XVI.Теория вероятности (наш учебник) (932345), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Очевидно, что последовательность Х1, Хэ, ..., Х„, удовлетворяет закону больших чисел тогда и только тогда, кегда среднее арифметическое случайных величин Х1 — т1, Хэ — гпэ, ..., Մ— т сходится по вероятности к нулю при и -+ 00. Теорема 9.3. Если последовательность Х1, Хэ, ..., Х„, ... независимых случпйкых величии такова, что существуют МХ; = п11 и РХ; = оэ, причем дисперсии оэ ограничены в совокупности 1т.е.
еР( < С < +со), то для последовательности Х1, Хю ..., Х„, ... выполнен закон болыпих чисел. При этом говорят также, что к последовательности Х1, Хэ, ..., Х„, ... случайных величин применим закон большие чисел в форме Яебышева. 410 и НРеДелъные теОРемы теОРии ВВРОЯтнОстей < Теорема является элементарным следствием второго неравенства Чебышева.
Действительно, в силу свойств математического ожидания и дисперсии М вЂ” ~~> Х; = — ~~> тп;, 1! п2 4~п2 Применяя теперь второе неравенство Чебышева к случайным величинам 1 1„= -',1'Х;, и М1 получаем для любого е ) О Р -~~ Х; — -~~) гп; >е~ < — — + О. п ' п ' пя2 -+00 М1 Ы1 Таким образом, мы показали, что для последовательности Хм Хх> ..., Х„р... выполняется закон больших чисел. > Следствие 9.1. Если случайные величины Х;, 1 = 1,2,..., в условиях теоремы 9.3 являются также одинаково распределенными (в этом случае п1; = ш и а~ = сР), то последовательность Х1, Хх,..., Х„,...
случайных величин удовлетворяет закону больших чисел в следующей форме: Х; ~п1. 1 Р и а-+сю < Доказательство проведите самостоятельно. > Теорема 9.4. Пусть проводится п испьгганий по схеме Беряул.юи и ӄ— общее число успехов в и испытаниях. Тогда 9.3. Неравенства Чебышева. Заков болывнк чисел 411 наблюденная частота успехов н сходится по вероятности к вероятности р успеха в одном испытании, т.е. для любого е ) О Рата — Р~ ~) е1 — ~ О. < Обозначим Х; число успехов в 1-м испытании Бернулли.
Тогда частоту успехов в н испытаниях можно определить в виде в т„= — ~~~ Х;, н 1=1 причем и ВХ1 = рд. МХ;=р Значит, выполняются все условия следствия 9.1, из которого вытекает утверждение теоремы. ° Теорему 9.4 называют также епеоремоб Бернулли, или законом больших чисел в Яорме Бернулли. Из хода доказательства теоремы 9.4 видно, что закон больших чисел в форме Бернулли является частным случаем закона болыпих чисел в форме Чебышева.
Пример 9.8. Пусть дана последовательность Х1, Хг, ..., Х„, ... независимых случайных величин, причем ряд распределения случайной величины Х„представлен в табл. 9.1. Покажем, что к Уаблиие 9.1 этой последовательности пРименим Х„-5н О бн закон больших чисел в форме Че- Р— 1 —— бышева. Для этого вычислим дис- гне не гне персию 1лХв. Имеем МХ„=( — бн) — +О ~1 — — ~+бн — =О, 2нг ~ нг~ ' 2нг 412 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ эх„= мх„'- (мх„)' = мх„' = = (-5п) — +О ~1 — — ) +(5п) — = 25. 2 1 2т 1~ 2 2пх ~ па ) 2пх Итак, дисперсии 1ЭХ„ограничены в совокупности, и к последовательности Хы Х2,..., Х„,...
применим закон больших чисел в форме Чебьппева. Замечание 9.4. В специальных курсах теории вероятностей рассматривают также усиленный закон больших чисел, в котором сходимость по вероятности заменяется сходимостью с вероятностью 1. 9.3.Характеристическая функция Для дальнейших исследований нам понадобится понятие характперистической функции.
Оцределение 9.6. Характперистпической утункиией у(т) = тх(т) случайной величины Х называют матаематпическое ожидание случайной величины еил, где т' — мнимая единица, а 8 — проязвольное'(действительное) число. В определении математического ожидания фигурирует комплекснозначная случайная величина, которая определяетсл так же, как и скалярная, с той лишь разницей, что каждому элементпарному исходу ставится в соответствие комплексное число, а не действительное.
Используя общее правило вычисления математического ожидания и формулу Эйлера [Х], получаем: для дискретной случайной величины Х, принимающей зна чения х;, у = 1,2,..., у(8) = Меи~ = "2 еехтру =~ русов(2ху)+2~~ рув1п(2ху); 413 9.3.Характеристическая фуяяяяя для непрерывкой случайной величины с плотностью распределения р(х) у (~) = МЕПХ Ейяр(Х) йХ +со +ее — соя(1х)р(х) Их+ а яш($х)р(х) дх. Поскольку !е'~~ = 1, то +ее Следовательно, ',> е'~ ер. и ) еияр(х)Их сходятся при всех $ у -00 (действительных), т.е. характеристическая функция существует при всех $ для каждой случайной величины. Отметимг что характеристическая функция определяется не собственно случайной величиной, а ее функцией распределения, т.е., по существу, она характерюует именно распределение случаинои величины.
Читатель, знакомый с преобразованием Фурье, сразу же заметит, что характеристическая функция непрерывной случайной величины отличается от преобразования Фурье клацкавши распределения этой случайной величины только лишь отсутствием множителя 1/~/2~г, что, как будет видно ю дальнейшего, представляет определенное удобство при действиях над случайными величинами. Пример 9.9. Найдем характеристическую функцию случайной величины Х, распределенной по биномиаль ному закону.
Поскольку Х вЂ” дискретная случайная величина, принимающая 414 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ значения О, н, то у($) = ~у е~~~С~фд у = ~СЬ1(рену)д~ у (д+ реп) у=о уме Пример 9.10. Характеристическая функция случаинои величины Х, распределенной по эксцоненниаюьному закону, имеет вид +оо +оо у(Ф) = е"*Ле ~*ах = Л е~п «)*ах = —.. ,à —, ы о о Пример 9.11. Пусть случайная величина Х распределена по спьандартному нормальному закону. Тогда +оо +оо у($) = ~ е" д«(х)ах= l еев — е * ~ дх. Делал замену у ~ х — ьг, получаем +оо-П +оо — ц У(г) ( -Ь'+РУг,~у ~ -Р(г -лоРа ! ~Г2п «/2и Из теории функций комплексного переменного (Х] известно, что +оо — П е "~~Ну= «/2~г.
-оо-П Окончательно получаем ~($) = е . Ф -Р/г Выведем некоторые свойства характеристических функции. 41б 9.3. Харантериетичеенеи фуиннин Теорема О.б. Характеристическая функция удовлетворяет следующим свойствам. 1. ДФ) — непрерывная функция, причем абсолютное значение у($) ограничено единицей, т.е. ~~(Й~ < 1 и ДО) = 1. 2. Если У = аХ+ Ь, то ~у(Ь) = ~х(ас)ене 3. Если Х1 и Хз — независимые случайные величины и У = Х1 + Хз, то Л Р) = Ух,(Ь)УХ. (Ь). 4.
Если случайная величина Х имеет момеиоь и-го порядка пь„, то характеристическая функция Х дифференцируема и раз, причем для й < и у(~)(0) = ь~пьь. м 1. Утверждение 1 докажем для дискретной случаиной величины. Тогда ДО) =~е"~р = ~ р =1. Из неравенства ~Дй)) <~ ~е'~ ~р =~~Ь р =1 вытекает ограниченность функции по абсолютной величине единицей. НЕПрЕрЫВНОСть ДФ) СЛЕдуЕт ИЗ НЕПрЕрЫВНОСтИ фуНКцИИ Ение и абсолютной сходимости ряда 2;р (Х). 2. В силу определения характеристической функции и свойства 2 математического ожидания (см.
Т.2) уу(Ь) Мену Мои(ах+ь) М(~за х еььь) е™мешьх еььйу (ос) 3. Поскольку Хь и Хз независимые, то независимыми являются также случайные величины е'~х' и е'~хе. Поэтому в соот- 416 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ветствии со свойством 4 математического ожидания (см. Т.2) Менк Мей(х1+~з) М(еах1еахь) МепхъМеах1 4.
Формальное й-кратное (к < н) дифференцирование характеристической функции дает ~(ь)(4);ь хьеиир(х),~х Законность дифференцирования определяется тем фактом, что '"е1 р(х)ах < ~х ~р(х)дх, гаь =1 ~у(~)(0). Заметим, что свойство 3 является основным свойством, бла годаря которому характеристические функции нашли широкое применение в теории вероятностей. При суммировании независимых случайных величин их плотности распределения про. образуются по формуле свертки.
Но формула свертки весьма неудобна для исследования, гораздо проще заменить ее простым перемножением характеристических функций. Пример 9.12. Как мы знаем, если случайная величина Х распределена по стиандаршному нормальному закону, то случайная величина У = оХ+п1 и существованием момента и-го порядка.
Заметим, что при четном н справедливо и обратное: если характеристическая функция имеет производную ~~"~(0), то существуют моменты лц, всех порядков к до и-го включительно, и 417 9.3. Характеристическая фулкцил распределена по нормальному закону с параметрами ~ть и о. Согласно свойству 2 характеристические функции ~,щ,($) и у ($) случайных величин У и Х связаны соотношением у,-(с)=" 'у( ), или, с учетом результата примера 9.11, -~— 'Ф' у р) апм — ~— Пример 9.13. Вычислим момент к-го порядка случайной величины Х, распределенной по экскокекккалькому запеку. Воспользовавшись свойством 4 и результатом примера 9.10, получим ~ (в) ~л-ы~ л + л.' с=о Пример 9.14.
Найдем еще раз характеристическую функцию числа успехов Х в и испытаниях по схеме Беркулли, однако, в отличие от примере 9.9, воспользуемся равенством Х вЂ” Х1 + ° ° ° + Хп~ где Х вЂ” число успехов в у-м испытании. Тогда ух,. ($) = депе + ре" ~ = д + реп и в силу свойства 3 ух($) =ух1Р) "ух.($) =(Я+реп)" Ф Важнейшей особенностью характеристической функции у($) является тот факт, что она однозначно определяет функцию распределения Р(х) с помощью формулы обрашекия (Х1]. 418 9. ПРЕДЕЛЪНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Формула обращения. Для любых точек непрерывности х1 и хз функции распределения Р(х) т 1 г е '~'-е 'м' г (хэ) — г'(х1) = — 1ш1 / .
у ($) о1. 2я т-++ ~ й Отметим, что формула обращения справедлива и в точках разрыва г'(х), если предположить, что в этих точках г (х+ О) — г'(х — О) г'(х) = Если характеристическая функция у (1) является абсолютно интегрируемой на ( — оо, +со) [1Х], то существует непрерывнзл плотность распределения р(х), задаваемая выражением р(х) = — е ™у($)о1. 2и / Последнее соотношение называют формулой обращения для плотности распределения случайной величины. Формула обращения для плотности распределения р(х) хорошо известна нз курса математического анализа как формула обратного преобразования Фурье. Не давая строго математического доказательства, покажем, что по своей сути формула обращения представляет собой разновидность обратного преобразования Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
