Гироскоп. Теория и применение, страница 7

Введение н основные положения Так как для векторного произведения справедлив распределительный закон, то уг еиа (ы1+ св1) га гиаьг1га. Вектор у; определяет скорость точки твердого тела, которое совершает единственное вращение с угловой скоростью гог = гв'. + гвь,. Направление результирующего вектора гвг определяет мгновенную ось вращения. 1.4.2. Геометрическое описание движения твердого тела с неподвижной точкой. Если твердое тело имеет неподвижную точку, то она может быть выбрана в качестве начала координат.

Тогда нужно в общей формуле (1.38) положить х; =О, так что останется лишь слагаемое от вращательного движения. Ось вращения представляет собой геометрическое место точек, покоящихся в данное мгновение, и поэтому должна проходить через неподвижную точку тела. Таким образом, имеем: В общем случае движение твердого тела с неподвижной точкой есть вращение вокруг оси, проходящей через эту точку. Ось вращения может с течением времени изменять свое направление. Она описывает в пространстве поверхность конуса, называемого неподвижным аксоидом (или конусом герполодии), Неподвижная точка с является вершиной этого конуса (рис. 1.20).

Ось герлологтаа (яелоооалгея Ф лоооог(уаяслгйе) (гонуо лолоА' (сУяоая ягела Рнс. ГЛО. Представление движения твердого тела вокруг неподввжиов гочки Р качением подвижного аксоида по иеподвиагному. вращения может изменять свое положение и по отношению к рассматриваемому телу, При этом она описывает поверхность конуса, который называют подвижным аксоидом (или конусом паладин). Линия, по которой касаются оба конуса, является мгновенной осью вращения.

Справедлива теорема: 1Л. Основы кинематики ат Любое движение твердого тела с неподвижной точкой может быть представлено как качение подвижного аксоида, неизменно связанного с телом, по неподвижному. То, что при этом движении действительно имеет место качение одного конуса по другому, можно установить следующим образом. Рассмотрим кривые, получающиеся в сечении поверхностей конусов плоскостью, перпендикулярной к мгновенной оси вращения (рис. 1.21).

Пусть Рв — мгновенный полюс вращения в момент яолхрия еггия Рпе. ЬМ. Капелле полодаи по герполодпн. времени г = 1р. Положим, что к моменту 1~ = 1о+ Л1 полюс вращения на герполодии переместится в положение Рь а на полодии — в Рь Представим себе теперь, что ось вращения, проходящая через Р,, в данное мгновение неподвижна. Тогда точка Р~ вследствие вращения тела с угловой скоростью ьв переместится на величину Р1~Рг = Рпр~~гяб1, так что точки Р~ и Р~ совпадут. Если теперь, для того чтобы приблизиться к истинному движе- НИЮ, ПЕРЕйтИ К ПРЕДЕЛУ ПРИ И-РО, тО КаК УГОЛ Ь2а1, таК И ОТРЕЗОК РвР1 будут стремиться к нулю одновременно с Лй Это означает, что мгновенный центр вращения Р, является точкой касания первого порядка герполодии и полодии, т.

е. эти кривые в точке Ро имеют общую касательную. О том, что подвижный аксоид при своем качении не скользит по неподвижному, можно утверждать потому, что в противном случае фиксированная в теле точка Рп не могла бы обладать нулевой скоростью. Следовательно, она не могла бы лежать на мгновенной оси вращения.

Можно также вместо неподвижного и подвижного аксоидов рассматривать кривые, которые описывает конец вектора угловой скорости ьн при качении аксоида. Эти герполодии и паладин лежат соответственно на неподвижном и подвижном аксоидах. При движении одна из кривых также катится по другой. Такое рассмотрение дает более детальное представление о движении тела, чем чисто геометрическое качение аксоидов, так как при этом играет роль и величина угловой скорости, т. е. скорость протекания процесса. !. Введен>те н основные поло>кенни 38 1.4.3.

Аналитическое описание вращательного движения твердого тела. о) Задание взаимного вращения двух систем отсчето. Для расчетов, относящихся к вращательному движению твердого тела, целесообразно ввести в рассмотрение связанную с телом систему координат !', 2', 3', вращающуюся относительно неподвижной системы 1, 2, 3. Так как здесь мы будем исследовать лишь вращательные движения, то можно принять, что начала обеих систем совпадают (рис.

1.22). Рис. Ь22. Задание поаорота декартовой системы координат угаамп между осями Если твердое тело имеет неподвижную точку, то лучше всего ее и выбрать в качестве начала координат. Поворот системы координат, связанной с телом, относительно неподвижной системы задается матрицей преобразования аи. Элементами этой матрицы являются косинусы углов между осями подвижной и неподвижной систем. Так, например, а|з = соз а>з азг = соз азг. Отсюда ясно, что в общем случае ои Ф оп. Девять направляющих косинусов не являются независимыми; они должны удовлетворять условию о; ам =8 й. (1.39) Вытекающие отсюда девять скалярных равенств выражают, что направляющие косинусы являются координатами единичных векторов и что оси координат в каждой из систем (подвижной и неподвижной) перпендикулярны между собой.

Если о;; — матрица преобразования, то для вектора хг имеем формулы преобразования (!.6): х,' = а,хп х, = а, х). (1.40) 39 1Л Основы кинематики Применение матрицы ам при аналитическом описании вращений твердого тела совершенно естественно, но пользоваться каждый раз условиями (1.39) неудобно. Действительно, ведь чтобы однозначно задать положение тела, достаточно уже трех координат, так как твердое тело с неподвижной точкой имеет три степени свободы. В принципе можно из девяти направляющих косинусов с помощью соотношений (1.39) исключить шесть и иметь три независимые между собой величины.

Можно, однако, вместо того чтобы идти по трудному пути исключения координат, поступить наоборот: отправляться от трех соответствующим образом выбранных обобщенных координат и через них выразить матрицу аа. Здесь имеются различные возможности. Важнейшим прнмером являются так называемые углы Зйлгра; аналогичными, но более подходящими для некоторых технических проблем гироскопии являются кардановы угльс И те и другие нужно здесь рассмотреть, так как далее мы будем имн пользоваться.

В этой связи следует еще упомянуть так называемые параметры Клейна — Кали а, р, у, б (см., например, Голдстейн [17]). В число этих параметров, также пригодных для задания вращений твердого тела, заведомо включено на одну величину больше, чем Рис Кйй. углы Эйлера Ф, О, Ч, определяющие взаимную ориентацию двух координатных трехгранников. необходимо, благодаря чему формулы получаются симметричными. Однако мы не будем разбирать этот вопрос более подробно.

б) Углы Зйлера, По Эйлеру, положение связанной с телом системы Г, 2', 3' относительно неподвижной системы отсчета 1, 2, 3 может быть задано тремя углами тр, б, ~р, изображенными на рис. 1.23. Угол б заключен между осями 3 и 3'. Два других угла измеряются в плоскостях 1-2 и Г-2', которые на рис. 1.23 !. Введение и основные полозкення изображены в виде кругов. Линия пересечения этих плоскостей называется линией узлов (Кп). Угол ар образуется линией узлов и осью 1, угол 1р — линией узлов и осью 12 В ранней гироскопической литературе эти углы обычно назывались углом прецессии тр, углом нутации 6 и углом собственного вращения Ч1.

Однако мы ие будем пользоваться этими названиями, так как понятия прецессии и нутации ниже будут определены не геометрически, а динамически в соответствии с практическим употреблением этих понятий в литературе по гироскопической технике. Аналитические зависимости проще всего выводятся так: нужно поворот связанной с телом системы координат относительно неподвижной представить себе как результат трех последовательных з= за 'ъь 1о Ъ « 1=1 1е Рнс.

Ь24. Перевод связанного с телом координатного трехгранника 1С 2', 3' в конечное положение с помощью трех последовательных поворотов на углы р, О и р. поворотов, каждый из которых происходит вокруг неподвижной оси. Это можно представить схемой (1, 2, 3) = (4)з) =4а(!*, 2*, 3') = (О) =хз(1', 2', 3') = (ср) Ф (1', 2', 3') (см. рис. !.24). Первый поворот совершается на угол тр вокруг оси 3, совпадающей с осью 3*. Это ортогональное преобразование может быть представлено в виде "соз т!з — з!п 4Р О Х" =аФ Хп ГдЕ ар„= З!Пт)г СОЗтр О О О 1 (!.41) ! О О О сов б — з!и О О и!пб сов д (1.42) Второй поворот совершается на угол О вокруг оси 1*. Соответ- ствующее преобразование может быть записано в виде !А.

Основы кинематики Наконец следует еще совершить поворот на угол ф вокруг оси 3'. Соответствующее преобразование таково: сов ф — япф О япф сов ф О О О 1 хе = аепх,', где ав = (1.43) где результирующая матрица преобразования и,. = ав1ва~о,а~. получается перемножением отдельных матриц по известным правилам. В результате получим матрицу с сов ф сов ф — в1п ф сова Миф — сов ф в!на — вш ф сов о совф ып ф Мп Ф в1н ф сов ф+ сов ф сов Ф в1н ф — в1о ф в1н и+ сов ф сов 6 сов ф — сов фа!но 51н 6 51и ф в1н О сов ф сов 6 (1.45) Таким образом найдены элементы матрицы преобразования.