XVI.Теория вероятности (наш учебник) (Учебник по Теории Вероятности), страница 53

80 5 Пример 9.1у. Используя втпорое неравенстпво Чебышева, оценим вероятность того, что глупа«1ная величина отклонится от своего среднего значения тп более чем на З«т, где «т — среднее квадратичное отпнлонение случайной величины Х. В соответствии со вторым неравенством Чебьппева г Р()Х вЂ” тп~ > Зо) < (Зо)г Пример 9.20.

Пусть Х), Хг, ..., Х„, ... — последовательность независимых глупа«гных величин, причем случайная величина Х„имеет гал«л«а-распределение с параметрами у„= п и Л„= /й. Покажем, что последовательность Хы Хг, ..., Х„, ... удовлетворяет закону больших чисел в форме Чебьппева. 427 9.5. Репзеиие типовых примеров Дисперсия случайной величины Х„равна ОХ = — =1. 7о п Поскольку дисперсии ПХо ограничены 1, то к последовательности Х1,Хз,...,Х„,... применим закон больших чисел в форме Чебышева. Пример 9.21. Пусть Х»,Хз,...,Х„,...

— последовательность случайных величин, удовлетворяющих условиям ОХ„< С и 11ш соп(Х;,Ху) = О. (з-11-+со Докажем, что к этой последовательности применим закон больших чисел. Согласно второму неравенству Чебьппева, (1" з=1 з=1 =Р( '1-хе м('1.хз) >, < ',о('1 х). 1 з=1 з=1 Поэтому для решения поставленной задачи достаточно пока- зать,что 1:»(- у Х) — + О. зеп Действительно, в соответствии со свойствами дисперсно о(-~х;) = —,в(',» х;) = з=1 звп в = — (~ Х)Х;+ 2 ~ сои(Х;зХ1)).

зьм 1(з(1(о »4' 428 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Из условия задачи следует существование для любого е ) 0 такого М, что соч(Х;,Ху) < е при всех 1, у, длл которых 1 — у' )»». Поэтому сумма коеаривций содержит не более пФ слагаемых, больших е. Поскольку всего слагаемых в этой сумме п(п — 1)/2 и в соответствии со свойством 4 ковариации ) (»;,»,)~<~ехо»,<с, получаем О(~> Х;) ~ (Сп+ 2СпФ+ еп(п — 1). «=1 Значит, (1 ~ ~ Сп+ 2СпЖ+ еп(п — 1) С(1+ 2Ф) в -~х) < г +е в=1 что в силу произвольности е доказывает утверждение. Пример 9.22.

Найдем харакпьеристическую функцию случайной величины Х, рлд распределенил которой представлен в табл. 9.2. В соответствии с определени- ем характеристической функции Я) = ~ем»гр =0 2(е гп+егп)+ +0 Це "+е")+О 4ее'" = 014сов(21)+О 2совй+О 4 = = 08 сов'1+ 02совс = 02 соей(4совй+ 1). Пример 9.23. Найдем характеристическую функцию случайной величины Х, имеющей геометприческое распределение с параметром р.

429 9.5. Ретевие типоыев примеров Используя ряд распределения случайной величины, имеющей геометрическое распределение с параметром р, получаем у(Ф) = Яе'~~р(1 — р)1 =р~) (еа(1-р))о = У=О Пример 9.24. Найдем характеристическую функцию случайной величины Х, имеющей равномерное на интервале (а, Ь) распределение. Вспоминая определение плопьноспьн распределения равномерно распределенной на интервале (а, Ь) случайной величины, имеем Еав дХ Е"Ь вЂ” Енв Ь У() = Ь- а ьс(Ь- а) в Пример 9.25. Найдем характеристическую функцию непрерывной случайной величины Х, имеющей плотность распре.

деления ~-1~! р(х) =— Характеристическая функция случайной величины Х равное +00 О +00 Г Еахв 1в~ 1 Г 1 у($) = ( дх= — / ер~+~~*дх+ — / ерь ~~*дх= г/' 21 -00 -00 О 1 1 1 2(ьЬ+ 1) 2(ьс - 1) Ьз+1' Пример 9.26. Найдем характеристическую функцию непрерывной случайной величины Х, имеющей плотность раснределеннл Коши (1+ хз) 430 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Имеем еи» ввх У()= ~ Для вычисления интеграла воспользуемся методом контурного интегрирования [Х]. При этом рассмотрим отдельно два случая: $ ) 0 и 1 ( О.

В первом случае выберем замкнутый контур 2', состоящий из полуокружности 2.в большого радиуса В с центром в точке О, лежащей в верхней части комплексной плоскости, и части 2 л действительной оси, представляющей собой диаметр этой полуокружности (рис. 9.3). Поскольку подынтегрэльная функция является аналитической внутри рассматриваемого контура эа исключением простого полюса в точке» =1, то интеграл по контуру Ь будет равен вычету в точке в, умноженному на 2кв, т.е. | ив 1 ~ ив = 2к1Кеэ к(1+»2) в=в ~ к(1+»2) В свою очередь, е пв егм евм Вез 1 = 11ш(» — в) = 11ш »=в ( я(1+»2) !»-вв К(1+»2) в-вв'Х(»+В) 2КВ Оценим | е'в'в1» х(1+»2) при В ) ~/2. Поскольку ] вм]~~1 431 9.$. Решение типовых приыеров при Ф > 0 в верхней полуплоскости 1ш«> 0 и, кроме того, ~1+« ~ >— г 2 на окружности ф = В при В > ~/2, то | сече,1« я (1+ «~) Г2Щ 2зВ 2 -/ „Ваш,„Вг В.

Устремлял теперь В к бесконечности, видим„ что интеграл по полуокружности Ь' стремится к нулю, а интеграл по диаметру Ьв — к характеристической функции. Значит, Д$) =е ~ при $>0. Рис. 9.3 Рис. 9.4 Во втором случае поступим точно так же, только вместо полуокружности, лежащей в верхней части комплексной цлоскости, воэьмем полуокружность, лежащую в нижней части этой плоскости (рис. 9.4).

Аналогичные выкладки дают: у($) =е при 1<0. Об ьединяя оба случая, получаем 432 О. ПРЕДЕЛЪНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Пример 9.27. Выясним, может ли функция Д1) = в1п1 являться характеристической функцией некоторой случайной величины. Не может, так как У(0) = 0 уе 1, что противоречит свойству 1 характеристической функции. Пример 9.28. Ответим на вопрос: может ли функция Д$) =е являться характеристической функцией некоторой случайной величины? Не может, так как Д$) не является ограниченной, что противоречит свойству 1 характеристической функции.

Пример 9.29. Выясним, может ли функция являться характеристической функцией некоторой случайной величины. Оказывается, что не может, так как функция Д$) терпит разрыв в точках $ = -1 и $ = 1, что противоречит свойству 1 характеристической функции. Пример 9.30. Найдем характеристическую функцию случайной величины У=аХ+Ь, а)0, где Х вЂ” случайная величина, определенная в примере 9.26. Используя свойство 2 характеристической функции и результаты примера 9.25, имеем ~уф = ~х(а1)епя = е ~~6+'и 433 9.5.

Решение типовых примеров Пример 9.31. Независимые случайные величины Х~ и Хз распределены по экспоненвиальному эакону с параметрами Л~ и Лз. Найдем характеристическую функцию случайной величины у=х +х. Поскольку случайные величины Х~ и Хз независимы и имеют характеристические функции (см. пример 9.10), то в соответствии со свойством 3 характе- ристической функции Л(~)= Л~Лз (Л вЂ” ИНЛ2 — $$) Пример 9.32. Недедем математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, имеющей характеристическую функцию Нетрудно видеть, что характеристическая функция у(1) имеет производные всех порядков в любой точке Ф, причем -дв1пЬ вЂ” 2есове+ 2вш$ ун( )- у~( ) 12 при $ ф О, а у'(0) и уе(0) определяются из условия непрерывно- сти. Воспользовавшись правилом Лопиталя, имеем У'(0) = О, Ув(0) = — —.

Отсюда в силу свойства 4 характеристической функции МХ= —,=О, МХ =-Уе(0)=- 1ЭХ=МХ вЂ” (МХ) = —. у'(о) 3 3' вшФ У(1) = 11 Ух,(е) = л е Лз — й 1фО; 1= 0. 434 9. ПРЕДЕЛЪНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1+ соя 1 2 Мы не будем пользоваться фор.нулоб обращения, а представим характеристическую функцию у($) в соответствии с формулой Эйлера в виде п.1 у($) = -е' ' + -е' 4 ~+ -е' ' . Отсюда видно, что у($) является характеристической функцией дискреп1- ноб случабноб величины Х, имеющей ряд распределения, представленный в табл. 9.3.

Таблииа 9.3 Пример 9.34. Найдем закон распределения случайной величины Х, характеристическая функция которой равна у(Ф) =е ~'~. В данном случае характеристическая функция у ($) является абсолютно интегрируемой, а значит, случайная величина Х имеет плотность распределения р(х) = — е п*е ~дай. 2к,1 Производя интегрирование, получаем +оо о +оа — СО -00 о 1 1 1 2я(-1х+ 1) 2к(-1х — 1) к(хз + 1) Пример 9.33.

Найдем закон распределения случайной величины, характеристическая функция которой равна 435 е.е. Решеиие типовых примеров Таким образом, случайная величина Х имеет плотность рас- пределения 1 Р(х) ( 2 1) (см. также пример 9.25). Пример 9.35.

Случайнзл величина Х является средним арифметическим из 3200 независимых одинаково распределенных случайных величин, причем каждое слагаемое имеет математическое ожидание 3 и дисперсию 2. Воспользовавшись кекшралькой кределькой теоремой, оценим вероятность того, что Х попадет в интервал (2,925, 3,075). Случайная величина Х имеет математическое ожидание 2 1 МХ = 3 и дисперсию ПХ = — = —. 3200 1600 Тогда в силу центральной предельной теоремы случайная вели- чина У = (Х вЂ” 3)Л600 имеет приближенно стандартное нормальное распределение, а значит, Р(2,925 < Х < 3,075) = = Р((2,925- 3) Л600 < У < (3,075 — 3) Л600) пе Фо(3) — Фе(-З). Воспользовавшись табл. Н.З, в которой приведены значения функции Лапласа, имеем Р(2,925 < Х < 3,075) - 2 0,49865 = 0,9973. Пример 9.36.

Найдем вероятность того, что при 720 бросаниях игральной кости „шестерка" выпадает от 100 до 130 раз. 436 9. НРЕДЕЛЪНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Обозначим через Х суммарное число выпавших „шестерок" при и = 720 бросаниях игральной кости. Поскольку вероятность вьшадения „шестерки" при одном бросании р = 1/6, то в силу интегральной теоремы Муавра — Лапласа случайная величина Х вЂ” пр Х вЂ” 120 У= приближенно распределена по стандартному нормальному закону. Значит, Р(100<Х<130) =Р ~ < У < ~ -Фв(1) — Фе(-2). Г 100-120 130 — 1201 10 10 Используя таблицу значений функции Лапласа (см.