XVI.Теория вероятности (наш учебник) (Учебник по Теории Вероятности), страница 48

УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ных математических ожиданий М(Х~У) и М(У~Х): М(Х~0,2) =0,04 0,75+0,08 0,25=0,05, М(Х~0,5) =0,04.0,714+0,08 0,286 =0,05144, М(Х!0,8) =0,04 0,921+0,08 0,079 =0,04316, М(У10з04) = 012'Оз1875+ 0~5 01375+ 0>8 0~4375 = 0~575) М(У/0,08) =0,2 0,25+0,5.0,6+0,8 0,15=0,47. Таким образом, условное математическое ожидание М(Х~У) является функцией д(9) от случайной величины У, причем область определения функции д(у) состоит вз трех точек 0,2, 0,5, 0,8 и д(0,2) = 0,05, д(0,5) = 0,05144, д(0,8) = 0,04316. Аналогично условное математическое ожидание М(У~Х) является функцией Ь(Х) от случайной величины Х, причем область определения функции Ь(х) состоит из двух точек 0,04, 0,08 и Ь(0,04) = 0,575, Ь(0,08) = 0,47.

Вычислим, теперь значения ХЭ(Х(уу) и Р(У)ю;) условных дисперсий П(Х~У) и П(У~Х): ?У(Х~0,2) = М(Х~!0,2) — (М(Х~0,2)) = 0,04~ 0,75+0,08 .0,25 — 0,05~ = 0,0003, П(Х~0,5) = М(Х~/0,5) — (М(Х~0,5)) = 0,04~ 0,714+0,08~.0,286 — 0,05144~ = 0,00033, 1Э(Х~0,8) = М(Хз!0,8) — (М(Х10,8)) = 0,04~ 0,921+ 0,08 0,079 — 0,04316 — 0,00012, ]Э(У/0,04) = М(У~~0,04) — (М(У~0,04)) =0,2 0,1875+0,5~ 0,375+0,8 .0,4375 — 0,575~-0,051, 387 8.3. Рапеиие тииоввп~ примеров ЗЭЩ0,08) = М(У~~0,08) — (М(У~0,08)) =0,2 0,25+0,5г 0,6+0,8 0,15 — 0,47 ы0,035. Условная дисперсия Р(Х~У) является функцией от случайной величины У с областью определения, состоюцей иэ точек 0,2, 0,5, 0,8, и 1в(Х~0,2) =0,0003, О(Х~0,5) =0,00033, П(Х~0,8) =0,00012.

Условная дисперсия Р(У/Х) являетсл функцией от случайной величины Х с областью определения, состоящей иэ точек 0,04, 0,8, и О(У~0,04) = 0,051, 1в(У~0,08) = 0,035. Наконец, найдем корреляционные отношения Ол~у и Цу1т. Для этого вычислим сначала ПХ и ПУ. Имеем МХ = 0,04 0,8+ 0,08 0,2 = 0,048, РХ 0 04г . 0 8+ 0 08г . 0 2 0 048г 0 000256 МУ =0,2 0,2+0,5 0,42+0,8 0,38 =0,554, ПУ 0 2г. 0 2+ 0 5г.

0 42+ 0 8г . 0 38 0 554г 0 04928 Далее вычисляем 'МО(Х!У) =0,0003.0,2+0,0003308 0,42+ + 0,0001164 0,38 = 0,000243, МП(У~Х) = 0,0508 0,8+ 0,0351. 0,2 = 0,0475. Окончательно получаем М1:1(Х~У) 0,000243 $Х 0 000256 МЩУ/Х) 0,0475 ХИ' 0,04928 388 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Пример 8.20. В условиях примера 8.18 найдем условные математические ожидания М(Х~У) и М(У]Х), условные дисперсии В(Х]У) и П(У]Х) и корреляционные отношения ох~у и Чу~х. Найдем регрессии случайных величин Х на У и У на Х и построим линии регрессии.

Не проводя дополнительных вычислений, определим, чему равен коэффициенв1 корреляции случайных величин Х и У. Поскольку случайная величина У принимает значения только из отрезка [0,2], а случайная величина Х вЂ” из отрезка [О, 1], то значения М(Х]у) условного математического ожидания М(Х]У) и значение 1р(Х]у) условной дисперсии 1р(Х]У) заданы только для у ю отрезка [О, 2], а значения М(У~х) дисперсии 1Э(У]Х) заданы только для х ю отрезка [О, 1]. Поэтому далее будем предполагать, не оговаривал этого особо, что р Е [0,2], а х Е [0,1].

Воспользовавшись определением 8.6 условного математического ожидания и условной дисперсии 8.8 для непрерывной случайной величины и результатами примера 8.18, найдем: +оо 1-1р/э Г 2хдх 2 — у М(Х]у) = хрх(х]р) р1х = / оо о +оо Э(1-я) уФ М(У~х) = ррУ(у~х) р1у = 1 = 1 — х, оо о о(хор~ = 1 ( — м(х!р))'рр~,1р)р*= 1-я(г (2 — ) о 389 8.3. Ретеиие типовых примеров пе ~ ) = /( — и[ц ~) р~[р~ ~ыр = 211-х) 2 (у — (1 — х)) Иу (1 — х) 2(1-х) 3 о Таким образом, условное математическое ожидание М(ХР ) =9(У) =— 2 — У условное математическое ожидание М(У~Х) = й(Х) = 1 — Х, условная дисперсия (2 У)2 П(Х~У) = условная дисперсия ЩУ~Х) = 3 В частности, регрессия случайной величины Х на У задается формулой 2 — 9 аЬ) = 4 а регрессия случайной величины У на Х вЂ” формулой Цх) =1-х.

1Рафики линий регрессии Х на У и У на Х приведены на рис. 8.3 и 8.4. 390 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Рис. 6.3 Рис. 6.4 Найдем корреляционные отношения нх)у и тЬ )х. Имеем: +ос 1 МХ= хрх(х)дх= 2х(1 — х)р1х= —, -сс о +00 у 2 =~мр(р)рр=/р(р р)рр= — рю о +00 э ОХ= (х — МХ) р (х)р1х= 2~х — -) (1 — х)<Ь= —, в 00 о оУ= 1 [р — мг>'р,[р>Рр=/(р--) (Р— -) Рр- —, -00 о Г(2- )а,1 96 24' -сс о Г 2(1-х)~рЬ 1 М1Э(У)Х) = / П(х )х)рх(х)рЬ = у -00 о 391 Вопросы и задачи Отсюда получаем М1з(Х~У) 1/24 Чх!у = 1— ПХ 1/18 1 — — =0,5, МР(У~Х) 1/6 Чцх= 1— Ш' 2/9 1 — — = 0,5.

Поскольку, например, линия регрессии Х на 1' прямал, то абсолютное значение ~р~ козффициента корреляции равно корреляционному отношению ох~у. Кроме того, так как с ростом Х случайная величина У в среднем убывает, то козффициент корреляции отрицателен и 1 Р= Чх!к= Вопросы и задачи 8.1.

Дайте определение условного распределения одной координаты двумерного дискретного случайного вектора при усювии, что вторая координата приняла определенное значение. 8.2. Дайте определение условной плотности распределения одной координаты двумерного непрерывного случайного вектора при условии, что вторал координата приняла определенное значение. 8.3. Сформулируйте условия независимости координат дискретного и непрерывного случайных векторов в терминах усювных распределений. 8.4. Как определяют значение условного математического ожидания одной координаты двумерного дискретного случайного вектора при условии, что другая координата приняла 392 В. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН определенное значение? Что называют условным математическим ожиданием одной координаты двумерного дискретного случайного вектора относительно другой? 8,5.

Как определяют значение условного математического ожидания одной координаты двумерного непрерывного случайного вектора при условии,что другая координата приняла определенное значение? Что называют условным математическим ожиданием одной координаты двумерного непрерывного случайного вектора относительно другой? 8.6. Перечислите свойства условного математического ожидания. 8.7. Что называют регрессией одной координаты двумерного случайного вектора на другую? Что такое линия регрессии? 8.8. Что называют условной дисперсией одной координаты двумерного случайного вектора относительно другой? Как определяется значение условной дисперсии одной координаты двумерного случайного вектора при условии,что другая координата приняла соответствующее значение? 8.9.

Первчислите свойства условной дисперсии. 8.10. Что называют корреляционным отношением Члену? Как вычислить корреляционное отношение для дискретных и непрерывных случайных векторов? 8.11. Перечислите свойства корреляционного отношения 8.12. Распределение двумерного случайного вектора (Х, У) задано табл. 8.9. Найдите условное распределение случайной величины Х при условии, что случайная величина 1' приняла значение у„у = 1,2, и условное распределение случайной величины У при условии, что случайная величина Х приняла значение я;, 1 = 1,2,3. Используя найденные условные распределения, проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми. 393 Вопросы и задачи Таблица 8.9 Таблица 8.10 Таблица 8.11 О т в е т: Условные распределения случайной величины Х при условии У и случайной величины У при условии Х представлены в табл.

8.10 и 8.11 соответственно. Случайные величины Х и У являются зависимыми. 8.13. Двумерный случайный вектор (Х, У) распределен равномерно в прямоугольнике с вершинами в точках (-3; -10), (-3;10), (3;10) и (3;-10). Найдите условную плотность распределения случайной величины Х при условии, что случайная величина У приняла значение у и условную плотность распре. деления случайной величины У при условии, что случайная ве. личина Х приняла значение х.

Используя найденные условные плотности распределения, проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми. Ответ: ( —, ~х~<3 и ~у~<10; рх(х~у) = б' О, ~х~>3 и ~у~<10; ( —, )у~<10 и )х~<3; р~ (у~х) = О, )у~ > 10 и ~х~ < 3. Случайные величины Х и У являются независимыми. 8.14. Непрерывный двумерный случайный вектор (Х, У) имеет плотность распределения ) Су, (х, у)ЕП; О ( )Ф1~ 394 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН где Р— область, ограниченная линиями у = хэ и у = 1. Найдите постоянную С, условную плотность распределения случайной величины Х при условии, что случайная величина У приняла значение у, и условную плотность распределения случайной величины У при условии, что случайная величина Х приняла значение х.

Используя найденные условные плотности распределения, проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми. Ответ: С= 5/4; — хЕ[ — ~/р,,Я и рб[0, 1]; О, хф[-/у, Я и уЕ(0,1]; (] ) — 1 — я4' 4 уЕ[х 1] и хЕ( — 1 1)' О, у ф [хэ, Ц и х Е ( — 1, 1). Условная плотность рх(х[у) не определяется при р ф (0,1], условная плотность ру(у]х) — при х ф (-1, 1).

Случайные величины Х и У являются зависимыми. 8.15. Двумерный случайный вектор (Х, У) имеет нормальное распределение с плотностью распределения -4ж~-эжя-я4 Найдите условную плотность распределения случайной величины Х при условии, что случайная величина У приняла значение у, и условную плотность распределения случайной величины У при условии, что случайная величина Х приняла значение х. Используя найденные условные плотности распределения, проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми. Ответ: ° (*ь) =-' -~"">", "ь].) =- -*'"' — х и 7Г Случайные величины Х и У являются зависимыми.