 31 37 Р1(1) = П вЂ”, 1= 1,..., и+1. Координаты 2 ' ' 1, 111 — 1ь' многочленар(1) равны р(11),...,Р(З„+1), 31.38. 1,1 — 2 (1 2)з/2 1 31 39 Р(1) =Р(1е)+р'(1е)(1 — зв)+ + —,р~и1(зо)(1 — 1е)и 31.41. Базис состоит из функций /гу(Х) = х11ч где Х = // х11 Ц Е Я.„„„. Функции /О соответствует матрица СО = Е11.

31.42. Базис состает из 1 1 функций ЯХ) = сг СтХ, 1 = О, 1, 2, 3, где Се — -пе, С1 = -а1, 2 ' 2 1 1 Сз = — -аз, Сз — — -пз. 31.43. У к а з а н и е: использовать зада- 2 ' 2 чу 31.30. 31.44. 41пзЛГ = и — 1 при Г ф 0 и Л/ = Е„при 1 = О. 31.45. У к а з а н и е: выбрать подходящий базис.

31.46. Азы (с1, сз), с1, сз — произвольные числа. 31.47. ой1ш/С = и — бппЛГ. т 31.48. (с1, сз, сз) А4тю, с1, сз, сз — произвольные числа. 31.49. Линейная оболочка функций х1, 1аз, б1, определенных в задачах 31.23 и 31.32. 32.1. 1) З 1 С,х1~2) О О ~х1, 3) 1 5,2т1 — 2хзхз — 5хз; 0 1 — 3 4) 1 0 7, 2х1хз — бх1хз+14хзхз+ха, 5) единичная матрица, — 3 7 1 и и-1 Я хе;6) Аеоз, ~х1хи;41,7) Аезз при а=5=1, ~х~+2 ~ хзх44.1. 1=1 Отсел!и и указаш!л 32.2. 1) 5 — 3 !), — Зхгуг', 2) 9 9, 9( — хгуг — хгуг + хгуг); 0 — 9 122 3) 2 5 6, хгу1+2хгуг+2хгу!+22!уз+2хзу1+5хгуг+бхгуз+ 267 2 -3 О + бхзуг + 7хзуз; 4) — 3 -3 О, 2хгуг — Зхгуг — Зхгу! — Зхгу2; 0 0 0 1 и-1 5) -Авз4; Е (х!уьег + х!41у!) 32.3.

1) 5хгг — 4хгхг + 8хгг; 2 2) — 4хг + 10Х1хг — 4хг; 3) 4х, + 4х1хг + 8х1хз — Зхг + 4хз; 4) 4хгхг+ 2хгхз+ 8хг+ 4хгтз,' 5) х!2+ хгг+ хз+ Х4+ 2(х!Хг+ хгхз+ + х! х4 — хгхз — хгх4 — хзх4); 6) 2(т — хгхг + х — хгхз — хгх4 + хз + + Х1); 7) 2(Х1 — Х1ХЗ + Х2 — Х2Х4+ Хз — ХЗХ4 + Х4 — Х4Т5+ Х5 — Х5Хв+ 2 . 2 2 2 г 2 и + хвг); 8) 2 ~ х,х!+1. 32.4.

1) Ь(х, У) = (/с(х+ У) — /с(х) — Ь(У))/2; 1=! Ь(х, у) + Ь(у, х) Ь(х, у) — Ь(у, х) 32.5. 1) Поменяются местами 1-я и у-я строки, а также 1-й и у-й столбцы; 2) 1-я строка н учй столбец умножатся на Л (при этом элемент диагонали, стоящий на их пересечении, умножится на Лг); 3) к г-й строке прибавится у-я, умноженная на Л, а также к 1-му столбцу прибавится у-й, умноженный на Л (при этом элемент диагонали, стоящий на нх пересечении, преобразуется по формуле Ь'„= Ьн + 2ЛЬ! + Л2Ь,,); 4) матрица отразится симметрично относительно побочной диагонали, 32.6.

Ортогональная матрица. 32.7. 1) 13х' — 46х' Х~г + 41хг, 2) Х1 + 2хг; 3) х',; 4) 8Х', — 18Х',хг — 8х',хз+ Зхг — 6хгхз — 4хз; 5) 7х', 114 2хз + Зх',хг 6х',хз+ 11хгхз' 6) 20Х', + 8хг + 35тз ' 7) (и — 1)хг +(и — 2)х~г +... +х'„1 + (2п — 3)хгхг+ (2п — 5)хгтз+ + (2и — 5)хгхз + ., + хгх'„+ .. + Хп 1хи„. 32.8. 1) х1 + хг ,' 13) хг +хг +х~з +х4, 4, 4, 0,4; 14) хг +х~г +х~з +х~4 — хв — х~в, 6, 4, 2, 2; 15) х1 + х~г — х!з — Х44; 4, 2, 2, 0; 16) — х' — х~г — хз, 3, О, 3, — 3. 32.9. Пусть и — размерность линейного пространства. Положительно определенными являются формы: 1) при п = 2, 9) при и = 3, 13) при и = 4.

Отрицательно определенными являются формы: 5) прн и = 2, 16) при п = 3. Неотрицательными явлнются формы: 1) прин > 2,4) и> 2, 10), 11) ории > 3,9) прил > 3; 13) при и > 4. Неположительными являютсн формы: 5) при и > 2, 6) при Ответам и указания и > 2, 16) пРи и > 3. 32.10.

1) х1У', + хзУз; 2) х',У',; 3) х1У', + хзУз, 4) х1У1 — хауз«; 5) х«У1 хгуз — хзУз, 6) х1У1+ хзУз+ хзуз, 7) не пРиводится (форма несимметрична). 32.12. 1) х1 + х«з, при Л > 1/3, х1 при Л=1/З,хз — х«з при Л<1/3;2) х1 +х«з при(Л(<8,х1 при (Л) = 8, х', — х«з пРи )Л! > 8; 3) х1 — х«з +х«з пРи Л > — 6, х1 — хз пРи Л > 7/4, х«1 + хз — х«з пРи Л = 7/4, х«1 + х«з — х«з — х«4 пРи Л < 7/4; 5) х1 + х«з — х«з пРи Л = 3, х1 + х«з — х«з — х«4 пРи и «« а и Л ф 3. 32.13.

1) 2 х';; 2) 2 ( — 1)4 1х',; 3) ~„х';; 4) х', — 2, 'х',; «=1 «=1 «=1 «=2 ««2 н 1 2 5) — 2 х',; 6) ~', х; '. 32.18. 1) Положительно определена при «=1 «=1 Л > 1, неотрицательна при Л = 1, отрицательно определена при Л < -4, неположительна при Л = -4; 2) отрицательно определена при ~Л~ < 1,неположительна при Л х 1; 3)положительно определена при Л > 8, неотрнцательна при Л = 8; 4) таких значений Л нет; 5) положительно определена при Л < — 6, неотрицательна при Л = — 6, отрицательно определена при Л > б,неположительна при Л= 6.

32.21. 2) пз ни. 32.22. ~1, +Я+~о~+~4 в базисе —,, — 1, 5 311 — 1 /7 51з — 31 32.25. Ранг — четное число, сигнату- 2 2 '1«2 2 ра равна нулю. 32.26. 2) Все линейные преобразования, матрицы которых ортогональны в том базисе, в котором записана данная форма. 32.27. Приводятся матрицы или формулы перехода от данного базиса е1, ..., е„к базису е1, ..., е'„и диагональная форма в новом базисе. 1) Аез, х1 — 9хз; 2) Аез, — х,; 3) Азз, 25 х1 + 9хз, 4) Азз, — 10хзу1', 5) Азз — -х191 зуз; 6) 61аК(Ав1, 1), 2 — -х1 — -хз ', 7) Амз«хз + 2хз + 10хз, 8) Азин х1У1+ ЗхзУз; 9) Аз14 х1У', +бхзУз — бхзУз; 10) Азии 3(х', +хо — хз ); 11) Азиз 4х1 + 4хз +хо; 12) Аззз, 9х', — хз — 9хз ' 13) Азии — (х1 +ха ); '2 14) Аззз, 14х1; 15) Аз1з, — бх«У1, 16) Аззо, 1/3(хзу1 — хауз); 17) -А4ез, 2 2(х1 + х«з + х«з — х4 ); 18) Зхз + Зх«з + бх«з — бх„' в базисе 1 1 1 е« = — (е1+ ез + ез), е«з —— — (ез — ез + е4), ез — — — (е1 — ез + е4), Г~ ъГЗ ' 1/3 е4 — — — (е1 — ез — е4); 19) х1 + 2х«з + 5хз + 10х4«в базисе ,/3 454 Отпеетпм и указанил 1 1, 1 ес1 = — (4е1+ ез — ез), есз = — (ез+ ез — е4), есз = — (ез+ ез+ 2е4) 31/2 1/3 1/6 е4 — — -(е1 — 2ез + 2ез); 20) — х1 — хз + 2хсз — 2х4 в базисе е1 = 4 3 1 1 †(ез — ез), ез — — †(ез + ез 2е4), есз — ††(Зе1 + ез + ез + е4), 1/2 1/6 2 ъ~3 е4 —— -( — е1 + ез + ез + е4); 21) -(х',ус1 + хзуз — хауз — хзу4) в ба1 1 зисе е', = †(е1 + ез), ез = †(ез + е4), ез = †(е1 — ез), е4 = 1/2 ~/2 1/2 †(ез — е4); 22) 5(х1 — хз — хз ) в базисе е, = †(2е1 — ез), 1 с2 с2 с2 с 1/2 Л 1 1 с и+1 ез = — (е1+ 2ез), ез = — (ез — 2е4), е4 — — — (2ез+ е4); 23) — х', + 1/5 '.

1/5 ',/5 ' 2 -(хз +... + хи ); е1 = —',С е,; ез, ..., еи — какой-либо ортос2 с2 с 1 с 2 " ' 1/й11 нормированный базис подпространства х1 + ... + хи = О, напри/« — 1 мер ес« — — ~2, 'е; — (Й вЂ” 1)е«(/4 = 2, ..., и); 24) пх',У1; 1/Р— (4 1„=1 е', = — ~ ( — 1)1 'е,", ез,..., е'„— ортонормированиый базис подпрои странства 2 , '( — 1)' 'х1 = 0; 25) х1 +... + х'„— х'„+, —... — хзи, 1 1 В баЗИСЕ Е« — — — (Е«+Ези «), Е'„= Ее, Е'„4« = — (Е« — Ег -«) (1 < се~( <и — 1); 26) 2 ~ х; е« вЂ” — — (е«+ези «+1)с еи „= — (е« вЂ” ези «+1) ,г, 1 и (1 < 14 < и); 27) 2 х1, соз — в базисе е'„= /«/~~Я(, где и+1 и /« = '1,' зи« е; (У = 1, ..., и).

32.28. х1 — хсз , '2, 0; 2) х1',' и+1 1, 1; 3) х1 + хз, 2, 2; 4) — х«у1', 1, — 1; 5) — х1'У1' — хзуз', 2, — 2, 9)х",Уи+хзуз хзуз'3,1;10)х," +хз — хз '3,1;11)х1' +хз +хз ' 15) — хс1', 1, — 1; 16) хс1'У1' — хсзуз', 2, 0; 17), 18) х1' + хсз' + хсз' — х4; — 2; 21) хзу1'+ хсзусз' — хсзуз — хсзу4; 4, 0; 22) х1' — хсз — хз , '3, — 1; и и 2и-1 23) Я х'; и, и; 24) х",у1', 1, 1; 25) ); х'с — ',С х'; 2п — 1, 1; с=1 1=1 с=и+1 и 26) 2 х,"; и, и; 27) ) зйп1соз — ) х'с, ранг равен 2(п/2).

Опгвепгы и указании 32.32. 2) Г 1В. 32.33. 1); 2) 9/2 — 2 3 1 0 0 5 1 — 1 — 1 3 0 0 — 1 3 0 — 1 0 26 44 -49 51 2 4) -12 -21 24; 5) — 8 4 8; 6) — 5 — 8 10 — 112 32.35. х1 +... + х„, если первые т векторов ортонормированнор2 р2 го базиса принадлежат М, а остальные и — т принадлежат М-~. а е > а х, , Х1 2хг „г „г 32.36. 1) Х1 =, — — х>2, хг = — + †; / = х1 + хг , д = ' 3/2 3>/2 3 5Х1 — 4хг'; 2) х, = ь'5Х",> хг —— , / = — х," — — хг, д=х1 +хг,З)х1 + х2 — + / х1 + хг «2 рр2 3/6 3>>21 ' 3/б 3/21 ' ' 7 а2 «2 х" ,хг' Х1' 4хг „2 рг д=х1 +Хг ИЛИХ1 — + >Хг= — + — >/=Х1 +Хг,д= ,/6 /3' 3/6 Я' х1' + 7хрг (обе формы положительно определены); 4) х1 — — — 1+ — г, 3/3 3/6 рр а Р л ~Р рр рр2 рр2 рр2 1 рр2 — 5Х1 + Хг хг = зрЗх1 + ~/ хг'> р х1 +хг > д х1 хг > 5) х1 хг = , / = 26х",, д = х1' + хг ; 6) Х1 — †, хг = 3/26 2ЛЗ ;/=х1' +х>г,д= — 5х1' — -х>2 или х1= хг =; / = 8Х1' + 0.2хг, д = — х1 — хг; 7) Х1 — — (ъ Зх" ,— 3/65 3/2х~)/Я> хг — — ((3/2 23/3)хг'+ (3/3+23/2)хг)/3/5; / = ЗХ12 — 2Х>22, д = х" — х!~, 8) Х1 = (3/а+ 1хг' —,/ахг)/>/2а+ 1, хг = ((3/а— — т 1/а + 1) х 1' + ( 1/а + 1 + т,/а) х~ ) /Яа + 1; / = (а + 1) х>1' — ах>2, и и Рр и «2 2 хг Х1 '"2 Зхз Х1 Хг хз, д = х', + хг; 9) х1 = —, хг = — + — — —, хз = — — — + —; ,2 =,/3,2,6,/З,2,6' 3/5 41/3 43/5 1/5 23/3 23/5' 43/3 4 бхз > д — Х1 + хг + хрз ' 11) Х1 — + хг — и Зхз рр2 а2 рр2 р2, 3/2 3/6 3/3 хз= — — + —;1=3Х,+Зхг — Зхз>д=хг+хг+хз 2тг 2хз,рг,рг ррг рг,рг „г 3/6 3/3 1 2 3 1 2 3 1 3.