Гироскоп. Теория и применение, страница 4

Она определенно-положительна, так как, согласно определению, (1.19) может принимать только положительные значения. В п. !.ЗА будет предпринято исследование, которое дополнительно выяснит некоторые свойства моментов инерции твердого тела. Рассмотрим сначала более простой частный случай, который позволит судить, каким образом меняются центробежные моменты инерции при повороте координатного трехгранника вокруг одной из его осей. 20 1. Введение н основные положении Положим, что система координат 1, 2, 3 в результате поворота на угол ф вокруг оси 3 приведена в положение !', 2', 3' (рис.

!А). Этот поворот может быть описан уравнением сов ф — яп ф 0 япф соз ф 0 0 0 1 | хе = арх» где ар = Отсюда для тензора инерции получим 6)! = ) (хехеб/! — х)х)) г/т = аыаыд„; элементами этого тензора будут А' = А сов' ф + В яп' ф — 2Р яп ф соз ф, В' = А в(п' ф + В сов' ф + 2Р в!и ф сов ф, С'=С, .0'=Рсовф — Ев!пф, Е'=/) в!пф+ Есовф, Р' = (А — В) яп ф сов ф + Р (сов' ф — я пи ф). Первые трн выражения (1.22) могут быть выведены как частные случаи из более общей формулы (! 20).

Зависимость новых, от- меченных штрихом осевых и центробежных моментов инерции от угла ф может быть наглядно представлена с помощью круговой диаграммы. Введем с этой целью обозначения (1.22) Р „, = )' Ре + '/„(А — В)е, !и фг — — (А — В)/(2Р) н преобразуем (1.22) к виду А' = '/и(А + В) — Р,„в!п(2ф — фн), В' = '/, (А + В) + Р,„в!п (2ф — фг), Р' = Р,„,„сов (2ф — фн). (1.23) Отсюда может быть получено построение, изображенное на рис. !.5: следует отложить на оси абсцисс декартовой системы координат отрезок ОМ = '/е(А+ В), из центра М описать окружность радиусом Р„и от радиуса, проведенного под углом фи, отложить в положительном направлении угол 2ф. С помощью построенного таким образом диаметра РЯ находятся искомыевеличины: абсциссы точек Р и Я соответствуют величинам А' и В', ордината точки Р является мерой величины Р'.

Такое изображение аналогично представлению плоского напряженного состояния с помощью так называемого круга Мора. Здесь нормальным напряжениям соответствуют осевые моменты инерции, а тангенцинльным — центробежные моменты инерции. 21 1.3. Основы геометрии масс Из рис. 1.5 следует, что в интервале О ( у ( и каждая нз величин А' и В' достигает один раз максимального и один раз минимального значения. При минимуме одной из этих величин другая имеет максимум. Когда моменты инерции А' и В' имеют экстремум, центробежный момент инерции Р обращается в нуль. При отклонении осей на 45' от положения, в котором достигаются экстремальные значения величин А' и В', величина Р' принимает экстремальное значение Р' = -~-Рыак.

Рис. Кб. круговая диаграмма для опре. деления центробежных моментов инерции су и яс Рис. Ьб. Круговая диаграмма для определения момен~он инерцыг при повороте системы координат иа угол Е. !.3.4. Эллипсоид инерции и главные оси инерции. Для дальней- щего исследования квадратичной формы (1.20) или (1.21) введем два новых понятия. Назовем радиусом инерции твердого тела относительно данной оси величину й, определяемую соотношением Э = )Г Р' Вт = тйа = т)р' (1.24) Величину р = 1/я будем называть модулем инерции. Для двух центробежных моментов инерции 0' и Е' также может быть построена круговая диаграмма (рис. 1.6). Для этого откладывают на осях координат отрезки М)Ч = 0 и ИР = Е.

Опустив из точки Р перпендикуляр на прямую, образующую с МУ угол Чг, получают точку Я. Оказывается, что МЯ = 0' и ЯР = Е'. Из диаграммы непосредственно видно, что выполняются соотношения (1.22) между 0', Е', с одной стороны, и О, Š— с другой. При любом значении гр точка Я может лежать только внутри круга. Поэтому в интервале О < гр < 2п величины 0' и Е' принимают один раз максимальное значение + )у 0'+ Е' и один раз минимальное — )уг0'+ Ее.

Когда 0' достигает экстремального значения, Е' обращается в нуль, и обратно. 1. Виенение и основные положения Существует наглядное толкование понятия радиуса инерции: для однородного тела это среднеквадратичное расстояний элементарных частиц тела от рассматриваемой оси. Если распределить всю массу тела по поверхности кругового цилиндра радиуса й, то получится тело, имеющее относительно оси цилиндра тот же момент инерции, что и исходное тело. Наряду с квадратичной формой (1.21), соответствующей тензору Эеь введем в рассмотрение вектор у,.

= рег = раи Этот вектор направлен по оси ОР (рис. 1.3); его длина равна модулю инерции р. Будем рассматривать величину р как некоторую длину, хотя, согласно определению (1.24), размерность ее обратна длине. Из (1.21) с учетом (!.24) получаем Э=т1р'=диене,"=(1/ри)6,. у,.у; 6,. у,у =-т, (1.25) или — в развернутой записи— Ау', + Вуя+ Суе — 2.0у,у, — 2Еузу, — 2Ру,у = т. (1.26) Это означает, что при изменении направления вектора у; квадратичная форма, стоящая в левой части, сохраняет постоянную величину.

Из аналитической геометрии известно, что в таком случае конец вектора у, остается лежащим на некоторой поверхности второго порядка. Так как модуль вектора у; равен р, а величина р для реальных тел никогда не обращается в бесконечность, ибо это соответствовало бы обращению в нуль момента инерции, эта поверхность не имеет бесконечно удаленных точек. Следовательно, она может быть только эллипсоидом (или сферой).

Этот эллипсоид является характеристической поверхностью тензора Оп и называется зллипсоидом инерции (а также эллипсоидом Коши илн эллипсоидом Пуансо). Если известен эллипсоид инерции для определенной точки тела, то можно найти величину р, а тем самым и момент инерции относительно любой оси, проходящей через эту точку. Нужнолишь иметь в виду, что длина радиуса-вектора, проведенного из центра эллипсоида к его поверхности, равняется р. Из свойств эллипсоида следует: Эллипсоид инерции твердого тела всегда имеет три взаимно перпендикулярные главные оси; они назсиваются главными осями инерции (коротко — главными осями) тела.

Соответствующие главным осям моменты инерции называются главными моментами инерции. Наименьшей главной полуоси эллипсоида инерции (р ~ ) соответствует наибольший главный момент инерции (6 „), и, наоборот, наименьший момент инерции соответствует наибольшей полуоси (Ролан) эллипсоида, 23 !.3. Осиоаы геометрии масс Уравнение поверхности второго порядка принимает особенно простой вид в том случае, когда в качестве осей координат принимаются главные оси поверхности. С помощью приведения к главным осям можно квадратичную форму (1.26) привести к сумме квадратов: (1.27) АУ +Вуз+Суз=щ Введя обозначения А'= пз/рз В' = пз/рз', С' = пз/р,', приведем выражение (1.27) к виду (У!/Р!) + (Уз/Рз) + (Уз/Рз) (1.28) Это каноническое уравнение эллипсоида инерции с полуосями Рь рз и рз.

Величины А', В' и С' являются главными моментами инерции. Если А') В'> С', то р! (рз(рз. Не каждый эллипсоид может служить эллипсоидом инерции: в силу неравенств (1.!0) полуоси эллипсоида инерции должны удовлетворять условиям ! ! ! ! ! ! 1 ! ! — + —.) —, — + — ) —, — + — ) —. з з з з з з з з Р! Рз Рз Рз Рз Р! Рз Р! Рз Из (1.27) следует, что при переходе к главным осям центробежные моменты инерции обращаются в нуль. Это следует также из результатов, полученных в п.

1.3.3. Если в качестве осей координат взять оси, полученные поворотом главных осей вокруг одной из них, то оказывается, что для всех положений, при которых осевые моменты инерции достигают экстремальных значений, центробежные моменты инерции обращаются в нуль. Но как раз эти направления осей и являются главными. Следовательно: Центробежные моменты инерции равны нулю, если в качестве осей координат выбраны главные оси инерции. И наоборот: Если центробежно!е моменты инерции равны нулю, то оси координат совпадают с главными осями инерции.

Итак, главные оси могут быть определены как оси, для которых центробежные моменты инерции обращаются в нуль. Наряду с этим имеется и динамическое определение главных осей, которое будет приведено в и. 1.5.2. Если два главных осевых момента инерции равны между собой, то эллипсоид инерции обращается в эллипсоид вращения. Тогда все оси, лежащие в экваториальной плоскости, являются глав. ными и моменты инерции относительно них одинаковы. Проще всего можно убедиться в этом, если (1.27) переписать в виде 6! = А'а', + В'а,'+ С'а',. (!.29) 24 1.

Введение и основные поломгения При А' = В' имеем 6 = А'(аг, + агг) + С'агз. А — Л вЂ” Р— Š— Р — Л вЂ” В = О, (1.31) — Š— В С вЂ” Л |66 — ЛЬЧ ! = нли после вычислений Лз Лг(А+ В-1-С)+ Л(АВ+ ВС+ СА ьзг Ег Р) — (АВС вЂ” 20ЕŠ— АВг — ВЕг — СЕг) = О. Корни этого уравнения являются собственными значениями тензора Оц. Так как симметричный тензор имеет только действительные собственные значения, эти корни являются действительными.

Кроме того, они положительны, так как Л имеет значение момента инерции. В этом можно простейшим образом убедиться из (1.30), если это выражение умножить скалярно на ао Тогда сразу находим, что 2(6 — Л) = О, откуда Л =6. В данном случае в качестве решения системы (1.31) непосредСтвенно получаются главные моменты инерции Л! —— - Лл — — А', Лг=л =В', Л,=Л =С', Для оси, которая лежит в экваториальной плоскости, аз = 0 и аг+ агг=!, откуда 6= А'.