Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики (Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики.djvu), страница 81

Однако результируюший рял решсНИя теап1С СОдЕржИт трЕбуЕМОЕ КОЛИЧЕСТВО ЧЛЕНОВ. Теперь решим задачу 10.2 новым способом: > а: =тппптет1 (-у*х 2, х, у, у1, О, 1, О, 20); 12 672 88704 21288960 8089804800 > а:=тппоттт( — у'х"2,х,у,у1,0,1,0,20); 12 672 88704 21288960 8089804800 Здесь же мы привели решение по старому способу, вызвав процедуру 1пппзтг(). РЕЗуЛЬтатЫ, КаК И ОжИдаЛОСЬ, СОВЕРШЕННО ИЛЕНтИЧНЫ. таК КаК представление решения в виде ряда единственно и не важно. каким спасобом оно получено. Задача 10.3 Найти решение уравнения х у" + у'+ х у = О, удовлетворяющее начальным условиям у(01=1, у(О) = О Решение. Чтобы решить это уравнение с помощью разработанных нами процедур, следует выразить вторую произволную как функцию независимой переменной х, неизвестной функции у и ее первой производной: У= +У У Х Однако в этом случае функция правой части полученного дифференциального уравнения в точке х=б не определена, поэтому применить процедуру, реализующую первый способ построения решения в виле ряда не представляется возможным, так как реализованный в нем алгоритм предусматриваез вычисление правой части дифференциального уравнения в точке х=0 зада- Глава Ю.

Ряды и дифференциальные уравнения ния начальных условий, но в алгоритме, реализованном в процедуре 1пт01ГГ1(), ЗмачеНИе правой частИ в этой тОчке Не вЫчисляетсЯ: > я:=1пт01ет (-у1/х-у,х, у, у1,0„1,0, 12) ) Еттот, (тп 1пт01Ю с(1у1я1оп Ьу лето > я: =1птР(ГГ1 (-у1!х-у, х, у, у1, О, 1, О, 12); 4 64 2304 147456 14745600 2123366400 Посмотрим, как согласуется построенное нами решение с точным решением задачи Коши: > я1:=с(яо1яе ((х*с)1ГГ (у (х), х02) ьс)1ГГ (у(х), х) вся*у (х) =О, у! О) =1, 0(у) (0).—.0:, у(х) ) ) я1:= у(х) = Веяяя!1(0, х ) > р1от((тья(я1),я),х=0..8,со1от=Ь1асх,СЬ1с)спеяя=2,11пеяту1е=(1,с;); Как и в предыдущей задаче, количество удержанных членов ряда не достаточно для представления решения на всем интервале его существования.

10.4. Ряды Фурье В математике кроме степенных рядов широко используется разложение периодических функций в ряды Фурье. В Мар!е не существует специального пакета для построения подобного разложения функций. Однако, учитывая, что все необходимые коэффициенты ряда Фурье функции представляются через интегралы от произведения раскладываемой функции на тригонометрические функции синуса и косинуса различной периодичности, разработать процедуру разложения функции в рял Фурье сравнительно легко. Напомним необходимые формулы. Рядом Фурье периодической с периодом 21 функции г(х) называется тригонометрический ряд вила 1 — а„+ ~ (а„соя(л х) + Ь„я(п(н х) ) х 1 Часть И.

Математика в котором коэффициенты вычисляются по следующим формулам: ) /кхх1 й(х) со5 ) с/х ! ~ у ~ ~ ~ ~ | Х ~ Г(х ) е)п( — — ) т(х Ь Для улобства работы разработаем процедуру разложения в ряд Фурье алгебраического выражения. Ее параметрами будут само выражение, имя независимой переменной, по которой выражение раскладывается в ряд Фурье, значение полупериода ( и количество удерживаемых членов л. Процедура достаточна проста — командой еое() вычисляются конечные суммы, входящие в выражение ряда Фурье функции, ее текст представлен в примере 10.7. > гопт1евет1ее:=ртос(г::е1сеьте1с,х::пете,1::апусп1пс,п::поппес1пс) (еппт(1пе (1*соя (Х*Р1*х/1), х=-1 ..

1) *сох (х*Р(*х/1), к=О ..и) е еопт( пг(Г*я1п(Х*Р1*х/1),х= 1..1) *Б1п()с*Р1*х/1),х=1..п) ) '1 епт) ртос: В ПрОцЕдурЕ Гоп езеттее() раСКЛадЫВаЕМая В ряд фуНКцИя ЗадаЕтСя В ВИДЕ алгебраического выражения г, ее независимая переменная задается вторым параметром х, который должен быть не вычисленным именем. Параметр;, определяющий половину периода функции, можно задавать как в виде конкретного числа, так и в форме константы, например, Р1, или неопределенной величины, что позволяет получать разложение функции в ряд Фурье при произвольном неизвестном периоде 2(.

Последний параметр и определяет количество удерживаемых членов в ряде Фурье и не может быть отрицательным. Если функция задается в виде процедуры, то в этом случае наша процедура разложения в ряд Фурье немного изменится — первый параметр должен быть типа ргосе()цге, а в теле процедуры вместо выражения г следует использовать обращение к функции г (х) (пример 10.8). Глава 10. Ряды и дифференциальные уравнения > топг1езехгея1:=рхос(Г::рхосет(пхе,х;:папе,1::апут)т1пс,п::поппео1пт,' (ятха(тпт(Г(х)*соя(К>Р1*х/1),х=-1..1)*соя(К*Р1*х/1),к †-О.,п|~ япт(1пт (Г(х) ятп(К*Р1*х/1),х=-1..1) *ятп(К" Рг "х/1), К=-1..п) ) /1; епт( рхос; Покажем, как с помощью разработанных процедур можно раскладывать в рял Фурье кусочно-непрерывные функции и исследовать схолимость полученных рядов. Задача 1024 Разложить в рял Фурье периодическую функцию Г(х) с периолом 2х, которая опрелелена следующим образом; Г(х)=х, -и < х < и.

Решение. Прежде всего давайте построим график этой кусочно-непрерывной функции: > Г:=ртесее1яе(х>-3*1 апт( х<-1,х+2*1,х>-1 апт( х<1,х,х>1 апт( х<З*1,х-2-(); х + 2 ! -3 ! — х < О ап(( х + ! < 0 -! — х< 0 аль т — !<О ! — х < 0 апд х — 3 ! < 0 х — 2! > р1о (еяа1(т, 1 — -Рг), х=-2*Р1..

2'Р1, со1ох=о1аск, тптскпеяя=2); Для вычисления семи членов ряда Фурье заданной функции обратимся к ПРОЦЕДУРЕ Гопхтезехьея (): > попяа1 (гопх1еяехьея (етта1 ( г, 1=Р1), х, Рь, б) ) ) 2.).2.! 2 яп(х) — яп(2 х)+ — яп(3 х) — — яп(4 х)+ — яп(5 х) — — яп(6 х) 3 2 5 3 Здесь нам пришлось вычислить выражение г при 1=Р1, а также воспользоВатЬСя КОМаНдОЙ похпта1 () дпя СОКращсиня ПОЛуЧаЕМОГО В рЕЗуЛЬтатЕ ВЫЧИС- пения процедурой выражения для ряда Фурье.

Обратите внимание, так как функция нечетная, то ее ряд Фурье не содержит членов с косинусами. Часть!I. Математика Теперь для оценки точности приближения заданной функции ее рядом Фурье с шестью членами построим графики полученного ряда и самой функции; > р1ос([еъа1 (г, 1=-Р (, гоее еяет(ее(ееа1(т,1=-Р (,х, Р, 6( (,х=- 2'Рт. 2*Р(, птапро(псе=600, со1от-(п1асх(, 11пеесу1е.=! 1, 4(, п=схпеее=2 ы Видно, что удержанных в ряде Фурье членов не достаточно для приемлемого для практики приближения заданной пилообразной функции. Увеличение числа удерживаемых членов ряда Фурье позволит более точно аппроксимировать нашу функцию: > р1оь! (еее1 (Е, 1=Р1(, Еоптгезе:гее (еха1 (Г, 1=Р1(, х, Р1, 20(:,х-=-2*Р: ..

2 Р1, нппро1ппе=-600, со1от=рв1аск:, 11пее(у1е=(,41(; ! з Из построенного графика ряда Фурье с количеством членов 20 видно, что он уже лостаточно хорошо приближает функцию во внутренних точках интервалов непрерывности функции, но в окрестности точек разрывов ряд начинает сильно осциллировать и его значения могут значительно отличаться от значения самой функции. ГЛАВА 11 Численно-аналитические методы Хотя Мар(е и является системой аналитических вычислений, но наличие в ней языка программирования, возможность работы с вегцественными числами с плавающей точкой и развитая система графики делает ее прекрасным средством для быстрой реализации и визуализации разнообразных численных методов, начиная от простого уточнения методом Ньютона решения нелинейного уравнения и заканчивая сложными численно-аналитическими методами решения уравнений математической физики.

Возможности Мар1е позволяют не только получить численное рушение поставленной задачи, но и достаточно быстро исследовать возможности самого метода, изменяя некоторые параметры задачи. 11.1. Исследование метода Ньютона Итерационный метод Ньютона в силу его быстрой сходимости очень часто используется для уточнения решения нелинейного уравнения вида г(х)=0. Для его корректного применения необходимо определить интервал изменения переменной, на котором уравнение имеет точно один корень, а начальное приближение хс выбирать из условия выполнения следующего неравенства: у(ха) р (хс) > О. Сами приближения вычисляются по следующей формуле; г(х,) ~+1 г'(х ) Часть д Математика Как обычно, разработаем процедуру, строящую числовую последовательность, предел которой равняется корню функции, на основе расчетных формул метода Ньютона 1пример 11.!). ~1фф)зф~~~!$~$~])1))1~4Ф4$~~цеФ4~~3~у$~4191~$$~~~а~~~~"';;"'..юд,' .

-' "::;.". " > Ненгспз=ргсс(тзза1Чепга1с,хззпахзе,хсззг1саГ,ЕРБззГ1сас) 1сса1 г,г,а; г))Оз=хсз 7 ) ) 1: т а ) ) О-еча1 (Г/с(зтг (г, х), х=г ) ) О); а з =. ( хО, еча1 ( Г, х=хс) ], ( г ) ) 1, еча1 ( Г, х=г ( ) 1 ) ] Гсг 1 Ггспз 2 нц11е аЬа ,'еча11 за) ) (з-1) ) — езза11 зх) ) с1 — 2) ) ) >ЕРЕ с(с Г ) ) 1: с З ) ) (З -1) -ЕЧа1 ( Г/С)1ГГ (Г, Х), Хс г (, ( З -1) З; аз=а, (г( (з,еча1(т, х=г( (1) ] з епб ссз епп ргсс: Параметрами процедуры ненгсп() являются левая часть уравнения г, задаваемая в виде алгебраического выражения Мар!е, имя неизвестной переменной функции, корень которой ишется, а также начальное приближение хс и точность ерз в виде вешественных чисел с плавающей точкой. В самой процедуре в переменных, где г является числом, представляюшим номер итерации, вычисляются соответствуюшие приближения к корню уравнения.