XVI.Теория вероятности (наш учебник) (Учебник по Теории Вероятности), страница 52

Действительно, формально применяя обратное преобразование Фурье р(х) = — е ' у($)о1 2я / к характеристической функции у($) и вспоминая соотношение между плотностью распределения р(х) н функцией распределе- 419 9.3. Хараатерастячесаае фуааляе ния г'(х), имеем хе ее +оо Г(хз) — Р(х1) = р(х) Ых = — Ых е '~*Д$) й. х~ -оо Формально проводя еще одну операцию — перестановку инте. грзлов, получаем Р(хз) — Р(х1) = — у($) гМ е и*Ых = 2х,г 1 е «га1 — е нае +оо Д$) гМ.

2х,г Ы Хотя каждая из Формально проведенньпг операций, вообще говора, математически не обоснована (в частности, дискретные случайные величины вообще не имеют плотности распределения), конечный результат верен, если только понимать последний интеграл в том смысле, как написано в формуле обращения (в смысле главного значения) [Х1]. Из определения характеристической функции и формулы об ащения следует существование взаимно однозначного соотр ветствия между плотностью распределения и характеристической функцией, а следовательно, и между функцией распределения и характеристической функцией.

П имер 9.15. Пусть Х1 и Хз — независимые случаиные Р величины, распределенные по нормальному закону с параметрами гп1 и ггм газ и сгз соответственно. Рассмотрим случайную величину У = Х1 + Хз. Тогда, как показано в примере 9.12, аост е-е'ее/з г~1 1гпее-аееге/2 420 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и в соответствии со свойством 3 характеристических функций получаем, что у (1) гбггг+тг)г-~ад+аг)г /2 Но характеристическую функцию 1у(1) имеет случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами пгг + гпэ и ЬЯ+ оз.

Следовательно, случайная величина У также распределена нормально (с параметрами гпг + пгз и Л+аз). Таким образом, с помощью характеристических функций получили хорошо известный нам результат (см. пример 6.11): сумма независимых случайных величин, имеющих норма.аьное распределение, также является распределенной по нормальному закону — и вычислили параметры этого распределения.

Заметим, что использование многомерных характеристических функций позволяет весьма просто установить аналогичнын результат для суммы любого конечного числа случайных величин, распределенных по нормальному закону (ср. с результатами 6.6). Пример 9.16. Рассмотрим независимые случайные величины Хг и Хз, распределенные по закону Пуассона с параметрами Лг и Лз.

Их характеристические функции задаются формулами В +ОО Лгг гьгЛг -лг -лг% ' (Лге ) лг(гн-1) а=О в=О Ух (1) =е"*'*' ') Пусть 1'=Х +Х . Тогда ~ (г) (Лг+лгНга-г) и в силу взаимно однозначного соответствия между функцией распределения и характеристической функцией случайная 421 9.3. Характеристические фуииииа величина х" распределена по закону Пуассона с параметром А1+ Лэ. ф Основную роль при доказательстве ценшрааьвоб предельной теоремы играет теорема о связи слабой сходимости последовательности функций распределения со сходимостью последовательности соответствующих характеристических функций, или теорема непрерывности.

Приведем без доказательства формулировку этой теоремы. Теорема 9.6 (паеоремв кепрерывкоспаи). Для того чтобы последовательность Р1(х), Рэ(х), ..., га(х), ... функций распределения слабо сходилась к функции распределения Р(х), необходимо и достаточно, чтобы последовательность у1($), Я3), ..., уа(Ф), ...

характеристических функций сходилась к характеристической функции у($) в любой точке Ф. Теорема непрерывности позволяет свести задачу изучения предельного поведения распределений сумм независимых случайных величин к задаче изучения предельного поведения характеристических функций этих сумм. В разньп~ учебниках приведены различные формулировки теоремы непрерывности; данная здесь формулировка наиболее естественна для наших дальнейших рассуждений. В заключение отметим, что наряду с характеристической функцией в теории вероятностей используют также: — для неотрицательной случайной величины Х преобразоввкке Лапласа — Спаилпаьеса Да) = Ме 'х, Кеа ) 0; — для неотрицательной целочисленной случайной величины Х производящую функцию ~'(л) = Мах> ф (1.

Ясно, что преобразование Лапласа — Стилтьеса Да) и провзводящэя функция у*(л) связаны с характеристической 422 О. ПРЕДЕЛЪНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ функцией той же самой случайной величины соотношениями Преобразование Лапласа — Стилтьеса и производящая функция, по сути дела, имеют те же самые свойства, что и характеристическая функция, но их существенно проще использовать уже хотя бы потому, что они являются действительными функциями. 9.4. Центральная нредельнан теорема Рассмотрим последовательность Хь Хэ, ..., Х„, ... кеэависи.кых одинаково распределенных случабкых величии, имеющих .иатиекашическое охсидакие МХ„= гк.

Предположим также, что существует дисперсия Х)Х„ = оэ. Закок больших чисел (слабый) для этой последовательности можно представить в следующей форме: — ,') (Х; — МХ;) = — (߄— кт) — + О, 1 1 к и в-+во к~1 где в Е„=) Х; суммарное значение первых к случайных величин последовательности, а сходимость можно понимать как в смысле сходи- мости ко веролшкостии (слабый закон больших чисел), так и в смысле сходимости с вероятностью 1 (усиленный закон больших чисел).

Однако сразу возникает вопрос: поскольку случайные величины Х„имеют не только математическое ожидание, но и дисперсию, то нельзя ли доказать более „тонкую" предельную теорему, позволяющую точнее описать предельное поведение 423 9.4. Цеитрааьиаа иредеаъиае теорема распределений величин ߄— птпу Такал теорема существует, ее называют центральной предельной теоремой. Теорема 9.7 (центпральнал предельном тпеорема).

Пусть Х1, Хз, ..., Х„, ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, МХ„= тп, алХ„= оз. Тогда Р " <х — + Ф(х), где Ф(х) — функция стпандартпного нормального распределения. ~ Прежде всего заметим, что поскольку функция стандартного нормального распределения Ф(х) является непрерывной функцией, то сходимость к ней последовательности функций распределения в каждой точке представляет собой слабую сходимостпь, и, значит, для доказательства центральной предельной теоремы можно воспользоваться тпеоремоб непрермвностпи.

Обозначим у1($) харантперистпииесную функцию случайных величин Х„, а д„(т) — характеристическую функцию случайной величины (Яо — птп)/~/поз. Воспользовавшись свойствами 2 и 3 характеристических функций> найдем Поскольку ут(т) имеет производные первых двух порядков (свойство 4 характеристических функций), то 1пЯС/~~~ох) можно в любой точке 8 представить первыми тремя слагаемыми формулы Маклорена: 424 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ или, ~(~/~г) / г 2птг (и)' если учесть (см. теорему 9.5), что /1(0) = 1, /т(0) = ттпм /1 (О) = т тпг и тпг = тп = о . Поэтому т Х ~ т'тпг ) 1пд„(т) =п 1п/т( — ) — — ~ (,/~ог! ~/„ог~ 2 и, значит, д„(1) — + е ' /г.

и-+оь Для завершения доказательства теоремы остаюсь заметить, — Рг что е т тг — характеристическая функция /(т) стпандартпноео нормальноео распределения (см. пример 9.11). ~ь Центральная предельная теорема выявляет ту особую роль, которую играет нормальное распределение на практике. Нормальный закон всегда имеет место в тех ситуациях, когда случайная величина порождена большим количеством случайных факторов, действующих независимо друг от друга.

Уже само название „нормальный закон" объясняется тем широким распространением, которое он находит в самых различных областях научных исследований. Следствием из центральной предельной теоремы является интегральная теорема Муавра — Лапласа (см. 3.6, интпезральнал формула Муавра — Лапласа). Теорема 9.8 (интпееральнал тпеорема Муавра — Латьласа). Обозначим Б„суммарное число успехов в и испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха р и вероятностью неудачи д = 1 — р. Тогда с ростом и последовательность функций распределения случайных величин (Б„— пр)/ /Юру сходится к функции стандартного нормального распределения, т.е.

Р " (х + Ф(х). 425 9.4. Центральнан предельное теорема < Пусть Х; — число успехов в 4-м испытании. Тогда МХ; = Р, ВХ1 = Р~. Представляя Я„в виде оа — Х1 + ° ° + Ха и используя центральную предельную теорему, приходим к утверждению теоремы. ° Пример 9.17, Для определения скорости о движения объекта делают п измерений и1, ..., е„, причем ьье измерение проводят с погрешностью Х; (т.е.

гч = о+ Х;), при этом погрешности измерений являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с математическим ожиданием МХ; = 0 (отсутствуют систематические погрешности наблюдений) и дисперсии РХ; = оэ. Оценим вероятность того, что средняя наблюденная скорость 91 +... + Фа оср— и будет отличатьсл от истинной скорости и не более чем на с.

Имеем РЦ.„о~ <.) Р~ с« .) Считая теперь, что число и измерений велико, воспользуемся центральной предельной теоремой, согласно которой случайная величина о1+ ° ° + оо / г 426 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ приближенно распределена по стандартному нормальному за- кону. Значит, Р«) — )< ) Ф( )/ — ) — Ф(- )) — )=2Ф ( ))' — ). Значения интпеграла Лапласа Фе(х) приведены в табл. П.З. 9.5. Решение типовых примеров Пример 9.18. По многолетним наблюдениям, средняя скорость ветра в некотором пункте равна 16 км/ч. Оценим с помощью первого неравенстпва Чебышева веролтпностпь того, что в случайный момент времени скорость ветра в этом пункте превысит 80 км/ч. Обозначим через Х скорость ветра при наблюдении в случайный момент времени и, воспользовавшись первым неравенством Чебьппева, получим 16 1 Р(Х >80) < — =-.