XVI.Теория вероятности (наш учебник) (Учебник по Теории Вероятности), страница 54

табл. П.З), находим: Р(100 < Х < 130) 0,34134 — (-0,47725) = 0,81859. Отметим, что задачи такого рода уже рассматривались нами (см. 3.6). Вопросы и задачи 9.1. Какие тины сходимости случайных величин Вы знаете? Как связаны между собой различные типы сходимости? 9.2. Дайте определение слабой сходимости последовательности функций распределения. 9.3. Напишите первое неравенство Чебышева. 9.4. Напишите второе неравенство Чебьппева.

9.5. В каком случае говорят, что последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин удовлетворяет закону больших чисел? В чем заключается физический смысл закона больших чисел? 9.6. Докажите закон больших чисел в форме Чебышева. Вопросы я задачи 437 9.7. Докажите закон больших чисел в форме Бернулли. 9.8. Дайте определение характеристической функции. 9.9. Перечислите основные свойства характеристической функции. 9. 10.

Напишите формулу обращения. 9.11. Как связаны между собой слабая сходимость последовательности функций распределения и сходимость последовательности соответствующих им характеристических функций (теорема непрерывности)? 9.12. Докажите центральную предельную теорему. В чем заключается физический смысл этой теоремы? 9.13. Докажите интегральную теорему Муавра — Лапласа. 9.14. Средний ежедневный расход воды в некотором пасе. ленном пункте составляет 50000 л. Оцените с помощью первого неравенства Чебьппева вероятность того, что в произвольно выбранный день расход воды в этом пункте превысит 150000 л. О т в е т: Р(Х > 150000) < 1/3.

9.15. Среднее потребление электроэнергии в мае в некотором населенном пункте составляет 360000 кВт ч. а) Оцените с помощью первого неравенства Чебышева вероятность того, что потребление электроэнергии в мае текущего года в этом населенном пункте превысит 1000000 кВт.ч. б) Оцените с помощью второго неравенства Чебьппева ту же вероятность, если известно, что среднее квадратичное отклонение потребления электроэнергии в мае равно 40000 кВт.ч. Ответ: а) Р(Х > 1000000) < 0,36; б) Р(Х >1000000) < —. 9.16. Среднее квадратичное отклонение погрешности измерения курса самолета равно 2'. Считая математическое ожидание погрешности измерения равным нулю, оцените с помощью второго неравенства Чебьппева вероятность того, что погрешность одного измерения курса самолета превысит 5'.

Ответ: РЦХ~ > 5') <0,16. 438 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 9.17. Вероятность появления некоторого события в каждом из 800 независимых испытаний равна 1/4. Воспользовавшись вторым неравенством Чебышева, оцените вероятность того, что число Х появлений этого события заключено в пределах от 150 до 250.

О т в е т: Р(150 < Х < 2501 > 0,94. 9.18. Пусть дана последовательность Х1, Хз, ..., Х„, ... независимых дискретных случайных величин, причем ряд рас- пределения случайной величины Х„ Таблица У.4 представлен в табл. 9.4. Проверьте, применим ли к этой последовательности закон больших чисел в форме Чебьппева. Ответ: да, применим. 9.19. Пусть Хм Хз, ..., Х„, ... — последовательность независимых случайных величин, причем случайная величина Х„имеет плотность распределения пз(в+1) !х! рх.(4= ~„,+х, „+,. Проверьте, удовлеФворяет ли последовательность Х1,Хз,...,Х„,...

закону больших чисел в форме Чебышева. Ответ: да, удовлетворяет. 9.20. Пусть последовательность Хм Хз, ..., Х„, ... некоррелированных случайных величин удовлетворяет условию 11ш — ~~ ~ пх; = О. 1 Проверьте, применим ли к этой последовательности закон больших чисел. Ответ: да, применим. 439 Вооросы л эвяави 9.21. Найдите характеристическую функцию случайной величины Х, ряд распределения которой представлен в табл. 9.5. О т в е т: Дв) = 1/2+ еп(1+ еп) в/8. Таблица У.б 9.22.

Найдите характеристическую функцию случайной величины Х, ряд распределения которой представлен в табл. 9.6. Ответ: /(~) =совой. Таблица У.б 9.23. Найдите характеристическую функцию неотрицательной целочисленной случайной величины Х, распределение которой задается вероятностями р„= Р(Х = и) = (и+ 1)р~(1 — р)" (и = О, 1,..., О < р < 1). Ответ: Д$) =р~/(1 — (1-р)е") . 9.24. Найдите характеристическую функцию непрерывной случайной величины Х, имеющей плотность распределения О, ~х) > 1; р(х) = З(~-хв) ~х~ < 1.

Ответ: 1, В=О; .~(Ф) 3(вшй Фсовй) Ф О ,в ) Ф 9.25. Найдите характеристическую функцию случайной величины Х, имеющей гамма-распределение с параметрами у и Л. Ответ: Дс) = Л"/(Л вЂ” вс)~. 440 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 9.26. Найдите характеристическую функцию непрерывной случайной величины Х, имеющей плотность распределения ~/2 Р( ) (1+я4) О тает: /($) = чГ2е ~'~~'/звш(я/4+ ф/~/2). 9.27. Может ли функция У(') ='-1+42 являться характеристической функцией некоторой случайной величины? Ответ: не может. 9.28.

Может ли функция /($) = 2 — сое$ являться характеристической функцией некоторой случайной величины? Ответ: не может. 9.29. Может ли функция где [$) — целая часть числа $, являться характеристической функцией некоторой случайной величины? Ответ: не может. 9.30.

Найдите характеристическую функцию случайной величины У = аХ+ Ь, где Х вЂ” случайная величина, определенная в задаче 9.26. Ответ: Я) =~Г2е Ь"~~~~+нвеш(я/4+~аФЦЯ). 9.31. Случайная величина Х1 распределена равномерно в интервале (0,1), а случайная величина Х2 имеет стандартное нормальное распределение. Найдите характеристическую Вопросы и эвяачя 1 1+ 2й Ответ: МХ = — 2, РХ=4. 9.33. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, имеющей характеристическую функцию У(с) = Ле ~й~~~в1п(-+ 1 ~,4 ~/2/ Ответ: МХ = О, РХ = 1+ гЛ 4 9.34.

Найдите закон распределения случайной величины, характеристическзл функция которой равна сов с(2 сов Ф+ 1) 3 Ответ: У($) является характеристической функцией дискретной случайной величиныХ, имеющей ряд распределения, представленный в табл. 9.7. Таблица 9.7 9.35. Найдите плотность распределения случайной величины, имеющей характеристическую функцию О т в е т: р(х) = — вш гп пж2 г функцию случайной величины У = Х1 + Хг, если известно, что Х1 и Хг являются независимыми.

(еы 1)е-с /2 О т в е т: уу(1) = 11 9.32. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, имеющей характеристическую функцию 442 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 9.36. Проводится выборочное обследование большой партии злектрических лампочек для определения среднего времени их горения. Среднее квадратичное отклонение времени горения лампочки равно а = 80 ч. Из всей партии наудачу выбирается 400 лампочек. Воспользовавшись центральной предельной теоремой, оценитевероятность того,чтосреднее (математическое ожидание) время горения лампочки будет отличаться от наблюденного среднего времени горения выбранных 400 лампочек не более чем на 10 ч. Ответ: 0,98738. 9.37. Случайная величина Х является средним арифметическим ю и независимых одинаково распределенных случайных величин, дисперсия каждой ю которых равна 5.

Воспользовавшись центральной предельной теоремой, оцените, какое число слагаемых и нужно взять для того, чтобы с вероятностью не менее 0,9973 случайная величина Х отклонялась от своего среднего не более чем на 0,01. Ответ: и > 450000. 9.38. Решите задачу 9.17, воспользовавшись для приближенной оценки искомой вероятности интегральной теоремой Муавра — Лапласа. Сравните полученные результаты. О т в е т: Р(150 4'Х < 250) 0,9999366.

Сравнивал полученные резуль'таты, видим, что интегральная теорема Муавра— Лапласа дает гораздо более точный ответ. ПРИЛОЖЕНИЕ Табаица П.1 значенил функции Р(7н;л) = —,е " о,в О,О 1,0 0,4 0,1 0,2 о,з 0,5 О,б О,Т 54881 32929 09879 01976 00296 ооозб 00004 49659 34761 12166 02839 00497 ооото 00008 ОООО1 44933 З5946 14379 03834 00767 00123 00016 Оаааг 40657 36591 16466 04940 опп Оагаа 00030 00004 36788 36788 183 94 06131 01533 00307 00051 00007 ОООО1 0,90484 'ООО48 00452 00015 81873 16375 01637 00109 00005 74082 22225 03334 ооззз 00025 оооог 67032 2681З 05363 00715 ООО72 00006 60653 зозгт 07582 012 64 00158 00016 ОООО1 1,5 2,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 з,о 2,5 0,22313 33470 25102 12551 0470Т 01412 00353 00076 00014 оооог о 1 г з 4 5 6 7 8 9 1О и 12 1З 14 15 16 17 1В 19 13534 27067 27067 18045 09022 03609 01203 00344 00086 00019 00004 ОООО1 08208 20521 25652 21376 13360 06680 02783 00994 оозп 00086 00022 00005 оаоо1 04979 14936 22404 22404 16803 1аазг 05041 02160 00810 ОО27О ОООВ1 00022 00006 ОООО1 Оаага 10569 18496 21579 18881 1З217 07710 03855 01687 00656 оогзо 00073 00021 00006 ОООО1 01832 07326 14653 19537 19537 15629 10420 05954 02977 О1З2З 00529 00192 Оаа 64 ооого Оаааб оооог опп 04999 П248 16872 18981 1Т083 12812 08236 04633 02316 01042 ОО426 ОО160 00055 аоо1в 00005 аооог 00674 03369 08422 14037 17547 17547 14622 1О 444 06528 03627 О1В1З 00824 00343 ОО1З2 00047 00016 00005 ОООО1 00409 02248 06181 ПЗЗ2 15582 17140 15712 12345 ОВ487 05187 02853 01426 00654 00277 00109 00040 00014 00004 ОООО1 00248 01487 04462 08924 13385 16062 16062 13768 10326 06884 04130 02253 ОП26 00520 00223 00089 ооозз 00012 ОООО4 аооо1 СПИСОК РЕКОМЕНД",у"ЕМОЙ ЛИТЕРАТУ'РЫ Учебники и учебные пособил Боровков А.А.