Гироскоп. Теория и применение, страница 8

Впрочем, можно элементы матрицы (!.45) вычислить непосредственно из сферических треугольников, которые получатся, если соответствующим образом соединить точки пересечения различных осей (на рнс. !.23) со сферой единичного радиуса. Так, например, из треугольника, образованного точками осей 1, Г и Кп, сразу получаем, согласно теореме косинусов сферической тригонометрии, ап — — соз(1,1') =созфсозф+ япфяпф соз(п — б) = = соз ф соз ф — яп ф сов 6 з!и ф. К сожалению, в используемых в литературе обозначениях углов Эйлера нет единства. Иногда углы ф и ф случайно меняются местами, а иногда используются дополнительные углы.

Так, от Резала пошло применение вместо углов б и ф дополнительных к ним. Они соответствуют географическим широте и долготе, определяющим положение точки на земной поверхности. Углы Эйлера и их различные варианты имеют тот недостаток, что при д = О теряют свою однозначность. В этом случае ф и ф становятся неопределенными, так как неизвестно направление линии узлов (рис. !.23).

Поэтому эти углы становятся неудобными в задачах, в которых угол д может обращаться в нуль или же это значение угла очень важно. Такой случай как раз имеет место в некоторых интересных в техническом отношении гироскопических приборах. Тогда лучше применять другую тройку углов, так называемые кардановы углы, Последовательно переходя от одного преобразования к другому, получаем х'= пох' = по ао,.х' = аФ поаосх =а,.х ю п~ мпв уамп! ми (!.44) 1.

Введение и основнме поломсения Рис п2о, Кардаиоам угли а, З, у, определиюшие аэанмную ориентацию двух коордннат- нмх трехграпникоа. Рис. К22, Реалиэации аардаиоемх углов а гироскопе, помешанном а карданоа подаес. с) Кардановы углод Эти углы показаны на рис. 1.25. Их появление связано с широко распространенным кардановым подвесом гироскопа, где они могут быть определены как углы между отдельными частями подвеса. Карданов подвес, одна из возможных форм которого показана на рис.

1.26, состоит из внешней кардановой рамки Ят, которая может вращаться вокруг неподвижной оои1,н внутренней рамки Кя, подвешенной во внешней рамке Кх, так, что она может поворачиваться вокруг внутренней оси; эта последняя перпендикулярна оси ! и в исходном положении совпадает с неподвижной в пространстве осью 2 Тело гироскопа (ротор) К может вращаться вокруг оси, которая перпендикулярна оси внутренней 43 !.4.

Основы кинематики рамки и в исходном положении совпадает с осью 3. Как показано на рис. 1.26, в исходном положении система 1', 2', 3', связанная с гироскопом, совпадает с неподвижной системой 1, 2, 3. Но вращением вокруг упомянутых трех осей можно придать гироскопу любое положение, при котором начало координат 0 остается неподвижным. Угол поворота вокруг неподвижной оси! (ось внешней рамки) обозначим буквой ои угол поворота вокруг оси внутренней рамки назовем р; наконец, пусть у будет угол поворота вокруг оси 3', связанной с гироскопом.

Как и в случае углов Эйлера, можно повороты связанной с телом системы координат Относительной неподвижной характеризовать схемой (1, 2, 3) = (а) =)т(1*, 2*, 3') = (8) =)з(1', 2', 3') = (у) в(1', 2', 3'). Необходимые преобразования имеют вид с ! О О О сова — яп а О япа сова сов 8 О в!п 8 О 1 Π— яп 8 О сов 8 соз у — в!п у О в!п у сову О О О 1 х" = а" х., где ач = ! !' ! где аа, = где ат! = а х', = а,х"„ — з (1.46) х; = а!ттх! Эти соотношения совместно дают х,'.

= ат х', = аз ау,.х*„= астваавтауввх,. = а„хи а ! я и в тв я и. ! т! !' (1.47) где соз й сов у — сов Д з!п у . 5!п р а . = соков!ну+ в!паяп р сову сова сову — япа в!пряпу — япасозр т! в!п а з!п у — соз а з!п р сов у яп а сов у+ сов а яп р в!п у сов а соз р Для кардановых углов, как и для углов Эйлера, возможны различные варианты. Поэтому, применяя эти углы, следует всегда внимательно относиться к их точному определению. Нетрудно получить аналитическую связь между углами Эйлера и кардановыми углами. Она может быть выведена из рассмотрения сферических треугольников, которые получаются соединением точек пересечения выбранных соответствующим образом осей со сферой единичного радиуса.

Из треугольников, изображенных на рис. !.27, согласно теоремам сферической тригонометрии [или из сравнения формул (1.45) и (1.47)), следует, что 1иа=совф!иб, в!пр=в!птрв!пб, 1и(у — ср)=1и ф совб. (1.48) Рас. 1,2У. К выводу саатношеннй между айлерааымн н кардановымн угламн. Кгу Рнс. 1лл, Эйлероны углы в кардановом подвесе. !Л. Основы кинематики а=ф, 8=б — и/2, у=~р. с() Компоненты угловой скорости, Из динамических уравнений гироскопа часто получают лишь угловую скорость гироскопа как функцию времени.

Чтобы отсюда определить пространственную ориентацию тела, нужно знать зависимость между компонентами угловой скорости ем и указанными выше углами и их производными по времени. Эти соотношения могут быть получены с помошью рнс. 1.23 и 1,25. В случае применения углов Эйлера следует учитывать, что вектор угловой скорости ф направлен вдоль осн 3, вектор угловой скорости Ь вЂ” вдоль линии узлов, а вектор ф — вдоль оси 3'. Раскладывая эти компоненты по осям, получаем в проекциях на оси, связанные с телом: ез( = $ яп б в (п <р + Ь сов !р, озз = ф в!п б сов !р д в!и я~ езз = ф + ф сов б; (1.49) в проекциях на неподвижные оси: ез! =фа!пбяп ф+ дсовф, езз= — фяпбсовф+Ь япф, озз — — ф+ ф сов б.

(1.50) Соответственно получаются соотношения в кардановых углах, если учесть, что вектор угловой скорости а направлен вдоль оси 1, вектор !5 — вдоль оси 2 и вектор у — вдоль оси 3'. Отсюда получаем в проекциях на оси, связанные с телом: от(= а сов 8 сов у+ ба!пу, етз= — а сов ба(ну+ р сову„ езз = у + а яп й; (1.51) Впрочем, при ином расположении кардановых осей относительно осей 1, 2, 3 системы отсчета можно получить эйлеровы углы непосредственно на кардановом подвесе. Если, согласно рис. 1.28, взять ось внешней рамки за ось 3, а ось ротора за ось 3', то ось внутренней рамки будет линией узлов. Тогда углы Эйлера ф, д, !р могут быть получены как углы поворота вокруг оси 3, вокруг линии узлов и вокруг оси ротора соответственно (каждый поворот совершается в положительном направлении).

При таком расположении осей 1. Введение и основные полон!ения 4а в проекциях на неподвижные оси: в, = а+ уз!Пр, ае= — усоврв!па+ рсово, в,= усов р сова+ р в!и а. (1.52) Если углы ф, б, ф или а, р, у и их производные по времени даны, то с помощью приведенных формул могут быть вычислены компоненты угловой скорости. Однако в большинстве случаев нужно решать обратную задачу: определить углы по проекциям угловой скорости на подвижные оси.

Для этой цели служат дифференциальные уравнения, а именно: для углов Эйлера из (1.49) вытекает 2!2 в!п б О!! 21пф + а2 сов ф~ б = в! сов ф — а2 в!и !р, !!! = !03 с!и б (в! 21пф + О!2 сов!1!); (1.53) для кардановых углов из (1.51) вытекает а сОВ И вЂ” О!! Сов у О!2 21П У~ (! = а! в!и у+ ае сов у, у = О!з — 1я (2 (в! сов 7 — О!2 21п у). (1.54) Следует указать еще на одно очень важное обстоятельство: из угловых скоростей 2р, Ь, ф и а, (), у могут быть получены инте- грированием соответствующие углы ф=2ро+ ! фс11, ...; а=ао+ ) ас(1, . Производные углов являются голономными координатами в смысле аналитической механики.

Напротив, проекции угловой скорости в'„ а,'„ в, 'не являются голономными координатами. Из них невозможно получить интегрированием углы, которые бы годились для задания положения тела. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим, например, первое равенство (1.49). Умножив его на элемент времени д(, получим а! д! = 2р д! в!И б в!и !р + Ь с(! сов !р = = д2Рв!ибв!и!р+ аЪсовф. Выражение, стоящее в правой части, не является точным дифференциалом, ибо так называемое условие интегрируемости не удовлетворяется. (Дифференциальное выражение с((У = Рдф+ ЯЮ ин- 47 1.4.

Основы кинематики тегрируемо только тогда, когда справедливо равенство драй = дЯ/дф а это условие в данном случае не выполняется.) Отсюда следует очень важный практический вывод: неоднократно предлагалось измерять составляющие угловой скорости о>ы е>.,', о>в' движущихся систем (кораблей, самолетов, ракет, спутников) с помощью измерительных приборов, укрепленных на объекте (например, гиротахометров; см.

гл. 15), с тем чтобы затем прямым интегрированием получить углы поворота относительно связанных с объектом осей. Однако полученные таким образом углы по упомянутой причине не являются величинами, однозначно определяющими пространственную ориентацию системы. Напротив, корректный способ состоит в интегрировании довольно сложных нелинейных дифференциальных уравнений (1,53) или (1.54). Конечно, можно использовать и соотношения между направляющими косинусами. е) Дифференцирование по времени вектора во вращающейся системе координат, В гироскопических задачах часто целесообразно пользоваться подвижной системой отсчета, которая неизменно связана с телом или движется произвольным образом. При отсутствии поступательного движения имеется следующее преобразование связывающее компоненты вектора в подвижной и в неподвижной системах: х> — — аыхв.

Отсюда для скорости изменения вектора имеем йв й йхв йа —,= —,(а вхв) =а —, + —,хв. йт от ' ы йт от Здесь первое слагаемое характеризует изменение вектора хе по отношению к подвижной системе. Оно часто сокращенно записывается так: йхв а'х> аы от Второе слагаемое может быть выражено с помощью вектора угловой скорости о>ь с которой подвижная система движется относительно неподвижной: (йа>,(И) хв = е,>во>;хе.