1611141256-ad5e1feba585f35a92f7154ebbb6a6c9 (Беклемишева 2001 Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебреu), страница 91

2х" 2х" 8Х" 4х" Зх" 2х" Зх" 5Х" 12) Х1 —— — + — + —, хг = — + — + —, хз = — + —; Я4 3/5 1/70 3/Г4 3/5 ~/70 0Л4 3/70 456 Онзвегпм и указания $$ РР н Р /=х, тй'хг +хз, 9=14х,; 13) х1 — — + аг 5 $ „г „г (( „г хг бхз + 7х4 и2 нг аг хе = +; / = Зх, + Зхг + бхз — бхз ъ/6 ъ/3 л2 л2 $2 а2.

и а а $ У х1 хг — хз — х4 , '14) х1 = х1 + хг + хз + хг = (х1' -~- х~г' + хз + Зх~е ) /2, хз = хз + хааа, х4 = ( — х1 + хг + хз + хел) /2 / = 2(х1' + хг +хз — хе ), Я вЂ” х1' + хг + хз +х4 . 32.37. Фо$.- мы хг н хгз диагональны, но среди их линейных комбинаций не положительно определенных форм. 32.39. 1) бх~1' , .2) х~г' + 4х~' 3) — х1' — -х~г ., 4) 9х1' — х~г . 32.41. 1) х1'; 2), 3), 4) х1' + хг 5) хг' + х~г + х~з, 6) х" ,+ х~г ', 7) х1' .

32.42. 1) ~~ — $ 2) ОО ., 3) 5,, 4) 2 1 $, 5) 1+, 1 — $ О 2 3 2 — 5$ 6) 1 — — 5,7) Π— 3 О; 8) 3 -6 4$ 4+ $ О 2+ $ ~ 2+ 5$ — 411+ Зъ$2 9) единичная матрица. 32.43. 6) (1+ $)хгхг + (1 — $)хгх1 — 5/хг! 8) 2(хг) + Зхгхг + Зхгхг + (2 — 5$)хгхз + (2 + 5$)хзх1 $$ — 6)хг~~ + 4$хгхз — 4$хзхг + (1 + Зъ/2)~ха~~' 9) Е ~х'; $=1 32.44. 1) 5(х1! — 2хгхг — 2хгх1 + 8)хг(~; 2) ехгхг + йхгх1 3) 8(хг~ + 2хгхг + 2хгх1 + хгхз + хзх1 + 2хгхз + 2хзхг 4) З()х1(~ + |хг)~) + )хз(~ + (Щ~ + хгхг + хгхг + 2$(хгхе — х4хг)— — 2$(хгхз — хзхг) + хзхз + хехз.

32.45. В ответах даны фогмулы замены координат при переходе к искомому ортонормг. рованному базису. 1) х1 = (х1 — $х~г)/ъ 2, хг = ( — $х~1 + х~г)/ъ/'- (х')~ + З(х )~; 2) х1 = — (х' + х'), хг = (х — х )/ъ/ 51/2 6)хг)~ — 4)хг)~; 3) х, = (х', + хг)/ъ/2, хг = е(х', — х~)/$/' 2)хг)~; 4) х, = (х1 + $хг)/ъ/2, хг = (гх', + х')/ъ'2, хз —— х'„ У 2(хг)~ + 4)хг)~ — 5)хЯ~; 5) х1 = — 1 + — 2 + — з, хг = — 1 ,'3 '2,'6 =,/З,б $Х1 $Х2 $ХЗ, 2 хз + ~ З(х1! ) 6) х1 — ( х1 + хз + (1 $)хе)/ ъ/3 1/2 1/6 (хг $ (1 + $)хз — хе)/2, хз = (х1 + ( — 1 + $)хг + х~з)/2 хе = ((1 + $)х', + хг + х'„)/2, 4~х1)~ + 81хг~~ + 12(ха~~ + 16~х~( Их+ у) — Йх) — й(у) .й( + $у) — 1(х) — 1(у) 2 2 Ответы и указания 33.4.

1) Да; 2) да; 3) нет. 33.13. При условии линейной зависимости векторов ад, Ьд, ао — Ье. 33.14. 1) хд = — 1+ 31, хг = 1, хз = 3 + 1, х4 = — 2 + 71; 2) хд = — 2 + 31д + 21г, хг = 1 + 21д, хз = 1 — бед, х4 = 1 + гд + Згг; 3) 2хд — 32хг — 10хз — 9х4 -~- 21 = О. г рх" ,+ ддх'д ,дд' .д ~.+.

' ".) 2) хд = — 1, хг = 1; 3) хд — — 1+ 1, хг = 1+ 1, хз = 1 — 1; 4) хд —— гд, хг — — — 3+ Згд + 21г хз = 1г; 5) хд — — хг — — хз = 1; 6) хд —— 1+ 71г, хг = 21д + 231г, хз = 1+ 1д, ха = 1 — 1Иг', 7) хд = 1И, хг = — 1 — 71, хз = 1+ 1; 8) хд = гд + 41г + 21з — Згз, хг = гд, хз — — 1+ гг, хз = 1з, хз = 14. 33.19. 1) хд — 2хг + 13 = О; 2) 2хд — Зхг + хз+ 1 = 0; 3) 4хд — хг — 22 = О, хг — 4хз — 2 = О; 4) хд — хг + 1 = О, хд — хз = О, 2хд — хд = 0; 5) 14хд — 5хг — 9хз — 4 = О, хд + 2хг — Зхд + 13 = О. 3320.

2хд + Зхг — 4хз + х4+ 3 = О. 3321. хд — — — 1+ 31, хг = 3+ 1, хз =4+71, х4 = — 1 33 22. 1) хд 52хг+Зхз — ха+6=0, хд+хг+хз+ + х4 — 2хз + 5 = 0; 2) хд — хз + хз = О, 5хд + хг + 4хз — 4хз — 8 = 0; 3) 2хд+ Зхг — х4 — 4 = О, ха+ 2хз+ 2хд+ ха — 6 = О. 33.24. Если две двумерные плоскости в трехмерном пространстве имеют общую точку, то они содержат и общую прямую. Если в четырехмерном пространстве трехмернан и двумерная плоскости имеют общую точку, то они содержхг и общую прямую. Если в четырехмерном пространстве две трехмерные плоскости имеют общую точку, то они содержат и общую двумерную плоскость.

33.26. Пусть тд, тг и тз — плоскости с направляющими подпространствами,С, М и А/, проходящие через точки А, В и С соответственно. догда существует единственная плоскость наименьшей размерности, содержащан тд, гпг и тз; направляющим подпространством искомой плоскости явлнется сумма ь" + М + А/+ Р, где Р— линейная оболочка системы векторов АВ, АС. 33.27.

1) 5хд — хг + 7хз — 9 = О, Зхз — ха — 3 = О; 2) хд — 2хг — 12хз + 1 = О, хг — хз + х4 + 5 = 0; 3) 2хг — хз + ха + 1 = О. 33.28. 1) дрехмерная плоскость 5хд + + 2хг + х4 + 11хз — 42 = О, 11хд + 5хг — хз + 20хз — 81 = 0; 2) четырехмерная плоскость 73хд — 6хг — 111хз — 62х4 — 52хз — 195 = 0; 3) четырехмерная плоскость ха+ хз — 2 = О. 33.30. 1) Параллельны; 2) имеют единственную общую точку (1, 2, 1, 0); 3) скрещиваются (абсолютно); 4) прямая принадлежит двумерной плоскости, 33.31. 1) Абсолютно скрещиваются; 2) имеют единственную общую точку (1, 1, 1, 1/2, 3/2); 3) скрещиваются параллельно прямой 1 хд = хг = 0 хз = х4 = — х;; 4) пересекаются по прямой хд — — хг — — 1, ха+ хд = хз = 2; 5) параллельны; 6) совпадают.

33.32. (2, — 2, 3, З~; 14хд — 4хз — Зхз — 7 = О, Зхд + хг — 2х4 + 2 = О. 33.33. 21 . 33 34. хд = 1, хг = 4+1, хз = — 1 — 1, х4 = 5+1; (1, 1, 2, 2) и (1, 2, 1, 3). 33.37. 1) (12, — 28, — 24, — 3); 2) ( — 5, 4, 8, — 1). 33.38. 1) Является; 2) явлнется; 3) явлнется; 4) является при Лд = ... = Л„= О, не является во всех остальных случаях; 5) является; 6) является 458 Оогветм и ухазаиил при и = 1, не являетсн при и > 2. 33.41. Тетраэдр с вершинами в точках (3/4, -1/4, -1/4, -1/4), (-1/4, 3/4, -1/4, -1/4), ( — 1/4, — 1/4, 3/4, — 1/4),( — 1/4, — 1/4, — 1/4, 3/4). 33.43.

1) С~з2" е; 2) 2" г. 33.44. Октаэдр с вершинами в точках (1, 1, — 1, — 1), (,—,,— ),(1,— 1,— 1, ),(-...— ),(-,,—, ),(-',— 1,1, ) 34.2 1) (АВ~ = ~ВСД = ~/7,~ф = Л4, ~В = 90', ~А= ~С =45', 2) (АВ) = 3, )АС) = 2, (ВС~ = з/7, ~А = 60', ~В = агссов— 2з/7 з'.С = атосов —; 3) (АВ( = )ВС( = (АС( = 6, г'А = г'.В = г'С = 60'. ~/7 34.4. 1) ( — 2, — 2, — 1, — 1), Я = 6; 2) (О, — 1, 1, -1), В = 5. 34.5. (1, -1, — 3, 1), В = 7. 34.9. 1) 5; 2) 3. 34.10.

1) 5х, + 2хг— — 4хз + 2х4 = Сг,г; Сг = 17, Сг = -П; 2) хг — 4хг + 2хз + 2хз —— = Скг', Сг = 29, Сг = — 21; 3) 2хг — хг — хз + х4 + Зхз = Сиг; Сг = 7 Сг = — 17. 3411 1) (1 1 2 — 1)' 2) (7* 2 2 1)' 3) (-2, -3, 1, 3, 2). 34.12. 1) (2, -1, 1, 3); 2) (2, 1, 3, 3, О). 34.13. 1/и. 34.14. 1) ( — 3, -7, — 1, -5); 2) (5, — 1, 5, — 5); (7, 2, 3, О, 9).

34.15. 1) (1, — З,О, — 2);2) (1,1,1, — 1);3) (0,2,1,3, — 1). 34 17. 1) хг = 1+1, хг = — 3 — З, хз = — 2 — 1, х4 = 4+ $, 2) хг — — 1+ Г, хг = — 3+1, хз = — 1+ С, хз = 3 — й; 3) хг = 4+ 21, хг = й, хз = 1+1, х4 = 1, хз —— 1 — й. 34.18. 1) (О, — 3, — 1, 3); 2) ( — 4, — 1, 3, — 2). 34.19.

1) 45', 2) атосов(1/3); 3) ЗО'. 34.20. 1) 30', 2) атосов(1/Я). 34.21. 1) 3; 2) 2з/3; 3) 4; 4) Я. 34.23. 1) з/3; 2) Л; 3) 2; 4) 2Л; 5) 4. 34.24. 1) х, = 3 + Г, хг —— 7+ 21, хз —— — 2 — Г, хз — — 1+ Г; 2) хг = — 3 + Г, хг = — 1+ Г, хз = 4 — Г, хз = 7 — 2Х, хз = — 3+ 8. 34.25. 1)(0,2,-1,1);2)( — 1,0,1,0,1);З)(2,1,3,— 1,0). 34.26.

1) (1, 1, 1, 3); 2) (1, 1, — 2, -2, О). 34.28. 1) 2з/7; 2) бу'2. 34.29. 1) з/2; 2) ~/Г4; 3) 4. 34.30. 1) 3; 2) 1. 34.31. 1) атосов(~/7/3); 2) 45; 3) атосов ~/2/3. 34.33. 1) 1/Я; 2) 5; 3) 2; 4) 3/Я; 5) ~/6; 6) 2~/5/3. 34.35. 1) хг —— 2+ Фг + Гг, хг — — — 1 — Гм хз = — 1+ йм хз = -1 — 1г и хг = 2+ Г, хг = -1 — 1, хз = -1+ 1, х4 = — 1; 2) хг — — 2+ 1д, хг = 2+1г, хз = -1+ Мз, хз = 2 — 21г — 2зг + Гз, хз = 1 — 1г — 2зг + 2зз и хг — — 2+ 1, хг — — 2, хз = — 1+1, х4 —— 2 — Г, хз — — 1+ 1; 3) хг = Ззг+ 2зг, хг = — 1 — 2йг — Гг, хз=1+Гг+Гг~ хе= 2+бы хе =1+Йг и хг = 1, хг = — 1 — Г, хз = 1, х4 = — 2+ 1, хз = 1 — 1. 34.36.

45', 34.37. 1) атосов (2/3); 2) 45', 3) атосов (1/Л). 35.1. 1) (б') +(б')г = (тг+тг)Яг+ (тг+тгг)бг; 2) (Е)г+ ф)г = из величин не явллетсв ни тевзором, ни инвариантом. 35.2. 1) Инвариант; 2) набор из и инвариантов, не тензор. 35.3. 1), 2), 3), 4), б) Инварианты; 5) нет.

35.4. 1), 4) Относительные инварианты; 5), 6) инварианты; 2), 3) не инварианты. 35.5. 1) Не инвариант; 2) тензор типа (О, 1). 35.6. 1) Тензор типа (О, 2); 2) тензор типа Отаветпы и указания 459 р! а1 :Л у2 а2 о!т! Озтт 1 1 1 1 1 1 2 1 пзт1 озт пкт2 пзт2 О1т2 окт2 2 1 2 1 О112 о!12 1 1 2 1 1 1 2 1 О212 П212 О1т2 птт2 1т2 1 2 2 2 О2 т2 О2 т2 а1 1 а2 а2 1 а2 2 3524 1) У ТСУЬ'т (О, 2). 35..!. 1) Тензор типа (О, 2), а»к = а!ак, 2) тензор типа (О, 2), а»к = а,Ьк. 35.8. 1) Тензор типа (О, 2), а»к = а;Ьк; 2) тензор типа (О, 2), а1к = а;ак. 35.9. 1) Тензор типа (О, 2), аьз = 1, а! = 0 при 1~1 или у~3;2) тензортипа (О, 2), аи — — 1, аО=О при»фу.

35.10. 1) Тензор типа (О, 1), а, =а2 =1, аз =...=а„=О; 2) тензор типа (О, 2), аы = а12 = а2! — — 1, а! = 0 при !+у > 4; 3) тензор типа (О, 2), а1 = 1 при всех 1, у; 4) тензор типа (О, 2), а„= 1, а! = 0 при 1 ~ у'. 35.14. Данный тензор («символ Кронекера», или «изотропный тензор») соответствует тождественному линейному преобразованию, его компоненты во всех базисах одинаковы. п 35.15. б; '= ~" о, о".. Билинейная функция, соответствующая «=1 и этому тензору, в базисе е определяетси формулой К (х, у) = Я с!»11, 1=1 где С', 11' — координаты векторов х и у. Она симметрична и положительно определена.

35.16. (д')! = т,', где Т = Я ! = ((т«((, Данный тензор есть »е-й базисный вектор базиса е. 35.1Т. (д')! = о.', где й' = Йп'(~. Ковектор 61 СООтвЕтстВУет фУнкции !21 С„-+ 1к, которая в базисе е определяется формулой !О(х) = с!» (с!» — координата с номером «е вектора х в базисе е). 35.18. Я вЂ” изотропный тензор типа (2, 2). У к а з а н и е: проверить закон преобразования компонент.

При и = 3 среди компонент — 69 нулевых. 35.19. При »е = «о все компоненты нулевые; при »е ф уе.. д1, = 1, д „, = — 1, остальные компоненты нулевые; дк! — — о'„'о!' — о!'О1'. 35.20. Изотропиый тензор типа (Ь, Ь). У к а з а н н е: проверить закон преобразования координат. 35.21. 1) е';, ! = (сне! Я)е1, 1„; 2) совокупность и" иивариантов, но не тензор. 35.22.

Трехвалентный тензор в четырехмерном пространстве имеет 64 компоненты. При замене координат выражение для каждой компоненты будет содержать 64 слагаемых, каждое из которых состоит из четырех сомножителей. 35.23. Для всех возможных значений индексов 1, у! (а')' = а1О т1 + + азозт1 + а!акт! + а,,о т.'; 2) для всех возможных значений индексов 1, 1: (а')11 = а Т1122! + а ТЯ + а т2т1 + а тзт1; 3),пля всех возможных значений индексов 1, у, lс: (а')'.к — — а1!о! ок!т1 + а,1О. Октз+ + а21 пу о»Т1+а 2, Оу ок Т2+а 12 О, Ок Т2+а 12 О, О»Т1+а 22 О, О»Т!+а 22 О; Ок Т2.