Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики (Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики.djvu), страница 85

Метод начальных параметров в расчете балок Глава 14. Задачи теории упругости Г ! Третья часть книги посвящена решению задач теоретической механики, ! ! , строительной механики и механики деформируемого твердого тела. , Из задач теоретической механики рассмотрены задачи кинематики и ди- ! ! ' намики точки, входящие в учебные курсы по данному предмету.

, 'Задачи расчета строительных конструкций в настоящее время в основном ,' ! решаются на основе численных методов — с использованием разнообраз- ! ,' ных разностных схем или конечно-элементного подхода. Однако многие ! ! практически важные задачи, например расчет балок переменного сечения, ! ! , можно решить на основе численно-аналитического подхода, который был, ' несколько отодвинут в сторону в связи с широким внедрением в расчет- ' ! ную практику численных методов. Системы аналитических вычислений ! ! ' могут в корне изменить отношение к "забытым" аналитическим методам ' ! решения задач строительной механики и механики деформируемого твер- ! ! дого тела.

, 'Из обширной области механики, изучающей поведение деформируемых ,' ! твердых тел, решены две классические задачи теории упругости. В первой ! ! , задаче средствами Мар!е исследуется напряженное состояние в точке уп-, ' ругого тела, а во второй — решение в рядах Фурье изгиба тонкой шар- ' ! ! нирно опертой изотропной пластинки. ГЛАВА 12 Задачи теоретической механики В кинематике рассматривается движение тел без учета их массы и действующих на них сил. Во многих задачах можно пренебречь размерами тела и рассматривать его как материальную точку.

Все характеристики движения точки (скорость, ускорение, пройденный путь) могут быть получены из уравнения ее движения, задаваемого в параметрической форме. В качестве параметра в задачах механики выступает время. Одной из первых, решаемых в разделе кинематики точки задач и является задача определения траектории, скорости и ускорения точки, заданной своими уравнениями движения. Задача 12.1 По заданным уравнениям движения точки к=4 — 21, Л у = 2+ 2 соз~ — я г~ !4 установить вид ее траектории и для момента времени г=! с найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствуюшей точке.

Решение. Уравнения движения являются параметрическими уравнениями траектории точки. Для получения уравнения траектории в обычной координатной форме следует исключить время г из уравнений движения: > еят:=а=4-2*С;еЧ2:=у=2+2*сов(РЬ/4*С)! ея2:= х = 4 — 2 4 г! ео2:= у = 2+ 2 сох~-я ~~ Часть [[[. Механика > а1пр11ту (аиьа (1ао1аее (еЧ1, Ь), еЧ2) ) с'1 у = 2+ 2 соа~ — х (х — 4)) [8 Командой ьаогаее(еЧ1, Ь) МЫ ВЫРазили из уравнения, определяющего закон изменения координаты х точки, параметр г и подставили его в уравнение изменения координаты у. График траектории представляет часть синусоиды: > р1ос ( [сЬа (ес[1), с да (ес[2), 1=0 ..

10], оо1ос=Ь1аоХ,ЬЬ1схоеаа=2,1111е="траектория точхя")с Травюарю точки Для определения скорости точки находим проекции скорости на оси координат дифференцированием по времени уравнений движения: > ч[х]:=с[1ЙГ(гьа(еЧ1),Ь))еча1(В,с=1); ч:= -2 -2 > ч[у] с=атГГ(сЬа (ес(2), Т);еча1(%, 1=1) ) еча1Г ($) ) 1 Г! ч:= — — а[ь~ — х (~ х 2 14 1 — -)[с2 х -1.110720734 Модуль скорости точки в момент времени (=1 с вычисляется по формуле / Г г ч= „~у -~.ч У и равен > сс=аяге(ч[х]"2+ч[у1 2))еча1Г(еча1(ь,ь 1]); 1 2 2.287728251 Аналогично находятся проекции ускорения точки на оси координат как первые производные от проекций скоростей и модуль ускорения в заданной точке траектории: Глава 12 Задачи теоретической механики 483 > и[х]:=с(зтт(ч[х),с)геча15(еча1(з,с=а))г и:=0 О.

> и [у] ".=сает(ч(у], с) !еча1Г(еча1($, 6=1) ) 1 Г[ и:= — — соз([- х 1) х' У' 8 (4 -.8723580250 > Х:=аятс(и[х1"2~-и[у]"2);еча1Г(еча1(ь,е=а)) Г) %;= 1 я2 соя( — л 1~) 8 (4 .3723530250 Касательное ускорение определяется дифференцированием модуля скорости: ои (ч,ч ечи) В момент времени, заданный в условиях задачи, он будет равен: > и(саи):=(ч[х]*и[х) +ч[у1 "и[у) ) /ч;еча1г(еча1(и[таз], 6=1) ); 16+5!и — л!~ л '( 4 .4235407532 Знак и, положителен, а это означает, что движение точки ускоренное и, следовательно, направления векторов скорости и касательного ускорения в данный момент времени совпадают. Нормальное ускорение точки вычисляется по формуле и в момент времени 1=1 с будет равен: > и[а):=зяте (и"2-и[чаи] "2),"ечагт(ечат(%, С=1) ) 1 Ю 8 .76264!30!2 Часть И.

Механика Для вычисления радиуса кривизны траектории можно воспользоваться формулой ч которая в заданный момент времени дает следующую величину нормалыюго ускорения: > глот=у 2/и[п):еча1Г(етта).(з,г.=1))т 6.862597846 Итак, все характеристики движения точки вычислены, хотя„ справедливости ради, слелует заметить, что в этой части решения згдачи Мар1е использовался нами всего лишь как калькулятор.

Однако когда мы перейдем к построению графика траектории и векторов скорости и ускорения в заданный момент, то вот здесь Мар!е незаменим. Можно разработать процедуру, которая строит траекторию точки по заданным уравнениям движения, а также в каждой точке траектории векторы скорости и всех ускорений (обв[его, касательного и нормального), причем эта процедура будет создавать анимационную картинку, на которой пользователь увидит движущуюся точку с соответствующими векторами. Текст этой процедуры представлен в примере 12.1. > лточе:=ргос(х::апусп1пч, у::апуЬЬ1пч, Л:папе, Ьптттплаег[с, ххт:плег1с, а: тпплтех1с, Ьт тпглеггс, с::тплелс, г(::птлелс, и1г(лпуттпплтеггс, и1г(гьягтполтег1с) 1оса1 'тхт тт)т их иу и и1т игап ъп в, и1п и1г С1, С2, ЛЗ, С4, С5, Сб, д, ч, г,ч1,г)С, гг,1, тоот 4 Вычисление скорости чхт=г(1гг(х,е)т ;у:=О155(у,С)т чт=вятс(чх"2тчу 2]г 4 Вычисление ускорения их:=с11гт(чх,с)т иут с(1гг (чу, с) т ит=вчхс(их"2тиу"2)т т/таит=(чх*их+чу"иу)/чт ипт=вс(хе(и"2-ипаи"2)т $ Вычисление радиуса кривизны гоо."=ч"2/ипт Еет=вп/40т 4 Вычерчивание траектории ге т=р1ое ( [х, у, С 0 ..

2*ел), со1ох=Ь1аск, ЕП1скпевв=з] т гол 1 4 гота 0 Со 40 г)о Глава 42 Задачи теоретической механь]ки 4 Построение вектора скорости ч1:= р1оттоо1я/аггею'( [еча1(х,т=т*бт),еча1(у,т=т*бт)], честит([еча1(чх,т=)*с(т),еча1(чу,т=1*бт)]), н1бтПЧ,З*н1бГПЧ,0.1,со1ог=дгееи): 4 Построение вектора ускорения н1:='р1оттоо1я/атгон' ( [еча1 (х, с=1 "бт), еча1(у, т=1*бт) ], честит([еча1(юх,т=1*бт),еча1(юу,с=1*от)]), н1бтЬХ,З*н1бтЫЧ,. 1,со1от=теб)) $ Построение вектора касательного ускорения н1т:=р1от ( [ [еча1(х, т=т*ст),еча1(у, т=1*бт) ), [еча1(х+нтац*чх/ч,т=т*бт),еча1(уьнтаи*чу/ч,т=т*бт) ), со1от=р1пх тП1схпезз=4); $ Построение вектора нормального ускорения н1ты=р1от([[еча1(х,т=1*б ),еча1(у,т=у*бт)], [еча1(х-ни*чу/ч,т=1*бт),еча1(уьми*чх/ч,т='*бт)]), со1ог=р1пх,тп1с)тиезз=4); $ Отображение координат вектора скорости з:=сат("ч(х,у) = [",соичегт(еча1б(еча1(чх,т=1*бт),3),зтттпд), сопчетт(еча10(еча1(чу,т=1*бт),3),ятттид), т1:=р1отя[техтр1от] ([хх,а, в], а11дп=(АВОЧЕ,Н16НТ)); 4 Отображение координат вектора ускорения я:=сат(еи(х,у) = (", сопчегт(еча11(еча1(нх,с=1*от),3),я т1ид), сопчегт(еча11(еча1(ну, =т бт),3),зтт1пд), т2г=р1отв[техтр1от]((хх, Ь, я],а11дп=(АВОЧЕ, Н16НТ)); $ Отображение значений касательного и нормального ускорений я:=сат("н(тац,п) = [", сопчегт(еча1Е(еча1(чтац,с=1*ба),3),ятг1пд), сопчегт(еча15(еча1(ни,т=1*бт),3),ятг1пд), тЗ:=р1отя[техтр1от]([хх,с,я],а11дп=(АВОЧЕ,Н16НТ))) $ Отображение значения радиуса кривизны я:=сат("го = ", сопчетт(еча11(еча1(гоо,т=1*бт),3),зтгуид)); т4:=р1отя[техтр1от)([хх,б,в],а11дп=(НВОЧН,Н16НТ)); $ Отображение момента времени я:=сат("т = ",сопчегт(еча11(1*бт,З),зтттпд)); тб:=р1отя[техтр1от]([0.2,0.4,в],а11дп=(АВОЧЕ,Н16НТ)); 4 построение кадра анимации д)(1:='р1отя/б1вр1ау'((Тг,ч1,ю1/и1т,н1п,т1,т2,тЗ,т4,т5)); епб с(о) $ Отображение анимации 'р1отз/с(1вр1ау'([вес((д)))., 1=0..40)), 1пзедцепсе ттце,вса11пд=сопвтга1пеб); епб ртос: Часть И Механика В процедуру 0)с!ге() примера 12.1 передаются выражения (х и у), задающие изменение во времени координат х и у точки.

Параметр с задает имя переменной, используемой в этих выражениях в качестве переменной времени. Числовой параметр сп определяет момент времени, до которого отображаетСя дВИжЕНИЕ ТОЧКИ. ТраЕКтсрИя На ГрафИКЕ СтрОИтСя дО МОМЕНта 2*те. Процедура вычисляет декартовы координаты векторов скорости и ускорения, а также значения касательного и нормального ускорений и радиуса кривизны траектории точки в дискретные моменты времени.

Параметр хх задает координату х, а параметры е, ь, с и () координаты у строк, отображающих значения указанных величин. Величины нгстп(( и 1()0))и задают тол)пины стрелок, используемых для отображения векторов скорости и ускорения точки, в долях от их длин. Вектор скорости отображается зеленой стрелкой, а ускорения красной. Векторы касательного и нормального ускорений отображаются пурпуровыми линиями. Замечание Координаты точек привязки надписей, содержащих значения рассчитываемых векторов, как и толщины стрелок, используемых для отображения векторов скорости и ускорения, введены в связи с тем, что зту процедуру можно использовать для расчета произвольного движения точки, заданного уравнениями движения, Однако в общем случае достаточно трудно автоматизировать расположение надписей на чертеже, поэтому такая работа возлагается на пользователя процедуры.

Воспользуемся разработанной процедурой 9)ото() и создадим анимационную картинку движения точки по заданным в задаче уравнениям движения: > поте(4-2*0, 212*соз(Р1/4*0), 0, 1, 4.5, 4, 3, 2, 1, 0.1, 0.1)1 (ху) = )-г,о.) (ХУ) - К),.1.2З) «(ку) — )-2.,- ВОО) 40(у) =)0,-1 14) 494«,0) ( ЗЗ04.09) 4 «4.ОО 1 ч(«у) (-2;1 11) «4«у) = (О .- 969) чкь«,4) = )кгз,тва 1«=ВВВ 904«м - (о., ! гз) 4- Згв 0 1 2 З 4 0 1 2 3 4 о На рисунке представлены три кадра анимации, соответствующие начальному, промежуточному и конечному моментам времени движения точки.

При запуске анимации на рабочем листе Мар!е точка будет перемещаться вдоль траектории из начального положения в конечное. Векторы скорости и ускорений будут изменяться вместе с движущейся точкой, отражая направление и величину ее скорости и ускорения в текущий момент времени.

Движение точки завершается в момент времени г=1 с, равный расчетному времени задачи. Значения всех вычисленных в процедуре характеристик Глава 12 Задачи теоретической механики 487 движения точки совпадают с их значениями, вычисленными нами ранее в начале раздела. Процедура веге() универсальна, и ее можно использовать для исследования движения точки с любыми заданными уравнениями движения.