Гироскоп. Теория и применение, страница 5

Если А' = В' = С', то из (1.29) сразу получаем 6 = А', т. е. эллипсоид инерции превращается в сферу и любая его ось является главной. Главные оси и главные моменты инерции могут быть определены путем отыскания экстремальных значений величины 6 при заданных элементах тензора Оц. При этом направляющие косинусы должны рассматриваться как переменные величины. Они удовлетворяют условию г (а,) = 1 — (аг + агг + а',) = О. Чтобы получить экстремальные значения 6 при наличии этого дополнительного условия, следует найти экстремальные значения функции О(а,) = 6(а,) + Ц (а,) = 6, а а, + Л(! — б, а а,).

Они получаются из характеристического уравнения дСз/да, = 2 (6, — Лб, ) а = О. (1.30) Так как эта система уравнений, линейных и однородных относительно направляющих косинусов, должна иметь нетривиальное решение, ее детерминант равен нулю: 1.3, Основы геометрнн масс Направления главных осей инерции, соответствующих этим главным моментам инерции, определяются при подстановке собственных значений Л в (1.30). Получим три векторных равенства (Вц — А'б. ) ал = О, Йг В'бц) а~г — — О, (Ец — С'бц) ас = О, из которых могут быть определены три единичных вектора а",, ав, ас, направленных по соответствующим главным осям инерции. Главные оси взаимно перпендикулярны, если все главные моменты инерции А', В', С' различны.

Это можно показать следуюшим образом. Умножнм первое равенство (1.32) скалярно на аа, второе на а", Вычитая равенства, получаем 6. а"аа — 6 .ааал — А'адан -1- В'авар = О. ц ! г ц г г г г г В силу симметричности тензора инерции первые два члена взаим- но уничтожаются; остается (В' — А') а",ав = О. Ввиду предположения В' ~ А' это соотношение может выполняться лишь в случае, когда алавг = 0 и, следовательно, а", 1 аа. Так же обстоит дело и с другими парами осей. Для того чтобы получить представление об эллипсоиде инерции, соответствующем данному телу, рассмотрим в качестве простого примера изображенный иа рис. 1.7 прямоугольный параллелепипед с ребрами а, с, с. Произведя интегрирование согласно (1.9), получим А = — (ба+ с ), В= — (с'+ а') С= — (а + Ьа).

!2 Отсюда модули инерции и, следовательно, длины главных полуосей соответствующего эллипсоида инерции равны р,=$'и!В'-> 'с р,=гl~са'-г *), р,=гТцУ+ь5. Если, например, длины ребер относятся как 1: 2: 4 (кирпич), то модули инерции относятся как 1: 1,08: 2. Наиболее длинному ребру соответствует наибольшая полуось эллипсоида инерции и наименьший главный момент инерции.

Если сжать параллелепипед, превратив его в одномерный стержень (а- О, 6- 0), то р,=р,=T1Мс', ра---. В этом особом случае эллипсоид инерции вырождается в круговой цилиндр, простирающийся в бесконечность вдоль оси 3 и имеющий Рис. Ц!. Пряиоугольвый параллелепипед и его вллнпсонд инерции.

Рис. цй. саеригеиь и его (выроаиденныйг эллипсоид инерции. Рис Цв. Квадратная плесенна и ее эллипсоид инерции, 1.3. Основы геометрии масс 27 радиус р1 (рис. 1.8). В случае квадратной плоской пластины, которая получается из параллелепипеда при а = Ь и с = О, модули инерции относятся как 1: 1: 11')г 2 (рис.

1.9). Легко показать, что эллипсоид инерции никогда не может стать совершенно плоским, т. е. превратиться в плоскую фигуру. Ведь в этом случае длина одной из его главных полуосей обратилась бы в нуль, что соответствовало бы бесконечно большому моменту инерции. 1.3.5. Эллипсоиды инерции, построенные для различных центров.

Рассмотренные до сих пор закономерности относятся к эллипсоидам инерции, построенным для одного фиксированного в теле центра. Интересно выяснить, как будут отличаться между собой эллипсоиды, относящиеся к различным центрам. При таком сравнении лучше всего взять в качестве исходного эллипсоид для центра масс тела, так называемый центральный эллипсоид инерции, который играет особую роль. Если в формулах (1.18), справедливых для параллельного переноса осей, под величинами Аз, Вв, Св подразумевать моменты инерции относительно главных осей центрального эллипсоида инерции, то следует положить Ов = Ез = Рз = О. Можно убедиться, что для системы координат, параллельно сдвинутой относительно осей этого эллипсоида, центробежные моменты инерции Р, Е, Р не обязательно должны обратиться в нуль. Следовательно, для различных центров главные оси, вообще говоря, не параллельны между собой. Однако справедливо следующее утверждение: Главные оси для всех точек, лежащих на главных центральных осях, параллельны.

В самом деле, для точек главных центральных осей всегда обращаются в нуль две из компонент гь гь га вектора го определяющего смещение центра. Поэтому 0 = Е = Р = О. Справедливо н обратное утверждение: Если главнгле оси для двух центров О и Р параллельны и линия ОР, соединяющая эти точки, сама является главной осью, го линия ОР проходит через центр масс и являегкя главной центральной осью. Для доказательства следует в (1.!8) один раз положить 0 = = Е = Р = О, а другой 0' = Е' = Р' = О н произвести вычитание соответствующих равенств. Тогда мы получим гага — гага —— О, гаг, — гаг~ = О, г ге — г(гт = О.

(1.33) Если линию ОР взять в качестве оси 3 (или 3') (рис. 1.10), то г( г! ге = ге гэ — га + го. Но в таком случае равенства (1.33) могут выполняться лишь при условии г,=г,=г = — г,'=О. Следовательно, центр масс должен лежать на оси 3, которая, таким образом, является главной центральной. 28 1. Введение и основные положения Далее: Для центров, лежащих на одной из главных центральньгх плоскостей, одна из главных осей всегда остается перпендикулярной этой плоскости, Пусть, например, та = О, т. е.

новый центр 0 лежит в главной центральной плоскости 1-2 (рис. !.1!). Тогда из (!.18) сразу следует, что 0' = Е' = О. Теперь можно показать, что при повороте осей 1', 2', 3' (получившихся в результате параллельного переноса осей 1, 2, 3) на определенный угол ф вокруг оси 3' можно добиться выполнения равенств 0" = Е" = Еж = О.

Тогда все оси 3=8' 2 Рис. 1.11. Главные оси инерции длн точки О, лежашей в главной центральной плоскости. Рис. 1Ло. К нахождению главных осей инерции при переносе начала координат в точку Р. !", 2", 3" будут главными. Действительно, из (1.22) сразу следует, что если 0' = Е' = О, то и 0" = Е" = О. Кроме того, можно добиться выполнения равенства Р" = О, если угол поворота ф удовлетворяет вытекающему из (!.22/б) равенству 1н 21р .= 2Р'у(В' — А'), которое с учетом (!.!8) может быть приведено к виду 1д 21р = 2упт1гДВз — Аз + т (»', — г~)~. Отсюда может быть определен угол поворота новых главных осей.

Кроме того, из предыдущего при т- оо и т, ~ тй вытекает приближенное равенство 1н 21р = 2т,т /(тй1 — тй) =1я 2а. Следовательно, в этом случае ф = а. Приведем без доказательства еше одно утверждение: Если точка Р лежит на оси, являющейся главной для центра О, и последний не совпадает с центром масс, то всегда хотя бы одна главная ось для Р параллельна одной из главных осей для О.

!.3 Основы геометрии масс 29 !.3.6. Классификация гироскопов и ее графическое представление. По соотношению между главными моментами инерции тела, т. е, по форме эллипсоида инерции, гироскопы классифицируются следующим образом (при этом главные моменты инерции обозначены А, В, С). 1) Тело, для которого А = В = С, называется шаровым гироскопом. Его эллипсоид инерции — сфера, но форма тела не обязательно должна быть сферической.

Так, однородный куб или тетраэдр по отношению к своему центру масс — шаровой гироскоп. 2) Если две из величин А, В, С равны между собой, то эллипсоид инерции является телом вращения. В этом случае тело носит название симметричного гироскопа. Все однородные тела вращения по отношению к центру, лежащему на оси вращения, являются симметричными гироскопами. Ось симметрии называется также осью фигуры. 3) Если все три величины А, В, С различны, то говорят о несимметричном гироскопе. Соответствующий эллипсоид инерции имеет различные оси. У шарового гироскопа все оси, проходящие через центр, являются равноправными главными осями. У симметричного гироскопа равноправны все оси, лежащие в экваториальной плоскости, т.

е. перпендикулярные оси симметрии или оси фигуры. Далее, среди симметричных гироскопов различают следующие: 2а) вытянутый гироскоп — для него А = В ) С (стержень, направленный вдоль оси 3); 2Ь) сплюснутый гироскоп, для которого, например, А = В ( С (симметричный диск, лежащий в плоскости 1-2). Для несимметричного гироскопа возможны аналогичные соотношения. Если А ) В ) С, то имеем гироскоп За) с короткой осью 1 (это соответствует сплюснутому по оси 1 гироскопу), ЛЬ) со средней осью 2, Зс) с длинной осью 3. Характеристику различных типов гироскопов можно представить графически описанными ниже способами.

1) Изображение главных моментов А, В, С в виде сторон плоского треугольника, как показано на рис. 1.12. При постоянном А возможные вершины треугольника, образованного сторонами А, В, С, покрывают затененную полуплоскость.

2) Изображение в плоскости переменных (В/А, С!А). В силу неравенств (1.10) изображающие точки для различных возможных типов гироскопов покрывают в данном случае затененную полу- полосу на рис. 1.13. 3) Представление в виде треугольника формы, который получается следующим образом; величины А, В, С откладываются в виде отрезков по осям декартовой системы координат (рис. 1,14). Тогда любой возможный эллипсоид инерции будет !. Введение и основные поло>кения Зв 1;ч:;,етчг, г~~~»'Яф":, ",,",;,,' и; А+В=О Л+СаА О+А = У 1 2гуА Рис. 1.!3.