2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984) (2. Системы массового обслуживания. Матвеев_ Ушаков (1984).djvu), страница 15

Из леммы 2 вытекают следующие соотношения: из б) пип(з) = [и(э) !» при неслучайном /г, нз а) и (з) =- ~ е и-?»1»»э? ( ") п?»? (з) дВ (х). ы о »=о Используя равенство п?»1 (э) = [п(э) )», имеем и (э) = ~ е — н+»1' ~ъ 1 "" (')! ?(В (х) = м ~ е — ??1» — а»вп?дВ (х) = р(э -1- а — ап (э)). о Таким образом, утверждения а) и б) теоремы ! вытекают нз леммы 1. Моменты периода занятости при ар?(! находятся из соотношений МП = — """ [, ПП = '"," [ — (Мп) . З ?(5 1?=0 ?Й !5=-0 4. Длина очереди. Распределение случайной величины Е(?) — общего числа требований в системе в момент времени ( — одинаково при дисциплинах Г1ГО и 1.1ГО, Доказательство этого свойства, а также вывод соотношений для определения р(г, э) = ~е — ??мгщ??а? о содержится в теореме 2. Т е о р е м а 2.

Функция р(г, э) при ~г[ (1, Ке э>0 определяется по формуле р(г, з) =- [з-?- а — ап(з)[-? [1-Г а + Х о+ а — а? Х ? — и (5) 1 — ? р (5+ о — о?) Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим двумерный случайный процесс (Т ((), х(()). В силу выбранной дисциплины обслуживания (Г!ГО или 1.!ГО) и того, что входящий поток пуассоновский, этот процесс является марковским. Рассматривая изменения состояний процесса (В((), х(()) в интервале времени ((, ?+Л), имеем Р(п, х+Л, ?+Л) =Р(п, х, () [1 — (а+?1(х))Л[+ 78 +(1 — Ь„з)аР(п — 1, х, !)Л+о(Л), где о(Л)/Л-~0 при Л-+О, бс; = ~ ', Ч(х) =- Ь(х) [1 — В(х)] — ', О, е' Ф!' Р (О, У + Л) =- Р (О, !) [! — аЛ] + ~ Р (1, х, !) г! (х) с(хЛ ь о (Л) о (6) (7) ] Р(л, и, ! и Л) г(и = ~ Р (и + 1, х, !) Ч (х) с!хЛ + + ЬьзР (О, !) аЛ + о(Л).

(8) Действительно, т! (х) Л+о(Л) — условная вероятность того, что длительность обслуживания требования лежит в интервале (х, х+Л), при условии, что оно не обслужилось за время х. Теперь соотношение (6) (после умножения его иа Нх) вытекает из следующих рассуждений. Для того чтобы в момент !+Л в системе было л требований и х(!+Л)ен(х+Л, х+Л+Йх), необходимо и достаточно, чтобы: 1) либо в момент ! в системе было и требований, х(!) ен е=(х, х+г(х), за время Л требование, находящееся на приборе, не обслужилось, и новые требования в систему не поступали; вероятность этого события равна Р(п, х, !)с(х[1 — (а+т!(х) )Л] +о(Л)г(х; 2) либо в случае п~2 в момент ! в системе было л — 1 требование, х(!) е(х, х+с(х), за время Л поступило требование, а требование, находящееся на приборе, не обслужилосгн вероятность этого события равна (1 — б,ш)аР(п — 1, х, !)ЙхЛ+о(Л)Нх; 3) либо переход в состояние (6(!+Л) =л, х(!+Л)ен(х+Л, х+Л+дх)) 79 произошел отличным от 1 — 2 способом; вероятность этого равна о(Л) и'х.

Так как события в ! — 3 попарно несовместны, отсюда вытекает (6). В левой части (7) стоит вероятность того, что в момент времени !+Л система свободна. Для выполнения этого события, необходимо и достаточно, чтобы: 1) либо в момент времени ! система была свободна и за время Л требования в систему не поступали; вероятность этого события равна Р(о, !) [1 — аЛ]+а(Л); 2) либо в момент времени ! в системе было одно требование и за время Л оно обслужилось; вероятность этого события равна ~ Р(1, х, 1) т1(х)йхЛ + о(Л); в (9) + (! — б„з) Р(п — 1, х, 1)а, г =- — ар (О, 1) + ~ Р (1, х, 1) т! (х) дх, дг о (10) Р(п, + О, 1) = )'Р(п+ 1, х, 1) Ч(х)е(х+ 8 заР(0,1).

(1!) о Так как в момент 1=0 система свободна, Р(п, х, 0) =0 и Р(0, 0) =1. Переходя в (9) — (11) к производящим функциям и преобразо- ваниям Лапласа по 1, имеем = — (з+ а — аг + т! (х)) р(г, х, з), дх Ю (з + а) р, (з) = ) р* (1, х, з) т) (х) е(х + 1, о р(г, О, з) = г ' ~ р(г, х, з)т!(х)е(х — )е р'(1, х, з)т!(х)дх+ агр,(з), е о где р*(1, х, з) = ~е — мР(1, х, т)й.

о 80 3) либо переход в состояние (Е(1+Л) =О) произошел способом, отличным от 1 и 2; вероятность этого равна о(Л). Из 1 — 3 вытекает соотношение (7). з Наконец (8), следует из того, что ~ Р(п, и, 1+ Л)пи — вео роятность того, что в момент времени 1+Л в системе и требований и х(1+Л) (Л; ~ Р(п + 1, х, 1)т!(х) е(хЛ + о(Л) — вероято ность того, что в момент времени ! в системе было п+1 требований и за время Л одно из них обслужилось; Р(0, 1)аЛ+ +о(Л) — вероятность того, что в момент ! система была свободна и за время Л поступило требование. Из (6) — (8) следует, что дР(п,х,Г) дР(п,х,Г) ( ) ( д! дх Подставляя выражение для [ р'(1, х, в) т)(х) г(х из второго о уравнения в третье, имеем = — [в + а — аг + г) (х)] р(г, х, в), (12) дх р (г, О, в) = г — ' ] р (г, х, в) т) (х) г(х + 1 — (в+ а — аг) р, (в).

(13) о Решение дифференциального уравнения (12) записывается в виде р(г,х,в) = [1 — В(х)]е-о~-~-аг1гр(г, О,в). Подставляя полученное выражение для р(г, х, в) в (13), имеем р(г, О, в) [1 — г-'(1(в+а — аг)] =1 — (в+а — аг) ро(в). В силу теоремы 1 1 — г-'р(в+а — аг) =О при г=л(в), н, так как ]л(в) ~ (1, то при г=л(в) р(г, О, в) ограничена.

Следовательно, 1 — (в+а — ал(в) ) ро(в) =О, т е. ро (в) = [в + а — ал (в) ] — '. Отсюда р (г, О, в) = [в + а — ал (в)]- ' 1 — г г() (г + а — аг) Используя теперь очевидное соотношение р (г, в) = р, (в) + ] р (г, х, в) г(х о и подставляя в него найденные значения ро(в) и р(г, х, в)„ получает утверждение теоремы. И С л е д с т в и е. Пусть рг= а~~(1, тогда; а) 1.(Г)=Р-Е при 1-ч оо, причем Р' (г) — '~ Мгь определяется по формуле (1 — р,) (г — 1) р (а — аг) г — ()(а — аг) М~=р, + 2 (1 — р1) 'г ]1з "рг + а"ргрг + З ( ! — Р,) 2 (! — р,)г 1 — рг 81 + а'р» + ' 4 р,— (МЕ)'. 2 () — е») Дока за тел ь ство. Случайный процесс Е.(() является регенерирующим, точками регенерации служат моменты окончания периодов занятости.

Цикл регенерации представляет собой сумму двух независимых сл.в. — времени до поступления требования А и периода занятости П. Так как сл.в. А абсолютно непрерывна, длительность цикла регенерации А+П также абсолютно непрерывная сл.в. В силу теоремы 4.4 Введения существует предел Л())=».1. при ( — оо. Причем если М(А+П) <со (т. е.

при ар»<1), то р»=Р(Е=я))0 для любого )»>О, ~ р» = !. Из существования предела Ь(()="-Е следует » —..о существование !пп ер(г, з) = Мг". 5»0 Таким образом, соотношение для определения Р*(а) непосредственно следует из теоремы 2. Утверждение б) следствия вы. .текает из формулы для Р*(а). 5. Виртуальное время ожидания.

5.1. Не менее важными, чем Е((), характеристиками системы обслуживания являются виртуальное время ожидания %'(!) и виртуальное время пребывания в системе $'((). В теореме 3 рассматривается один из методов получения распределений этих характеристик, основанный на использовании распределения случайного вектора (1.((), х(!)), найденного в предыдущем параграфе. В теореме 4 иа примере дисциплины Г!ГО иллюстрируется другой метод, В этой теореме также найдено совместное распределение В'(6~), ..., К((„) в произвольные моменты времени !»<(а« ... ! .

Положим 82 а»(з, о) = ~ е — Я Ме — '"чад(, о(з, д) = ~ е — о Ме — жп»(!. о а Теорем а 3. Функция ь»(з, д) определяется по формулам: а) при дисциплине Г!ГО ы (з, д) = [д+ а — ап (д)] ' [! 4 д — » )-а — ай(») б) при дисциплине 1!ГО »а(з, д) = [у+а — ал(»))]-'Х Х 1+ е П вЂ” (ч)) (») — й (ч) 1 — р(Ч) Ч вЂ” 5 — я+ля(Б) е) для обеих дисциплин и(з, у) = (з у)Р(з) Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим каждую дисциплину обслуживания отдельно, а). Дисциплина Р)ГО.

Если в момент времени 1 система свободна от требований, то %"(1) =О, если же занята, время ожидания складывается из длительности дообслуживания требования, находящегося на приборе в момент 1, и длительностей обслуживания требований, находящихся в момент ! в очереди. Следовательно, р((о (г) а- х) =)о(г) + )' ~ Р(л, У, 1) [В '" '1оВ [(х)г(у, (14) л=| о где Ви(и) — условная ф.р. длительности дообслуживания требования при условии, что оно уже обслуживалось время у: В(и -1- у) — В(у) 1 — В(у) 11з (14) получаем га(з Ч) — Ро(Ч) + 1 Р([)(з) У Ч) " Ву () (е) о где 1 е '" аиВ (и + у) р„(з) = 1 — В (у) Из доказательства теоремы 2 следует, что р(» у д) [! В(у)[е — (чеа — ае)о)С х [у+ а — (у)1 — ' 1 — г-' !! (д + а — аг) ро (д) = [д+ а — ал ( д) [ — '.

Следовательно, (з у) = [у †, а — ал (у)]- ' ( 1 + ' (й (') " (') м р (у+ а — а() (о) В (е) к [[) (з)[ — ~ '[ [ е — "е — 1о га — ааааа а В(и + У) ау~ = о о = [д+ а — ал(у)[ — ' (1 —, (й() (о)1 к р (о) — й (д+ а — ар (о)) е ~ е — еег(В (и) ~ е-\о — она — аНФк,)х~ о о а„(у)[-~ ~ ! '(Р(') "(ч) д — е а- а — ар (е) Х гвсрждение а) доказано.

83 б) Дисциплина 1.1ГО. Если в момент времени 1 систем~ свободна (Е(() =О), то Ф'(!) =О. Если Е(())О, то Ф'(1) =По! где $ — время дообслуживания требования, находящегося на, приборе в момент (. Отсюда, учитывая утверждение в) леммы2, имеем Р (Ж' (Г) ( х) = Р, (г) + у 1 Р (и, у, !) х =-! о х ~ е '" ~~)~~ П! '(х — и) дВ„ (и) »(у. о «=о Отсюда » Ф '"(»)) = до(»)) + ~ р(1 у»)) ~ ~ '"~' Х о о о Х ~~«е —" ( ! с(В„(и)»ХП'»(в)о(у =- «=о » О (ц) ! ~ р (1 у»)) [ е — (».га — ао!»ци»(В (и) с(у о о .Но из доказательства теоремы 2 следует, что р(1, у, »)) = [1 — В(у)) е — о« " ~ [»)+ а — ал(»!)) ! — р (ч) Следовательно, о»(з, »)) =- [») + а — ал (»))] — ' [1 + Х ! — р(Ф Ю х ~ ~ е — оо е — ( + — ! »! й„В (и + у)»(у ~ = о о = [») + а — ал (»)Ц вЂ” ' ~ 1 + ! — р(д) о — о — а+ел(о! [ в).