Воронцов Теория штамповки выдавливанием (Воронцов А.Л. - Теория штамповки выдавливанием), страница 7

В связи с этим неясно, какую оценку — верхнюю или нижнюю — можно получить при таком подходе к решению рассматриваемой задачи, то есть необходимо доказательство соответствующей теоремы, отсутствующей в литературе. 1.9. МЕТОД ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В работах [35, 39~ предложено использовать для решения задач обработки давлением метод функции напряжений, который представляет собой разновидность известного в механике метода сил, при котором все неизвестные выражаются через напряжения.

Последние можно выразить через общую функцию напряжений, и таким образом задачу в самом общем случае можно свести к определяющему дифференциальному уравнению второго порядка, а не четвертого, как для рассмотренной выше функции тока. В большинстве практических случаев методом функции напряжений можно без численных методов и громоздких математических выкладок получить достаточно простые расчетные зависимости для определения силы деформирования, напряженного, а при необходимости— и кинематического состояний заготовки.

Примеры решения данным методом различных задач обработки давлением, в том числе, и анализ выдавливания, представлены в работе ~39~. В связи с растущей потребностью в оптимизации процессов выдавливания, в частности, путем снижения энергозатрат и увеличения стойкости штампового инструмента за счет подбора оптимальной геометрии пуансонов и матриц, следует обратить особое внимание на взаимосравнимость решений, получаемых для различных форм инструмента. Обычно исследователи, даже используя в разных случаях один и тот же теоретический метод, выбирают для каждой задачи свои допущения, схематизацию очага деформации и граничные усло- Зб вия, руководствуясь при этом максимальным снижением математической трудности решения.

Это, как правило, приводит к тому, что получаемые результаты не являются сопоставимыми. Например, в работе 11051 теоретически получено, что сферический пуансон при любом Я требует меньшей силы для выдавливания стаканов, чем пуансон с плоским торцом, то есть можно сделать неверный вывод, противоречащий опытным данным, что первый всегда оптимальнее ао силе, чем второй. Критерии же гарантированного получения взанмосравнимых решений в литературе отсутствуют.

В заключение укажем, что все авторы теоретических работ, посвященных определению силы выдавливания, пишут об удовлетворительной сходимости результатов своих решений с опытными данными, несмотря на то, что эти результаты сильно (в 2-6 раз) отличаются друг от друга (рис. 1.1). 1б 14 12 10 2 1 1,2 1,4 1,б 1,8 М Рис. 1.1. Сопоставление известных теоретических зависимостей удельной силы выдавливания стаканов при р=и,=0,5: 1 — 1иб), 2 — (1251, з — 1125), 4-1ю51, 5 — 1110), б — 1и7) 37 ГЛАВА 2 МЕТОД ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ Разработанный нами метод исходит из метода полуобратных решений (раздел 1.8), устраняя ряд его недостатков и дополняя новыми возможностями, позволяющими решать сложные задачи, не имевшие предшествующих решений в теории обработки металлов давлением.

Выбранное нами название метода отражает то, что в его основу положена теория пластического течения, позволяющая определить кинематическое„напряженное и деформированное состояния в любой точке очага пластической деформации, учесть анизотропню, нестационарность процесса и историю деформирования.

Различия между теорией н методом пластического течения определяются общими различиями между академической теорией пластичности и теорией обработки металлов давлением. В академической теории пластичности наибольшее внимание уделяется математической строгости решения задачи. Для того чтобы можно было получить достаточно строгое решение, часто принимается, например, полное отсутствие контактного трения или, наоборот, условие полного прнлипаиия, практически никогда не соответствующие реальным процессам обработки давлением. Во многих случаях академические решения приводят либо к громоздким и сложным математическим выражениям, либо к необходимости численного решения полученных уравнений.

Очевидно, полагаясь на строгость математики, авторы академических решений, соответствующих своими названиями известным процессам обработки давлением„ практически никогда не делают их экспериментальную проверку путем сопоставления с имеющимися опытными данными. Между тем попытки применения отдельных академических решений для расчета реальных процессов обработки давлением дают неудовлетворительные результаты. 38 Поэтому, несмотря на то, что в академической теории пластичности получены решения задач с названиями «осадка», «прессование», «выдавливание», «волочение» и т.п., ни одно из этих решений не нашло практического применения при проектировании процессов обработки давлением. Если для академического теоретика важны такие проблемы как, например, доказательство единственности решения, то теоретика обработки давлением подобные проблемы не интересуют вовсе.

Все усилия последнего сосредоточены на получении решения пусть не строгого и не единственного, но зато адекватного закономерностям реальных технологических процессов, учитывающего все значимые влияющие факторы, дающего хорошую точность практических расчетов и удобного для использования. Поэтому в излагаемом далее методе пластического течения мы хотя и стремились к математической строгости, но в первую очередь старались удовлетворить указанным требованиям, определяющим ценность решения для практического применения.

2.1. УЧЕТ АНИЗОТРОПИИ ДЕФОРМИРУЕМОГО МАТЕРИАЛА Принятые в известных решениях задач пластической деформации анизотропных листовых материалов допущения, что деформированное или напряженное состояние является плоским, неприменимы для объемных осесимметричных задач выдавливания. Поэтому необходимо исследовать основные соотношения теории пластичности анизотропных тел Мизеса-Хилла и привести их к виду, удобному для решения таких задач. Условие пластичности для осесимметричного напряженного состояния анизотропного тела имеет вид [10Ц: г"(ор — о,)'+0(а, — о») + Н(о, — о )'+22т', =1, (2.1) 39 1 1 1 2Г= — + — —— г а, о а,з 1 1 1 26 = — + —— 2 2 2 овр (2.2) 1 1 1 2Н= — + — —— 2 2 2 о» о, о 2Х,= 1 твр,, в которых а,р, а,е, о„, т, — напряжения текучести материала в различных направлениях.

Для случая осевой симметрии аннзотропни имеют место следующие соотношения [1011: (2.3) Зависимости скоростей деформаций от напряжений согласно ассоциированному закону течения имеют внд: ~, = 1[6(о, — оа) + Р(о, — ср)1, Г р — — Х[Г(ор — о,) + Н(ар — оа)), ~~ = ЧН(~~ — ~,)+ 6(~~ — о.)) * (2.4) Чвв Р7 Коэффициент пропорциональности А в этих выражениях определяется следующей формулой: (2.5) Оэкв'ээкв 1 4О где Г, 6, Н, А — параметры, характеризующие текущее состоя- ние анизотропии, определяемые выражениями где о; — эквивалентное напряжение, определяемое для идеального жесткопластического тела выражением з 2(Н+ Р+ 6) (2.б) а ф,„, — эквивалентная скорость деформации, равная г + 6(Н~, — Х~ ) + — (НГ + 6Н + Р'6) 2 А (2.7) )о — о,~ = = о, = А,о,„.

1 Е+Н (2.8) При аз=ар, из условия (2.1) следует, что 1 ~о — о.!= =а, . (2.9) Для изотропного материала (Н=Р=6=ИЗ) величина эквивалентного напряжения совпадает с интенсивностью напряжений а;, а величина эквивалентной скорости деформации — с интенсивностью скоростей деформации ~; .

Так как целью наших конкретных исследований процессов выдавливания является определение влияния анизотропии на энергосиловые параметры, а не на формоизменение, как, например, фестонообразование при листовой штамповке, то используем некоторые возможные упрощения. Касательные напряжения отнесем к категории вспомогательных 1105] и пренебрежем ими в условии пластичности (2.1). Введем показатель апизотропин Й„=-о,р/<~~ .

Допустим, что по=о,. Тогда из условия (2.1) получим: В цилиндрических координатах ду Р ар' 1в= + рдО р 2 дя (2.19) аР ду ч = — '+ — ' да др а"В чм= + р дО де а"В 1В 1 Р ЧВР= + ар р р дО 3. В каждой области находится интенсивность скоростей деформации: Гг (2.20) В цилиндрических координатах . (221) При необходимости упрощения решения интенсивность скоростей деформации представляется в виде выражения 11241 ~=И~ .!. (2.22) 4. Выражения (2.18) и (2.20) подставляются в уравнения 44 связи между напряжениями и скоростями деформации (в дальнейшем, кроме специально оговоренных случаев, используем относительные величины напряжений, отнесенные к средней по очагу деформации величине напряжения текучести гг,=а ): 2 ~л а„.

=Ьго+ — —, 3 ~,. * где 6;.- символ Кронекера. В цилиндрических координатах 2~р а =о+ — — ~, 3 Е„* 2гв аа =а+ — —, 3 г„. ' а, =а+ — — ', 2 Р„ 3 Е„ (2.23) 1 т~,~ т,а= — —, 3 ~,. та я 3 ~ а +па+а, а= (2.24) где — среднее главное напряжение (гидростатическое давление). 5. Из совместного решения системы уравнений равновесия д0„- — "=О„ й;. которые в цилиндрических координатах, применительно к рассматриваемым в дальнейшем конкретным задачам, имеют вид: дор дт ор — ов — Р+ — Р' + — Р— =О, др д р до дт, т, — '+ — + — =О, дл др р с учетом выражений (2.23) находятся напряжения.

Произвольные постоянные интегрирования находятся нз граничных условий. При необходимости, для упрощения решения системы используется энергетическое условие пластичности Губера-Мизеса в форме: ап .1 — ггх в~=~3, (2.26) где ~3 для анизотропного материала определяется по соотношению (2.16), а для изотропного принимается равным своему среднему значению ~3=1,1. В дальнейшем будем использовать выражения (2.27) (2.28) Применение не учитывающего касательные напряжения упрощенного условия пластичности не является недостатком, так как, с одной стороны, позволяет избежать снижение точности приближенными методами интегрирования, а с другой стороны, проведенный в последующих главах анализ показывает, что все основные члены полученных с использованием упрощенного условия формул напряжений совпадают с полученными на основе полного энергетического условия, а второ- 4б степенные члены дают небольшое завышение результата.

Последнее согласуется с используемым нами методом верхней оценки и, кроме того, позволяет компенсировать всегда имеющуюся в граничных условиях при ненулевом трении непарность касательных напряжений, которую невозможно учесть в существующих теориях пластичности. Поясним эти утРие. 2.1. К пояснению влияния на верждения на примере выаапражанное состоание за«оиа пар давливания полых изделий ности касательных напРяжений а ( 2 1) Если в области 1 принять условие пластичности в виде па — ар = ~3, т.е. без учета касательных напряжений, то при подстановке в первое уравнение равновесия системы (2.25) без учета члена дтр,/Ж, так как он не влияет на последующие рассуждения, получим: до /бр=~3/р, откуда пр=~3)пр+ С. Используя граничное условие ар= — р (где р — давление со стороны матрицы) при Р=Я, находим произвольную постоянную С= — ~31пЯ вЂ” р.

С учетом этого ор= — ~3)п(/г/р) — р. Если же использовать условие пластичности с учетом касательных напряжений оа — ор = ~3 /1 — т,, то очевидно, Г з что при любом значении т, правая часть этого выражения будет меньше ~3 . Следовательно, после интегрирования мы получим окончательную величину ар, меньшую по абсояап ной величине, чем найденная выше. Иными словами, исполь.ювание упрощенного условия пластичности приводит к ьзвьппенню абсолютной величины расчетных напряжений.