Воронцов Теория штамповки выдавливанием (Воронцов А.Л. - Теория штамповки выдавливанием), страница 10

~, 1 — — = — ' — — — (о; — о )+апХ вЂ” ~ а ~ — ~ ~~ — — яп(7-Х) — (о,-а )+соя(г — Х) —" + а2~ + ~ (о,,)со ~ ~ т„з( (2.75) а(о,+о,1 Ц,1, ~ 7. б . д„1 — — = — — ' — — — (о,-о )+з(пХ вЂ”" + 1,/ +~ — '~ — ~ — а(пф+Х) — (о, — а )-соз(у+1) — Р + + (ое ор)з( тр со 12. Важно отметить, что для узлов сетки, расположенных на оси симметрии заготовки, нельзя определять значения частных производных по первой и третьей формулам системы (2.74), так как вследствие симметрии напряженного состояния эти формулы всегда будут давать значения, равные нулю, тогда как в действительности величины производных могут быть любыми.

Используя зги формулы, авторы работы 11181 делают ошибочный вывод, что на оси симметрии равны нулю и правые части уравнений (2.75). Определяем производные полусуммы нормальных компонентов тензора напряжений на оси симметрии заготовки по зкстраполяционной формуле Лагранжа, используя определенные в соседних узлах сетки значения производных: 13.

Для определения нормальных компонентов тензора напряжений необходимо проинтегрировать первое выражение системы (2.75) и определить произвольную постоянную интегрирования. Так как при вычислении хорд !, для расчета деформированного состояния заготовки, расчетная область сократилась до линии п-1, а затем при расчете по формулам (2.74) — до п-2, то вычисляем значения вспомогательных функций Р' на этой линии (рис. 2.3): (2.77) )'г = 14. Далее находим значения другой вспомогательной функции: т, =(Р;+(о, — о,)„,,У,,, (2.78) 15. Определяем произвольную постоянную интегрирования С нз уравнения равновесия силы от осевых напряжений о,, действующих вдоль линии л-2, снлыдеформировапия Р н суммарной силы от действия касательных напряжений между боковой поверхностью заготовки 1 и матрицей (из-за дискретности координатных линий определяющая длину 1 линия и-~ выбирается приблизительно, как соответствующая верхней границе очага пластической деформации в юпе, примыкающей к матрице, рис.

2.3), вычисляя интеграл по формуле трапеций: 1 ~ 2Р %(~в-2 2 ~л-21) + 7ю(~п-2 щ ~л — 2~в-1 )+ 65 Г=п-2 /=т-1 41 ~(т, ),. + ).,9~п-х,+~ - п-~,, ~)3 + — '="-' . (2.79) г ' * ! Л„, [(л — 2) — (л — с)1 16. Находим сумму напряжений а, и а во всех узлах сетки на линии л-2: (о,+о )„,, =С+К,.

(2.80) 17. Используя второе уравнение системы (2.75), находим значения суммы напряжений в остальных узлах сетки: (о,+с),, =(а,+о.), + 18. Необходимо отметить, что поскольку точность определения компонентов деформированного состояния, особенно углов у и Х, существенным образом зависит от степени ис- ' кривленности линий координатной сетки, постольку точность расчета суммы напряжений на основе разных уравнений системы (2.75) будет различной, Поэтому в области, расположенной под торцом пуансона (где горизонтальные линии сетки на рис. 2.3 искривлены более плавно, чем вертикальные)„используем формулу на основе первого уравнения системы (2.75) ,(2.82) (о;+а ), =(о, +о. ),,, + в которой находим начальное значение (о,+ор); ~ из расчета по формуле (2.81).

Значения суммы напряжений в узлах сетки,. расположенных на оси снммегрнн заготовки, находим, экст-' раполируя полученные в соседних узлах значения по формуле, полностью аналогичной (2.76). 19. Компоненты теизора напряжений находим по формулам: о, =О,Я(о.а — гг), +(сг, +о ),,), (о,),, = (о, — о), + о, (о ),. =(а -о), +оьд, (оа),,- =(оа -о),, +о,... (2.83) (2.84) а иа границе с пуансоном — по формуле (2.85) ~нс т ~ -- наибольший номер вертикальной линии сетки, радиус точки пересечения которой с горизонтальной линией 1=2 пе выходит за пределы радиуса полости заготовки (например, йа рис.

2.3 т1=3). Если математическая модель включает закон трения Амоитона — Кулона, то определяем средний коэффициент трения ио нормальному давлению 1' на основе выражений (2.72) и (2.83). Для боковой поверхности заготовки используем фор- Мулу (2.86) б7 20. Используя четвертое выражение системы (2.72)„на границе с матрицей находим среднюю величину коэффициента трения по напряжению текучести по формуле а для поверхности контакта с пуансоном (2.87) Если надо определить значения коэффициента трения в каждой расчбтной точке, а не в среднем, то для этого следует использовать без суммирования выражения, стоящие под знаком суммы в формулах (2.84)-(2.87). 21.

Критерием достоверности и точности определения напряжйнного состоянии заготовки по изложенной методике служит сравнение действительной силы деформирования с силой, определенной по эпюре осевых напряжений о; вблизи торца пуансона и таким образом включающей все погрешности, накапливаемые в расчетах при переходе от нижней линии определения напряженного состояния (линия л-2) к верхней линии. 68 ГЛАВА 3 ОБЩИЕ ПАРАМЕТРЫ ВЫДАВЛИВАНИЯ 3.1. КРИВЫЕ УПРОЧНЕНИЯ При разработке технологических процессов обработки металлов давлением необходимо знание кривой упрочнения, !по есть зависимости напряжения текучести материала сг, от степени деформации е;.

Какими бы точными ни были теоретические исследования и полученные на их основе математические модели, неточное задание зависимости о,=Яе!) сводит на нет все уточнения н зачастую делает получаемые результаты непригодными для практики. Поэтому проблема качественной обработки результатов испытаний на простое растяжение или сжатие, равно как и нахождение наиболее достоверной аппроксимации кривой упрочнения, давно уже являлась предметом изучения многих исследователей. Тем не менее эта проблема до сих пор еще требует углубленного анализа. В связи с имеющим место неоднозначным пониманием относящихся к рассматриваемой проблеме терминов, зачастую приводящим к их неверному употреблению, сначала дадим некоторые определения и пояснения.

По определению А. А. Ильюшина [851 степенью деформации называется величина, полная производная которой по «ремени равна интенсивности скоростей деформации, то ест! де, а! откуда (3.1) а 11ссмотря на то, что это определение давно принято в оп он оо е~ е; е, е, Рис.

3.2. Расчетная схема испытания на сжатие Рис. 3.1. Типовая экспериментальная кривая упрочнения и параметры ее показательной аппроксимации 70 современной теории конечных (значительных) деформаций, в практике расчетов процессов обработки давлением разные авторы до сих пор вычисляют степень деформации, пользуясь не упомянутой, а отличающимися друг от друга формулами, что приводит к появлению кривых упрочнения первого, второго, третьего ~1241 н даже шестого рода 11321. Поэтому во избежание путаницы мы будем в дальнейшем вместо термина степень деформации использовать термин накопленная деформация, понимая под ним степень деформации в определении А.

А. Ильюшина. Напряжением текучести о, называется напряжение, вызывающее в условиях линейного напряженного состояния пластическую деформацию при данной величине накопленной деформации. Напряжение текучести изменяется по ходу упрочнения материала, то есть является переменной величиной, которую следует отличать от постоянной величины, называемой пределом текучести о,е, представляющим собой начальное напряжение текучести, то есть напряжение, при котором возникают пластические деформации в начальный момент деформирования (рис. 3.1). Покажем, что при испытаниях образцов на растяжение «Ли сжатие накопленной деформацией является логарифмицвск1т, называемая также истинной деформацией, а не отно««тсльное удлинение или уменьшение площади поперечного ««чепия образца.

Для определенности рассмотрим сжатие со «редпей скоростью ие цилиндрического образца с исходной «мсотой Не (рнс. 3.2). В условиях осевой симметрии скоро«1и линейных деформаций в цилиндрических координатах г, р, О определены выражениями дм р др (3.2) У 4е= Р ся+4р+се=О, «ли др ду и '+ '+ — '=О, дз др р ««Ходим, что 11дрр рр1 (Ъ и ) + )де+а(Р) = — + — х+Л(р).

1 др р) др р) Из граничного условия р,=О при г=О следует, что 71 Так как при испытаниях на сжатие используют образцы е горновыми выточками, заполненными смазкой [94, 1171, то «о1гг11ктцое трение практически отсутствует, и образец в ходе «с иьпш1 ия сохраняет цилиндрическую боковую поверхность, 11з куда следует„что радиальная скорость не зависит от коорд«паты г, то есть рр=Яр) . С учетом этого из условия не«жвмасмости Яр)=О.

Из граничного условия р,= — рр при я=Ь следует, что + ар р 1а — (р)= —, рар ' ь' откуда "о р — — р+ С. 2Ь Из граничного условия рр=О при р=О следует, что С=О. Тогда окончательно У ро ь р = — р. ~'о 2Ь С учетом этого скорости линейных деформаций (3.2) принимают вид 4= —" ~Ь ь С учетом этого, а также того, что текущая высота Ь зависит от времени г, из выражения (3.1) находим накопленную деформацию: 72 а скорости угловых деформаций цр,=ц,р=з)яр=О .