Воронцов Теория штамповки выдавливанием (Воронцов А.Л. - Теория штамповки выдавливанием), страница 8

Если при нахождении напряжений тр, в пластической области 1 сформулировать граничные условия по вертикальным границам этой области, то, с учетом показанных на этих границах физически очевидных направлений касательных напряжений, из решения уравнений равновесия можно получить эпюру т „представленную на рис. 2.1, слева.

Между тем, если рассмотреть горизонтальную границу между пластической областью 1 и жесткой областью 3, то физически очевидно, что касательные напряжения вдоль этой границы своего знака менять не могут, то есть их эпюра должна иметь вид, показанный на рис. 2.1, справа. Причиной противоречия этих эпюр является то, что левая эпюра получена из решения уравнений равновесия, которые, в принятой на сегодняшний день безмоментной теории пластичности, используют закон парности касательных напряжений. Между тем, в любой расчетной схеме с ненулевым трением всегда можно найти физически очевидные нарушения этого закона (что давно известно в теории упругости); эти нарушения хорошо видны на примере элемента, выделенного вблизи кромки пуансона (рис. 2.1). Если, в попытке избежать указанного противоречия, граничные условия сформулировать по горизонтальным границам области 1, то такое же противоречие получится уже по вертикальным границам этой области.

Таким образом, обсуждаемое нами противоречие не является недостатком той или иной схематизации и того или иного решения, а присуще современной теории пластичности в целом, в связи с чем на настоящий момент нет ни одного полностью корректного решения пластической задачи с ненулевым трением, включая, например, наиболее простую задачу Прандтля [1241 об осадке прямоугольной полосы неограниченной длины. Теперь рассмотрим, как влияет соблюдение закона парности касательных напряжений на расчетную величину энергосиловых параметров. Из левой эпюры тр, видно, что средняя величина касательных напряжений в области 1 близка к нулю. Если в соответствии с данной эпюрой подсчитать, например, работу касательных напряжений на границе между 1 и 3 областями, то эта работа будет значительно меньше, чем работа, подсчитанная по правой эпюре тр, в книгах [124, 1251, '1'аким образом, соблюдение закона парности касательных напряжений приводит к уменьшению расчетной величины энергосиловых параметров, в связи с чем известные решения задач выдавливания, полученные методом баланса работ с нарушением закона парности [1251, дают большую величину деформирующей силы, чем решения на основе уравнений равновесия с соблюдением этого закона [1051 (рис.

1.1). 6. По найденным напряжениям на основе уравнений связи (2.23) и кинематических граничных условий определяется конкретный вид функций скоростей, заданных в начале решения в общем виде. 7. Интегрируется формула А. А. Ильюшина, связывающая скорость деформации с накопленной деформацией ее, де; де, де,. де,. г,; = — '= — '+ч,— г+о„— '+о,— ', (2.29) оя' дг ' дх "ду ' дг и результате чего находится накопленная деформация е,=Ях,у,г,г, С), (2.30) где С вЂ” произвольная постоянная. 8.

Интегрируются выражения Лагранжа Их Ыу с1х 1, (х,у,х,г) = —; чх(х,у,х,~) = —; ~,(х,у,х,с) = —, (2.31) в результате чего находятся зависимости текущих координат щстицы (координат Эйлера) от исходных координат (коордипат Лагранжа) и времени: х Лхо, Уо, хо, г); У=~ г(хо, Уо, хо, ~); г=~з(хо.уо, го, ~) (2.32) 9. По выражениям (2.32) определяются начальные координаты частицы, и из условия е=е-о при г=0, х=хо, у=уо, .; хо, находится произвольная постоянная С. Величина ев учитывает историю деформирования; е,о=О, если исходная заготовка не имеет накопленной деформации. Для удобства можно заменить время на ход пуансона (2.33) з=~ог где ~ с — средняя скорость движения пуансона. 10.

С помощью выражений (2.32) определяются размеры зон, в которых материальные точки в процессе деформации проходят один и тот же путь; поле деформаций в таких зонах стационарно. 11. Для определйнной величины рабочего хода по формуле (2.30) подсчитывается среднее значение накопленной деформации в очаге пластической деформации, по которому определяется средняя' величина напряжения текучести заготовки. 12. Для определения размеров очага пластической деформации используется принцип минимума удельной силы деформирования (минимума полной энергии деформации). Для упрочняющегося материала минимизация проводится с учетом зависимости среднего напряжения текучести от накопленной деформации, в свою очереди зависящей от размеров очага.

Форма отдельных границ очага пластической деформации определяется по найденным выражениям скоростей течения. 13. В результате таких расчетов строится диаграмма изменения силы по ходу выдавливания, показывающая влияние упрочнения материала заготовки на силовые характеристики процесса. 14. Для получения взаимосравнимых решений, пригодных для определения оптимальной геометрии инструмента, необходимо при выполнении пунктов 1 и 5 удовлетворять следующим требованиям: расчетные схемы, поля скоростей течения и граничные условия должны переходить одни в другие в сопряжйнных случаях разных форм инструмента. Окончательным критерием проверки взаимосравнимости является совпадение формул удельной силы деформирования в сопря- жспных случаях разных форм инструмента.

2.3. ТЕОРЕМА О ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКЕ ПРИ СХЕМАТИЗАЦИИ ОЧАГА ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ С РАЗРЫВАМИ В НОРМАЛЬНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ СКОРОСТЕЙ ТЕЧЕНИЯ Сначала поясним постановку задачи на примере осесиммсгричного обратного выдавливания цилиндрического стакана пуансоном с плоским торцом. Наиболее часто встречаюьцаяся схематизация очага пластической деформации при таком выдавливании представлена на рис. 2.1. Можно, например, задать скорость в области 1 в виде уды~(з)+ц)(р) . (2.34) ~+1Р+1в=о, (2.35) но сорос для осесимметричной задачи имеет вид ду Ь' у, '+ — "+ — ~=0, д др р или — — (~,р) (2.36) можно найти, что др (з) р Л(з) дк 2 р (2.37) 51 Очевидно, что если ср(р)=0, то горизонтальные границы очага пластической деформации в области 1 будут иметь линейные образующие; при а=О ч,~=м,=мвl(Я2 — 1), при з= — Ь ~,~=0.

Если <р(р)~0, то горизонтальные границы очага пластической деформации будут иметь криволинейные образующие. Из условия несжимаемости Из граничного условия мр1=0 при р=Я следует, что др,( ) В' й 2 (2.38) Тогда окончательно 1 дф~(я) (Я вЂ” р 2 дя 1 р (2.39) Аналогично, задав в области 2 подходящую скорость в виде ~я.— — ~Р2(Я), (2.40) дср2(г) р Яг) дя 2 р Из граничного условия ~р~=0 при р=0 следует, что Яя)=0, то есть окончательно дР (я)р (2.41) дя 2 На границе при р=1 должно соблюдаться равенство мр~=~ г, тоесть дсР1(з) ( 2 йРг(я) (2.42) дя дз Очевидно, что этому условию и граничным условиям для скоростей ~, могут удовлетворять функции вида (Р1(я)=А ~ аз)+В1), <Р2(я)=А 2фг)+В2), (2.43) (2.44) с учетом которых удовлетворяющем граничным условиям м,2= — мо при я=0 и м,2=41 при ~ — Ь, можно показать, что в этом случае д(р,(г) Щя) дг дг 1 (2.45) Йрз(з) Щг) бз Йз (2.46) Подставив выражения (2.45) и (2.46) в (2.42), получим, что А ~=Аз/(Я~ — 1).

Приняв для примера (2.47) срз(з)=Аз(г+Вз), ср~(р)=0, (2.48) из граничных условий ~,э=О при ~ — Ь и ч,г= — зь при я=О, найдем, что Вз=Ь, Аз=май, то есть кинематически возмож- ные поля скоростей в областях 1 и 2 имеют вид: 70 (г+ Ь), ЦЯ~ — 1) (2.49) 7,-з = — — (з+ Ь), ~о Ь (2.50) 53 Такие поля скоростей были приняты в работах [124, 125] для определения энергетическим методом деформирующей силы и высоты очага пластической деформации при выдавливании.

Между тем, с учетом четвертых выражений из систем (2.23) и (2.19) видно, что для данных полей скоростей т,=О, что противоречит имеющимся граничным условиям, то есть ноле напряжений при этом не будет статически допустимым. '>го не препятствует использованию основного энергетиче- ского уравнения, однако для анализа напряженного состояния, то есть для определения компонентов тензора напряжений в очаге пластической деформации, является недопустимым. Бели, для примера, принять согласно работе [1051 (2.51) то нз формулы (2.39) (2.52) 2(Я вЂ” 1) р то есть при р=1 ир~=Аз/2=сопзг. С учетом выражений (2.44) и (2.51) срз(х)=Аз(г+Вз), что совпадает с выражением (2.48), то есть поле скоростей в области 2 будет описываться соотношениями (2.50), а значит и обладать вьппеуказанным недостатком при необходимости определения напряженного состояния в этой области.

Поэтому, при анализе напряженного состояния принимают поля скоростей в виде выражений (2.40), (2.41) и (2.51), (2.52), каждое из которых является кинематически возможным, как это показано выше, в своей области, но при совместном использовании приводит к выполнению условия неразрывности на границе между областями 1 и 2 лишь в интегральной форме. Таким образом, формально для всего тела в целом эти поля скоростей не являются кинематически возможными, в связи с чем неясно, какая оценка, верхняя или нижняя, получается в результате такого анализа. Вследствие этого, правомерность соответствующей верхней оценке минимизации получаемой силы вьщавливания с целью определения высоты очага пластической деформации до настоящего момента не имела теоретических обоснований. В соответствии с изложенным, докажем теорему: если расчетная модель дефармируемога тела состоит из нескольких обьемов, в каждом из которых задано поле подходящих скоростей, в общем случае имеющее разрыв в нормальных со- 54 сп1авляющих на грани цпх с други ни объемами, то сумма мощностеи деформации, вычисленных в коз~сдам обьеме для заданного в нел~ поля подходягцих скоростей, будет больше общей мощности деформации тела для действительного поля скоростей, то есть эта сумма дает верхнюю оценкумощности деформации.